谈谈自己对正则化的一些理解

超、凢脫俗 2022-06-05 02:44 173阅读 0赞

上学的时候，就一直很好奇，模式识别理论中，常提到的正则化到底是干什么的？渐渐地，听到的多了，看到的多了，再加上平时做东西都会或多或少的接触，有了一些新的理解。

1. 正则化的目的：防止过拟合！

2. 正则化的本质：约束（限制）要优化的参数。

关于第1点，过拟合指的是给定一堆数据，这堆数据带有噪声，利用模型去拟合这堆数据，可能会把噪声数据也给拟合了，这点很致命，一方面会造成模型比较复杂（想想看，本来一次函数能够拟合的数据，现在由于数据带有噪声，导致要用五次函数来拟合，多复杂！），另一方面，模型的泛化性能太差了（本来是一次函数生成的数据，结果由于噪声的干扰，得到的模型是五次的），遇到了新的数据让你测试，你所得到的过拟合的模型，正确率是很差的。

关于第2点，本来解空间是全部区域，但通过正则化添加了一些约束，使得解空间变小了，甚至在个别正则化方式下，解变得稀疏了。这一点不得不提到一个图，相信我们都经常看到这个图，但貌似还没有一个特别清晰的解释，这里我尝试解释一下，图如下：

![Center][]

这里的w1，w2都是模型的参数，要优化的目标参数，那个红色边框包含的区域，其实就是解空间，正如上面所说，这个时候，解空间“缩小了”，你只能在这个缩小了的空间中，寻找使得目标函数最小的w1，w2。左边图的解空间是圆的，是由于采用了L2范数正则化项的缘故，右边的是个四边形，是由于采用了L1范数作为正则化项的缘故，大家可以在纸上画画，L2构成的区域一定是个圆，L1构成的区域一定是个四边形。

再看看那蓝色的圆圈，再次提醒大家，这个坐标轴和特征（数据）没关系，它完全是参数的坐标系，每一个圆圈上，可以取无数个w1，w2，这些w1，w2有个共同的特点，用它们计算的目标函数值是相等的！那个蓝色的圆心，就是实际最优参数，但是由于我们对解空间做了限制，所以最优解只能在“缩小的”解空间中产生。

蓝色的圈圈一圈又一圈，代表着参数w1，w2在不停的变化，并且是在解空间中进行变化（这点注意，图上面没有画出来，估计画出来就不好看了），直到脱离了解空间，也就得到了图上面的那个w\*，这便是目标函数的最优参数。

对比一下左右两幅图的w\*，我们明显可以发现，右图的w\*的w1分量是0，有没有感受到一丝丝凉意？稀疏解诞生了！是的，这就是我们想要的稀疏解，我们想要的简单模型。

还记得模式识别中的剃刀原理不？倾向于简单的模型来处理问题，避免采用复杂的。

这里必须要强调的是，这两幅图只是一个例子而已，没有说采用L1范数就一定能够得到稀疏解，完全有可能蓝色的圈圈和四边形（右图）的一边相交，得到的就不是稀疏解了，这要看蓝色圈圈的圆心在哪里。

此外，正则化其实和“带约束的目标函数”是等价的，二者可以互相转换。关于这一点，我试着给出公式进行解释：

针对上图（左图），可以建立数学模型如下：

![Center 1][]

通过熟悉的拉格朗日乘子法（注意这个方法的名字），可以变为如下形式：

![Center 2][]

看到没，这两个等价公式说明了，正则化的本质就是，给优化参数一定约束，所以，正则化与加限制约束，只是变换了一个样子而已。

此外，我们注意，正则化因子，也就是里面的那个lamda，如果它变大了，说明目标函数的作用变小了，正则化项的作用变大了，对参数的限制能力加强了，这会使得参数的变化不那么剧烈（仅对如上数学模型），直接的好处就是避免模型过拟合。反之，自己想想看吧。。。

个人感觉，“正则化”这几个字叫的实在是太抽象了，会吓唬到人，其实真没啥。如果改成“限制化”或者是“约束化”，岂不是更好？

[Center]: /images/20220605/09ed70742e7848b7abf3a4ba249462be.png
[Center 1]: /images/20220605/8ae4bd64dcbc41f695816d741f328556.png
[Center 2]: /images/20220605/7a5e1cd4d65d43c4aba57111a5ffd772.png