并查集的理解与实现总结

拼搏现实的明天。 2022-06-05 11:10 159阅读 0赞

并查集的应用十分广泛，包括一些算法，当应用上并查集的时候，也会更容易实现。下面总结下并查集的相关内容。  
**什么是并查集？**  
个人的理解是：并查集就是对集合三种常用操作的再一次抽象。分别是集合的合并（Union）、元素的搜索（Find）和对集合的分解。因为这3中操作非常常用并且又不囿于集合，所以就把这一组操作抽象成一个独立的数据结构。  
*标准定义*  
*在一些应用问题中，需要将n个不同的元素划分成一组不相交的集合。开始时每个元素自成一个单元素集合，然后按照一定规律将归于同一组元素的集合合并，在此过程中需要反复查询某个元素归属于哪个集合的运算，适合于描述这类问题的抽象数据类型称为并查集（union-find set）。*  
**并查集的3种操作！**  
从上面的定义也可以看出来，并查集的三种操作是：

> （1）Union(Root1, Root2):把子集合Root2并入集合Root1中。要求这两个集合互不相交，否则不执行合并。  
> （2）Find(x)：搜索单元素x所在的集合，并返回该集合的名字。  
> （3）UnionFindSets(s):构造函数，将并查集中s个元素初始化为s个只有一个单元素的子集合。

**并查集的一种实现方案**  
实现并查集的方式有多种，这里主要总结用\*\*树结构（父指针表示法）\*\*来实现并查集及其相关操作。  
*用这种实现方式，每个集合用一棵树表示，树的每一个节点代表集合的一个单元素。所有各个集合的全集合构成一个森林，并用树与森林的父指针表示法来实现。其下标代表元素名。第I个数组元素代表包含集合元素I的树节点。树的根节点的下标代表集合名，根节点的父为-1，表示集合中元素个数。*  
下面看一个例子：  
全集合是S = \{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9\}，初始化每个元素自成为一个单元素子集合。（书上原图，感觉挺清晰的）  
![这里写图片描述][format_png]  
经过一段时间的计算，这些子集合并成3个集合，他们是全集合S的子集合：S1 = \{0，6，7，8\}，S2= \{1，4，9\}，S3 = \{2，3，5\}。则表示他们并查集的树形结构如下图：  
![这里写图片描述][format_png 1]  
上面数组中的元素值有两种含义：  
（1）负数表示当前节点是树的根节点，负数的绝对值表示树中节点的个数，也即集合中元素的个数。  
（2）正数表示其所属的树的根节点，由树形表示很容易理解，这也是树的父指针表示的定义。  
经过上面对相关数据的组织，再回头来看并查集的3中核心操作是怎样依托于树来实现的：

> （1）将root2并入到root1中，其实就可以直接把root2的数组元素（就是他的父节点）改成root1的名字（就是他所在的数组下标）。  
> 下面的图表示了合并两个子集合的过程：  
> ![这里写图片描述][format_png 2]  
> （2）查找x所属于的根节点（或者说是x所属于的集合），就可以一直找array\[x\]，直到array\[x\]小于0，则证明找到了根（所在集合）。  
> 下面的图示意了查找一个节点所属集合的过程：  
> ![这里写图片描述][format_png 3]  
> （3）将整个集合初始化为单元素集合，其实就是建立树的父指针数组的过程，把数组元素全初始化为-1，也就表示了每个元素都各占一个集合。

有了上面的理论，代码也比较容易实现出来！下面给出了一个代码的实例：

/*
    *树结构构建并查集，其中树用父指针形式表示
    */
    #include <iostream>
    
    const int DefaultSize = 10;
    
    class UFSets {										//集合中的各个子集合互不相交
    public:
    	UFSets(int sz = DefaultSize);					//构造函数       (并查集的基本操作)
    	~UFSets() { delete[] parent; }					//析构函数
    	UFSets& operator = (UFSets& R);					//重载函数：集合赋值
    	void Union(int Root1, int Root2);				//两个子集合合并 (并查集的基本操作)
    	int Find(int x);								//搜寻x所在集合	 (并查集的基本操作)
    	void WeightedUnion(int Root1, int Root2);		//加权的合并算法 
    private:
    	int *parent;		//集合元素数组(父指针数组)
    	int size;			//集合元素的数目
    };
    
    UFSets::UFSets(int sz) {
    	//构造函数，sz是集合元素的个数,父指针数组的范围0到sz-1
    	size = sz;										//集合元素的个数
    	parent = new int[size];							//开辟父指针数组
    	for (int i = 0; i < size; i ++) {				//初始化父指针数组
    		parent[i] = -1;								//每个自成单元素集合
    	}
    }
    
    int UFSets::Find(int x) {
    	//函数搜索并返回包含元素x的树的根
    	while (parent[x] >= 0) {
    		x = parent[x];
    	}
    	return x;
    }
    
    void UFSets::Union(int Root1, int Root2) {
    	//函数求两个不相交集合的并，要求Root1与Root2是不同的，且表示了子集合的名字
    	parent[Root1] += parent[Root2];					//更新Root1的元素个数
    	parent[Root2] = Root1;							//令Root1作为Root2的父节点
    }
    
    void UFSets::WeightedUnion(int Root1, int Root2) {
    	//使用节点个数探查方法求两个UFSets集合的并
    	int r1 = Find(Root1);							//找到root1集合的根
    	int r2 = Find(Root2);							//找到root2集合的根
    	if (r1 != r2) {									//两个集合不属于同一树
    		int temp = parent[r1] + parent[r2];			//计算总节点数
    		if (parent[r2] < parent[r1]) {				//注意比较的是负数，越小元素越多,此处是r2元素多
    			parent[r1] = r2;						//r1作为r2的孩子 
    			parent[r2] = temp;						//更新r2的节点个数
    		}
    		else {
    			parent[r2] = r1;						//...
    			parent[r1] = temp;						//...
    		}
    	}
    }

代码的注释比较详尽，我就不在赘言。但是有一个注意点我已经写在了下面！

**当前并查集的改进！**  
的确，有一个极端的状况使得上面的树实现的并查集性能低下！问题原因在于，这里没有规定子集合并的顺序，更确切的说是子集一直在向同一个方向依附：  
下面的图片展示了当Union(0，1),Union(1，2),Union(2，3),Union(3，4)执行完后的树的形状。  
![这里写图片描述][format_png 4]  
在这种极端情况下他编变成了一个单链表（退化的树），这样的话，用Find函数查找完所有的节点所归属的集合将会开销的时间复杂度为：O(n^2)。  
怎样来改变这种状况，就是在合并两个子集的时候，规定顺序，代码中是让元素多的始终作为父节点，这样就避免了这种麻烦。  
另外还可以用性能更加的查找算法，例如折叠规则压缩路径。并查集的一个重要的应用是在图论中生成最小生成树的Kruskal算法，充分体现了并查集的优越性和思想，之后会写相关的博文总结此算法！

参考书目：《数据结构 C++语言描述 第二版》 殷人昆著

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