平面几何和立体几何

以你之姓@ 2022-06-14 08:58 130阅读 0赞

http://[blog.csdn.net/pipisorry/article/details/73294222][blog.csdn.net_pipisorry_article_details_73294222]

# 平面几何    #

## 余弦定理和勾股定理 ##

余弦定理和勾股定理的几何图形解释

\[[震惊！余弦定理和勾股定理竟然有这样的关系][Link 1]\]

## 点间距离、点线距离、线间距离 ##

### 两点间的距离 ###

已知平面上两点P1（x1，y1）， P2（x2，y2）。分别过两点作x轴 和 y轴的垂线，在Rt△P1 QP2中，|P1 P2|2 = |P1 Q|2 \+ |P2 Q|2

![distance.gif][]

从图可知 |P1 Q| = |x2 – x1 |，|P2 Q| = |y2 –  y1 |

代入可得两点间的距离公式：

![distance2.gif][]

### 点到直线的距离 ###

若在平面坐标几何上的直线定义为ax + by + c = 0，点的座标为（x0, y0），则两者间的距离为：

d = | a x 0 + b y 0 + c | a 2 + b 2 \{\\displaystyle d=\{\\frac \{\\left|ax\_\{0\}+by\_\{0\}+c\\right|\}\{\\sqrt \{a^\{2\}+b^\{2\}\}\}\}\} ![d =  \\frac\{\\left|ax\_0 + by\_0 + c\\right|\}\{\\sqrt\{a^2+b^2\}\}][d _ _frac_left_ax_0 _ by_0 _ c_right_sqrt_a_2_b_2]

已知平面上的一点P（x0 ，y0）和直线l：Ax + By + C = 0.

过点 P作 PN // x轴，PN ∩ l = N,  作 PM // y轴，PM ∩ l = M，作 PQ ⊥ l, PQ ∩ l = Q

那么点P到直线上的距离就是 | PQ |，设 | PQ | = d，由三角形面积公式可得

在Rt△MPN中，d · |MN | = | PM | · | PN |

![distance3.gif][]

现在分别求出 | MN | 、 | PM |、| PN |

∵ M、N 两点在直线l上，PN // x轴， 把y0代入Ax + By + C = 0 可得点N的横坐标是 – (By0 \+ C) / A

同理PM // y轴，把x0代入Ax + By + C = 0 可得点M的纵坐标是 – (Ay0 \+ C) / B

![distance4.gif][]

其它证明方法参考\[[证明方法][Link 2]\]

### 点到平面的距离 ###

若点坐标为（ x 0 , y 0 , z 0 \{\\displaystyle x\_\{0\},y\_\{0\},z\_\{0\}\} ![x\_0,y\_0,z\_0][x_0_y_0_z_0]），平面为*Ax*\+*By*\+*Cz*\+*D*=0,则点到平面的距离为：

d = | A x 0 + B y 0 + C z 0 + D | A 2 + B 2 + C 2 \{\\displaystyle d=\{\\frac \{\\left|Ax\_\{0\}+By\_\{0\}+Cz\_\{0\}+D\\right|\}\{\\sqrt \{A^\{2\}+B^\{2\}+C^\{2\}\}\}\}\} ![d = \\frac\{\\left|Ax\_0+By\_0+Cz\_0+D\\right|\}\{\\sqrt\{A^2+B^2+C^2\}\}][d _ _frac_left_Ax_0_By_0_Cz_0_D_right_sqrt_A_2_B_2_C_2]

### 点到n维超平面的有符号正交（垂直）距离 ###

考虑任意一点 x 和它在决策面上的投影 x ⊥ ,我们有

![Center][]

将 这 个 等 式 的 两 侧 同 时 乘 以 w T , 然 后 加 上 w 0 , 并 且 使 用 y(x) = w T + w 0 以及 y(x ⊥ ) = w T x ⊥ + w 0 = 0 ,我们有

![Center 1][]

![Center 2][]

二维线性判别函数的几何表示。决策面(红色)垂直与 w ,它距离原点的偏移量由偏置参数 w 0 控制。此外,一个一般的点 x 与决策面的有符号的正交距离为 y(x)/∥w∥ 。

\[PRML\]

\[[计算几何算法4. 关于平面以及点到平面的距离][4.]\]

### 两条平行线间的距离 ###

若直线分别为*ax* \+ *by* \+ *c*1 = 0,和*ax* \+ *by* \+ *c*2 = 0,则两者间的距离为：

d = | c 1 − c 2 | a 2 + b 2 \{\\displaystyle d=\{\\frac \{\\left|c\_\{1\}-c\_\{2\}\\right|\}\{\\sqrt \{a^\{2\}+b^\{2\}\}\}\}\} ![d = \\frac\{\\left|c\_1-c\_2\\right|\}\{\\sqrt\{a^2+b^2\}\}][d _ _frac_left_c_1-c_2_right_sqrt_a_2_b_2]

夹在两条平行线间公垂线段的长。可取其中任何一条直线上的一点作另一条平行线的垂线，再用点到直接的距离公式求出的距离，便是两条平行线间的距离。如何选取点？ —— 选直线与x轴或y轴的交点, 这样可使（x0 ，y0）中的一个为0，计算更方便。

