[Leetcode][python]Unique Binary Search Trees/不同的二叉查找树

深藏阁楼爱情的钟 2022-06-11 03:25 175阅读 0赞

## 题目大意 ##

给出一个n，求1-n能够得到的所有二叉搜索树

## 解题思路 ##

转自[博客][Link 1]

这题想了好久才想清楚。其实如果把上例的顺序改一下，就可以看出规律了。  
![这里写图片描述][SouthEast]

比如，以1为根的树有几个，完全取决于有二个元素的子树有几种。同理，2为根的子树取决于一个元素的子树有几个。以3为根的情况，则与1相同。

定义Count\[i\] 为以\[0,i\]能产生的Unique Binary Tree的数目，

如果数组为空，毫无疑问，只有一种BST，即空树，Count\[0\] =1

如果数组仅有一个元素\{1\}，只有一种BST，单个节点Count\[1\] = 1

如果数组有两个元素\{1,2\}， 那么有如下两种可能

1                       2
      \                    /
        2                1

Count\[2\] = Count\[0\] \* Count\[1\] (1为根的情况)  
\+ Count\[1\] \* Count\[0\] (2为根的情况。

再看一遍三个元素的数组，可以发现BST的取值方式如下：

Count\[3\] = Count\[0\]\*Count\[2\] (1为根的情况)  
\+ Count\[1\]\*Count\[1\] (2为根的情况)  
\+ Count\[2\]\*Count\[0\] (3为根的情况)

所以，由此观察，可以得出Count的递推Count\[i\] = ∑ Count\[0…k\] \* \[ k+1….i\] 0<=k

## 代码 ##

其实也就是求卡特兰数的定义实现  
![这里写图片描述][1f178a82b9014a9084d9f405a2773912b21beea7.jpg]

class Solution(object):
        def numTrees(self, n):
            """
            :type n: int
            :rtype: int
            """
            dp = [1, 1, 2]
            if n <= 2:
                return dp[n]
            else:
                dp += [0 for i in range(n-2)]  # 后面创建多个
                for i in range(3, n + 1):
                    for j in range(1, i+1):
                        # 若n为4：dp[0]*dp[3]+dp[1]*dp[2]+dp[2]*dp[1]+dp[3]*dp[0]
                        dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j]
                return dp[n]

## 总结 ##

基于以下原则的BST建树具有唯一性：  
以i为根节点的树，其左子树由\[0, i-1\]构成， 其右子树由\[i+1, n\]构成。

[Link 1]: http://fisherlei.blogspot.com/2013/03/leetcode-unique-binary-search-trees.html
[SouthEast]: /images/20220611/b41f6e443c914473aade51055ad2f615.png
[1f178a82b9014a9084d9f405a2773912b21beea7.jpg]: https://gss2.bdstatic.com/9fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s=256/sign=2300064332dbb6fd215be2233f25aba6/1f178a82b9014a9084d9f405a2773912b21beea7.jpg