Help Jimmy（DP）

清疚 2022-06-09 09:39 110阅读 0赞

Description  
“Help Jimmy” 是在下图所示的场景上完成的游戏。

![这里写图片描述][SouthEast]

场景中包括多个长度和高度各不相同的平台。地面是最低的平台，高度为零，长度无限。

Jimmy老鼠在时刻0从高于所有平台的某处开始下落，它的下落速度始终为1米/秒。当Jimmy落到某个平台上时，游戏者选择让它向左还是向右跑，它跑动的速度也是1米/秒。当Jimmy跑到平台的边缘时，开始继续下落。Jimmy每次下落的高度不能超过MAX米，不然就会摔死，游戏也会结束。

设计一个程序，计算Jimmy到底地面时可能的最早时间。  
Input  
第一行是测试数据的组数t（0 <= t <= 20）。每组测试数据的第一行是四个整数N，X，Y，MAX，用空格分隔。N是平台的数目（不包括地面），X和Y是Jimmy开始下落的位置的横竖坐标，MAX是一次下落的最大高度。接下来的N行每行描述一个平台，包括三个整数，X1\[i\]，X2\[i\]和H\[i\]。H\[i\]表示平台的高度，X1\[i\]和X2\[i\]表示平台左右端点的横坐标。1 <= N <= 1000，-20000 <= X, X1\[i\], X2\[i\] <= 20000，0 < H\[i\] < Y <= 20000（i = 1..N）。所有坐标的单位都是米。

Jimmy的大小和平台的厚度均忽略不计。如果Jimmy恰好落在某个平台的边缘，被视为落在平台上。所有的平台均不重叠或相连。测试数据保证问题一定有解。  
Output  
对输入的每组测试数据，输出一个整数，Jimmy到底地面时可能的最早时间。  
Sample Input  
1  
3 8 17 20  
0 10 8  
0 10 13  
4 14 3  
Sample Output  
23

解题思路：  
Jimmy跳到一块板上后，可以有两种选择，向左，或向右走。

子问题：Jimmy所在位置下方第一块板左端为起点到地面的最短时间，和右端为起点到地面的最短时间。

假设Jimmy开始的位置是一个编号为0，长度为0的板子  
LeftMinTime(k)表示从k号板左端到地面的最短时间，  
RightMinTime(k)表示从k号板右端到地面的最短时间，  
求板子k左端点到地面的最短时间的方法如下：

if ( 板子K左端正下方没有别的板子) \{  
if (板子k的高度h(k) 大于 Max)  
LeftMinTime(k) = 正无穷;  
else  
LeftMinTime(k) = h(k);  
\}  
else if (板子k左端正下方的板子编号是m)  
LeftMinTime(k) = h(k)-h(m) +  
Min( LeftMinTime(m) + Lx(k)-Lx(m),  
RightMinTime(m) + Rx(m)-Lx(k));

输入数据中，板子并没有按高度排序，所以程序中一定要首先将板子排序

时间复杂度：  
一共n个板子，每个左右两端各算一次O（n）  
找出板子一段到地面之间的板子，需要遍历板子O( n )  
总的时间复杂度O（n²）

package test;
    
    import java.util.Arrays;
    import java.util.Scanner;
    
    /** * Lx板子左端点横坐标，Rx板子左端点横坐标,h表示板子高度 */
    
    class Board implements Comparable<Board> {
        int Lx, Rx, h;
    
        public Board(int lx, int rx, int h) {
            Lx = lx;
            Rx = rx;
            this.h = h;
        }
    
        public int compareTo(Board o) {
            return o.h - this.h;
        }
    
    }
    
    public class test { 
        static int[] leftMin;
        static int[] rightMin;
        static Board[] boards;
        private static final int MAX = Integer.MAX_VALUE;
        static int max;
        static int n;
    
        public static int minTime(int i, boolean isLeft) { //计算从平台i左边到地面的最短时间
            //初始化
            int x;
            int y = boards[i].h;
            //如果是去左边，就走到左边边上，如果去右边，就走到右边边上
            if (isLeft) {
                x = boards[i].Lx;
            } else {
                x = boards[i].Rx;
            }
    
            //找到现在这块板下面的那块板（满足落点在板的左右端之间）
            int j;
            for (j = i+1;j <= n; j++) {
                if (boards[j].Lx <= x && boards[j].Rx >= x)
                    break;
            }
    
            //找到下面那块板后算出最短时间
            if (j == n+1) { //下方没有板了，直接到平台
                if (y > max) {
                    return MAX;
                } else {
                    return y;
                }
            } else {    //下方还有板
                if (y > max) {
                    return MAX;
                } else {
                    //避免重复计算
                    if (leftMin[j] == -1)
                        leftMin[j] = minTime(j,true);
                    if (rightMin[j] == -1)
                        rightMin[j] = minTime(j,false);
                    //高度差 + Math.min(走左端,走右端)
                    return (y - boards[j].h) +
                            Math.min(leftMin[j]+x-boards[j].Lx, rightMin[j]+boards[j].Rx-x);
    
                }
            }
        }
    
        public static void main(String[] args) {
            Scanner sc = new Scanner(System.in);
            int t = sc.nextInt(); //测试数据组数
            for (int i = 0; i < t; i++) {
                n = sc.nextInt();
                int x = sc.nextInt();
                int y = sc.nextInt();
                max = sc.nextInt();
    
                leftMin = new int[n + 1];
                rightMin = new int[n + 1];
                Arrays.fill(leftMin, -1);
                Arrays.fill(rightMin, -1);
                boards = new Board[n + 1];
                boards[0] = new Board(x, x, y);
    
                for (int j = 1; j <= n; j++) {
                    boards[j] = new Board(sc.nextInt(), sc.nextInt(), sc.nextInt());
                }
                Arrays.sort(boards);    //按高度从高到低排
                System.out.println(minTime(0,true));
            }
        }
    }

[SouthEast]: /images/20220609/dce781bb4dc74e0194686c2175a9f14b.png