![distance5.gif][]

### 两平行平面间的距离 ###

若两平行平面分别为 *Ax* \+ *By* \+ *Cz* \+ *D*1 = 0 和 *Ax* \+ *By* \+ *Cz* \+ *D*2 = 0，则两者间的距离为：

d = | D 1 − D 2 | A 2 + B 2 + C 2 \{\\displaystyle d=\{\\frac \{\\left|D\_\{1\}-D\_\{2\}\\right|\}\{\\sqrt \{A^\{2\}+B^\{2\}+C^\{2\}\}\}\}\} ![d = \\frac\{\\left|D\_1-D\_2\\right|\}\{\\sqrt\{A^2+B^2+C^2\}\}][d _ _frac_left_D_1-D_2_right_sqrt_A_2_B_2_C_2]

\[ [wikipedia 距离][wikipedia]\] \[ [点间距离、点线距离、线间距离][Link 3]\] [皮皮blog][blog]

# 立体几何    #

## 球体积公式 ##

### n 维球体积公式    ###

*V**n*(*r*)=*π**n*/2Γ(*n*2\+1)*r**n*

D 维空间的半径为 r 的球体的体积一定是 r^D 的倍数,因此我们有VD (r) = K\_D \* r^D。其中常数 K D 值依赖于 D 。

### *n*维球表面积公式 ###

*S**n*(*r*)=2*π**n*/2Γ(*n*2)*r**n*−1

\[[鬼斧神工：求n维球的体积][n]\]

### 3维球体积公式    ###

V = ⁴⁄₃πr³

在三维空间中建立的几何直觉会在考虑高维空间时不起作用。即高维球体中质量并不是均匀分布的！

### 示例    ###

考虑 D 维空间的一个半径 r = 1 的球体,请问,位于半径 r = 1 − ε 和半径 r = 1 之间的部分占球的总体积的百分比是多少?

我们要求解的体积比就是  
(V D (1) − V D (1 − ε)) / V D (1) = 1 − (1 − ε) ^D  
我们看到,对于较大的 D ,这个体积比趋近于1,即使对于小的 ε 也是这样。因此,在高维空间中,一个球体的大部分体积都聚集在表面附近的薄球壳上![  
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[皮皮blog][blog]

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ref:

[blog.csdn.net_pipisorry_article_details_73294222]: http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/73294222
[Link 1]: https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzA5ODUxOTA5Mg==&mid=2652553615&idx=2&sn=fda21a5c36253018e7c268f0bcec55ff&chksm=8b7e30d4bc09b9c2ae83ee3b84c27e899c3a92ff426d10dfb011a0a47ffd2df30c6f1d05fb6e&mpshare=1&scene=1&srcid=0624fza9frOc27FS132fPKMI&pass_ticket=4R9ZWXz%2FDcFGK9tVfysrmusZ3J09OLC1S3R3B%2BhZmqJ6QAiynVx5CyF%2By1Z2dT4Y#rd
[distance.gif]: http://math001.com/wp-content/uploads/2012/01/distance.gif
[distance2.gif]: http://math001.com/wp-content/uploads/2012/01/distance2.gif
[d _ _frac_left_ax_0 _ by_0 _ c_right_sqrt_a_2_b_2]: https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f54b52efa6a361673ae89bb61dfbef925887ea8
[distance3.gif]: http://math001.com/wp-content/uploads/2012/01/distance3.gif
[distance4.gif]: http://math001.com/wp-content/uploads/2012/01/distance4.gif
[Link 2]: http://baike.baidu.com/item/%E7%82%B9%E5%88%B0%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E8%B7%9D%E7%A6%BB/8673346
[x_0_y_0_z_0]: https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44df57a98d2b1fa48ab6cd0caa83403bcb32b75e
[d _ _frac_left_Ax_0_By_0_Cz_0_D_right_sqrt_A_2_B_2_C_2]: https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c0162f04f73b56ff5b0f065097774ad331286cc
[Center]: /images/20220614/4c2d4de55c5b4178abc935b3e6effa03.png
[Center 1]: /images/20220614/e2c0ed1ad4ed47d4b0f3dff998bebb91.png
[Center 2]: /images/20220614/c2fa9c60ecdb43dc971854e79ab6c89e.png
[4.]: http://www.everyinch.net/index.php/computergeometry4/
[d _ _frac_left_c_1-c_2_right_sqrt_a_2_b_2]: https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf52083909e37fdb86494ae6542a0bbc8596b83
[distance5.gif]: http://math001.com/wp-content/uploads/2012/01/distance5.gif
[d _ _frac_left_D_1-D_2_right_sqrt_A_2_B_2_C_2]: https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295ebf546ecce6d91e57702939b6038ed8a6e286
[wikipedia]: https://wc.yooooo.us/wiki/%E8%B7%9D%E7%A6%BB
[Link 3]: http://math001.com/distance/
[blog]: http://blog.csdn.net/pipisorry
[n]: http://spaces.ac.cn/archives/3154/