期末复习——动态规划

蔚落 2022-06-02 02:42 256阅读 0赞

【1】动态规划基本步骤:  
(1)找出最优解的性质，并刻划其结构特征。  
(2)递归地定义最优值。  
(3)以自底向上的方式计算出最优值。  
(4)根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。

【2】矩阵连乘问题  
给定n个矩阵\{A1,A2,A3,……,An\},其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,3,…..,n-1.考察这n个矩阵的连乘积A1A2A3A4,…….,An.  
若一个矩阵的连乘积德计算次序完全确定，也就是说该连乘积已经完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。

void JZLC(int **a,int **b,int **c,int ra,int ca,int rb,int cb)
    {
        if(ca!=rb)
            error("矩阵不可乘");
        for(int i=0;i<ra;i++)
        {
            for(int j=0;j<cb;j++)
            {
                int sum=a[i][0]*b[0][j];
                for(int k=1;k<ca;k++)
                    sum+=a[i][k]*b[k][j];
                c[i][j]=sum;
            }
        }
     }

完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：  
（1）单个矩阵是完全加括号的；  
（2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全 加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即: A=(BC)  
设有四个矩阵A,B,C,D ，它们的维数分别是：  
A=50×10, B=10×40, C=40×30, D=30×5  
总共有五种完全加括号的方式  
(A((BC)D) (A(B(CD))) ((AB)(CD))  
(((AB)C)D) ((A(BC))D)  
16000, 10500, 36000, 87500, 34500  
设计算A\[i:j\],1<=i<=j<=n,所需要的最少乘法次数m\[i:j\],则原问题的最优值为m\[1,n\]

当i=j时，A[i:j]=Ai,因此，m[i,i]=0,i=1,2,3,.....,n
        当i<j时：m[i,j]=m[i,k]+m[k+1,j]+P(i-1)P(k)P(j),这里A的维数为P(i-1)*P(i)
        k的位置只有j-i种可能。

Description
    已知一组连乘矩阵的各维长度，要求计算并输出计算量最小的计算顺序表达式。
    Input
    每行为一组连乘矩阵的各维长度，行中第一个数字是连乘矩阵的个数n，n≤100，后面是n+1个维长。 矩阵个数为0表示输入结束。
    Output
    对每行输入，计算最优计算顺序，并以括号形式将计算表达式输出，各矩阵用A0, A1, ..的形式表示。
    Sample Input
    1 10 20
    2 10 20 30
    3 10 20 30 40
    6 30 35 15 5 10 20 25
    0
    Sample Output
    A0
    A0A1
    (A0A1)A2
    (A0(A1A2))((A3A4)A5)

#include<iostream>  
    #include<cstring>  
    #include<algorithm>  
    #include<cstdio>  
    using namespace std;  
    const int MAX=1010;  
    int p[MAX],m[MAX][MAX],s[MAX][MAX];  
    int n;  
    void MATRIX_CHAIN_ORDER()  
    {  
        for(int i=0;i<=n;i++)  
        {  
            m[i][i]=0;  
        }  
        for(int l=2;l<=n;l++)
            for(int i=1;i<=n-l+1;i++)  
            {  
                int j=i+l-1;  
                m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];  
                s[i][j]=i;  
                for(int k=i+1;k<j;k++)  
                {  
                    int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];  
                    if(t<m[i][j])  
                    {  
                        m[i][j]=t;  
                        s[i][j]=k;  
                    }  
                }  
            }  
    }  
    void PRINT_OPTIMAL_PARENS(int i,int j,int tot)  
    {  
        if(i==j)  
        {  
            cout<<"A"<<i-1;  
            return;  
        }  
        if(tot!=1)  
            cout<<"(";  
        PRINT_OPTIMAL_PARENS(i,s[i][j],tot+1);   
        PRINT_OPTIMAL_PARENS(s[i][j]+1,j,tot+1);  
        if(tot!=1)  
            cout<<")";  
    }  
    int main()  
    {  
        while(cin>>n&&n)  
        {  
            for(int i=0;i<=n;i++)  
            {  
                cin>>p[i];  
            }  
            MATRIX_CHAIN_ORDER();  
            PRINT_OPTIMAL_PARENS(1,n,1);  
            cout<<endl;  
        }  
        return 0;  
    }

