bzoj-2186 (欧拉函数+费马小定理求逆元)

「爱情、让人受尽委屈。」 2022-06-10 13:53 174阅读 0赞

## Description ##

大富翁国因为通货膨胀，以及假钞泛滥，政府决定推出一项新的政策：现有钞票编号范围为1到N的阶乘，但是，政府只发行编号与M!互质的钞票。房地产第一大户沙拉公主决定预测一下大富翁国现在所有真钞票的数量。现在，请你帮助沙拉公主解决这个问题，由于可能张数非常大，你只需计算出对R取模后的答案即可。R是一个质数。

**Input**

**第一行为两个整数T，R。R<=10^9+10，T<=10000，表示该组中测试数据数目，R为模后面T行，每行一对整数N，M，见题目描述 m<=n**

**Output**

**共T行，对于每一对N，M，输出1至N！中与M！素质的数的数量对R取模后的值**

**Sample Input**

1 11
    4 2

**Sample Output**

1
    
    数据范围：
    对于100%的数据，1 < = N , M < = 10000000

题目题意：题目给我们n,m让我们求出在1到n!之内与m!互质的个数%r

题目分析：想到互质的对的对数，我们很容易想到的是欧拉函数，即在1到m!之内与m!互质对数可以用欧拉函数很快求出，但是m!+1到n!与m!互质的对数怎么求了？

我一开始的想法是容斥。。。。。。很明显，数据太大了，不可能的。

下面我们来注意一个式子:

gcd(a+b,b)=gcd(b,(a+b)%b)=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)

也就是说a与b互质，那么a+b与b也互质，

我们刚刚说了的在1到m!与m!互质的可以用欧拉函数快速求出，我们就利用刚刚结论：

a+k\*m!<=n! (a与m!互质，那么a+k\*m!也一定与m!互质）

即k<=n!/m!-a/n!

则在n!内(数字a和他们兄弟a+k\*m!)与m!互质，且个数为n!/m!,

数字a是属于1到m!的，这个a的个数就是phi\[m!\]

我们得到了答案为：

phi\[m!\]\*(n!/m!)%r

我们把式子展开：（欧拉函数用原始式子表示)

m!\*(1-1/p1)\*(1-1/p2)\*.......(1-1/pn)\*(n!/m!)%r(p1,p2,,,pn为m!的质因子）

化简得(1-1/p1)\*(1-1/p2)\*......\*(1-1/pn)\*n!%r

现在我们的问题变成了求m!的质因子：

我们由勒让德定理知道

在正数n!的素因子标准分解式中，素数p的指数记作

![0b55b319ebc4b7457537478fcdfc1e178b821583.jpg][]

，则

![d009b3de9c82d1582c86aa28820a19d8bc3e4227.jpg][]

不难发现任何小于m的质因子都是m!的质因子（因为n/p肯定不为0）

我们接着变形:

(p1-1)/p1\*(p2-1)/p2\*.......\*n!%r;

里面有除法，和明显得用逆元，我们有费马小定理:

假如p是 [质数][Link 1] ，且gcd(a,p)=1，那么 a (p-1) ≡1（mod p）

我们把式子变一下：a\*a^(p-2)=1 mod p

即a^(p-2)=1/a mod p

即a^(p-2)就是逆元。

代码如下:

#include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cmath>
    #include<cstring>
    #define ll long long
    using namespace std;
    
    const int maxn=1e7+10;
    int prime[maxn],cnt;
    bool vis[maxn];
    void get_prime()//打素数表
    {
        memset (vis,true,sizeof (vis));
        vis[1]=false;
        for (int i=2;i<maxn;i++) {
            if (vis[i]) prime[cnt++]=i;
            for (int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<maxn;j++) {
                vis[i*prime[j]]=false;
                if (i%prime[j]==0) break;
            }
        }
    }
    
    ll fast_pow(ll base,ll k,ll mod)//快速幂，，求逆元
    {
        ll ans=1;
        while (k) {
            if (k&1)
                ans=ans*base%mod;
            base=base*base%mod;
            k>>=1;
        }
        return ans;
    }
    
    const int inf=1e7+10;
    ll fac[inf],ans[inf];
    void init(ll mod)//打表
    {
        fac[0]=fac[1]=1;
        for (int i=2;i<inf;i++)//求N!
            fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
        ans[1]=1;
        for (int i=2;i<inf;i++) {
            if (!vis[i]) ans[i]=ans[i-1];//i不是素数的话，就不变
            else ans[i]=(ans[i-1]*(i-1)%mod*fast_pow(i,mod-2,mod))%mod;//逆元
        }
    }
    int main()
    {
        get_prime();
        ll t,r,n,m;
        scanf("%lld%lld",&t,&r);
        init(r);
        while (t--) {
            scanf("%lld%lld",&n,&m);
            printf("%lld\n",fac[n]*ans[m]%r);
        }
        return 0;
    }

[0b55b319ebc4b7457537478fcdfc1e178b821583.jpg]: https://gss2.bdstatic.com/-fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D44/sign=02369b768fb1cb133a693d17dc540b7a/0b55b319ebc4b7457537478fcdfc1e178b821583.jpg
[d009b3de9c82d1582c86aa28820a19d8bc3e4227.jpg]: https://gss0.bdstatic.com/94o3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D122/sign=cee465657ed98d1072d40833133eb807/d009b3de9c82d1582c86aa28820a19d8bc3e4227.jpg
[Link 1]: https://baike.baidu.com/item/%E8%B4%A8%E6%95%B0