【2】动态规划算法的基本要素  
1、最优子结构  
2、重叠子问题  
递归算法求解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。这种性质称为子问题的重叠性质。  
动态规划算法，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，当再次需要解此子问题时，只是简单地用常数时间查看一下结果。  
通常不同的子问题个数随问题的大小呈多项式增长。因此用动态规划算法只需要多项式时间，从而获得较高的解题效率。  
3、备忘录方法  
备忘录方法为每个解过的子问题建立了备忘录以备需要时查看，避免了相同子问题的重复求解。

void MemorizedMatrixChain(int n,int **m,int **s)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=i;j<=n;j++)
                m[i][j]=0;
        return LookupChain(1,n);
    }
    
    int LookupChain(int i,int j)
    {
        if(m[i][j]>0)
            return m[i][j];
        if(i==j)
            return 0;
        int u=LookupChain(i,i)+LookupChain(i+1,j)+p[i-1]*p[i]*p[j];
        s[i][j];
        for(int k=i+1;k<j;k++)
        {
            int t=LookupChain(i,k)+LookupChain(k+1,j)+p[i-1]*p[k]*p[j];
            if(t<u)
            {
                u=t;
                s[i][j]=k;
            }
        }
        m[i][j]=u;
        return u;
    }

【3】最长公共子序列  
给定两个序列X和Y,当另一子序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是X和Y的公共子序列。  
设序列X=\{x1,x2,…,xm\}和Y=\{y1,y2,…,yn\}的最长公共子序列为Z=\{z1,z2,…,zk\} ，则  
(1)若xm=yn，则zk=xm=yn，且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列。  
(2)若xm≠yn且zk≠xm，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列。  
(3)若xm≠yn且zk≠yn，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。  
用c\[i\]\[j\]记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。其中， Xi=\{x1,x2,…,xi\}；Yj=\{y1,y2,…,yj\}。当i=0或j=0时，空序列是Xi和Yj的最长公共子序列。故此时C\[i\]\[j\]=0。其他情况下，由最优子结构性质可建立递归关系如下：  
（1）当i=0, j=0 时，c\[i\]\[j\]=0;  
（2）当i，j>0; xi=yj 时，c\[i\]\[j\]=c\[i-1\]\[j-1\]+1;  
（3）当i，j>0；xi != yj 时，c\[i\]\[j\]=max\{c\[i\]\[j-1\],c\[i-1\]\[j\]\};

void LCSLength(int m,int n,char **x,char *y,int **c,int **b)
    {
        int i,j;
        for(i=1;i<=m;i++)
            c[i][0]=0;
        for(j=1;j<=n;j++)
            c[0][j]=0;
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            for(j=1;j<=n;j++)
            {
                if(x[i]==y[j])
                {
                    c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
                    b[i][j]=1;
                }
                else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1])
                {
                    c[i][j]=c[i-1][j];
                    b[i][j]=2;
                }
                else
                {
                    c[i][j]=c[i][j-1];
                    b[i][j]=3;
                }
            }
        }
    }

Description
    对序列X=(x1, x2, .., xm)，定义其子序列为(xi1, xi2, .., xik)，i1<i2<..<ik。 请计算两个序列X=(x1, x2, .., xm)，Y=(y1, y2, .., yn)的最长公共子序列的长度。
    Input
    输入为若干行，每行是一个计算题目，每行包括两个长度不超过100的字符串，中间用空格隔开。
    Output
    对每一行中的两个字符串，计算并输出其最大公共子序列的长度。 每一行输入的计算结果输出一行。
    Sample Input
    a a
    a ab
    abcd dcba
    abcd bc
    abcdef aabacfe
    Sample Output
    1
    1
    1
    2
    4

#include<iostream>  
    #include<cstdio>  
    #include<cstdlib>  
    #include<cstring>  
    #include<cmath>  
    #include<algorithm>  
    using namespace std;  
    int dp[1005][1005];  
    int main(){  
        char a[1005];  
        char b[1005];  
        while(~scanf("%s",a)){  
            scanf("%s",b);  
            int i,j,k;  
            for(i=0;i<=strlen(a);i++){  
                dp[i][0]=0;  
            }  
            for(i=0;i<=strlen(b);i++){  
                dp[0][i]=0;  
            }  
            for(i=1;i<=strlen(a);i++){  
                for(j=1;j<=strlen(b);j++){  
                    if(a[i-1]==b[j-1]){  
                        dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;  
                    }  
                    else if(dp[i-1][j]>=dp[i][j-1]){  
                        dp[i][j]=dp[i-1][j];  
                    }  
                    else{  
                        dp[i][j]=dp[i][j-1];  
                    }  
                }  
            }  
            printf("%d\n",dp[strlen(a)][strlen(b)]);  
        }  
        return 0;  
    }

【4】凸多边形最优三角剖分  
1、问题相关定义：  
(1)凸多边形的三角剖分：将凸多边形分割成互不相交的三角形的弦的集合T。  
(2)最优剖分：给定凸多边形P，以及定义在由多边形的边和弦组成的三角形上的权函数w。要求确定该凸多边形的三角剖分，使得该三角剖分中诸三角形上权之和为最小。  
2、最优子结构性质：  
若凸(n+1)边形P=\{V0,V1……Vn\}的最优三角剖分T包含三角形V0VkVn,1<=k<=n，则T的权为三个部分权之和：三角形V0VkVn的权，多边形\{V0,V1……Vk\}的权和多边形\{Vk,Vk+1……Vn\}的权之和。  
可以断言，由T确定的这两个子多边形的三角剖分也是最优的。因为若有\{V0,V1……Vk\}和\{V0,V1……Vk\}更小权的三角剖分，将导致T不是最优三角剖分的矛盾。因此，凸多边形的三角剖分问题具有最优子结构性质。  
3、递推关系：  
设t\[i\]\[j\],1<=i

#include <iostream>   
    using namespace std;   
    
    const int N = 7;//凸多边形边数+1  
    int weight[][N] = {
       {
       0,2,2,3,1,4},{
       2,0,1,5,2,3},{
       2,1,0,2,1,4},{
       3,5,2,0,6,2},{
       1,2,1,6,0,1},{
       4,3,4,2,1,0}};//凸多边形的权  
    
    int MinWeightTriangulation(int n,int **t,int **s);  
    void Traceback(int i,int j,int **s);//构造最优解  
    int Weight(int a,int b,int c);//权函数  
    
    int main()  
    {  
        int **s = new int *[N];    
        int **t = new int *[N];    
        for(int i=0;i<N;i++)      
        {      
            s[i] = new int[N];    
            t[i] = new int[N];    
        }   
    
        cout<<"此多边形的最优三角剖分值为："<<MinWeightTriangulation(N-1,t,s)<<endl;    
        cout<<"最优三角剖分结构为："<<endl;    
        Traceback(1,5,s); //s[i][j]记录了Vi-1和Vj构成三角形的第3个顶点的位置  
    
        return 0;  
    }  
    
    int MinWeightTriangulation(int n,int **t,int **s)  
    {  
        for(int i=1; i<=n; i++)  
        {  
            t[i][i] = 0;  
        }  
        for(int r=2; r<=n; r++) //r为当前计算的链长（子问题规模）    
        {  
            for(int i=1; i<=n-r+1; i++)//n-r+1为最后一个r链的前边界    
            {  
                int j = i+r-1;//计算前边界为r，链长为r的链的后边界    
    
                t[i][j] = t[i+1][j] + Weight(i-1,i,j);//将链ij划分为A(i) * ( A[i+1:j] )这里实际上就是k=i  
    
                s[i][j] = i;  
    
                for(int k=i+1; k<j; k++)  
                {  
                    //将链ij划分为( A[i:k] )* (A[k+1:j])     
                    int u = t[i][k] + t[k+1][j] + Weight(i-1,k,j);  
                    if(u<t[i][j])  
                    {  
                        t[i][j] = u;  
                        s[i][j] = k;  
                    }  
                }  
            }  
        }  
        return t[1][N-2];  
    }  
    
    void Traceback(int i,int j,int **s)  
    {  
        if(i==j) return;  
        Traceback(i,s[i][j],s);  
        Traceback(s[i][j]+1,j,s);  
        cout<<"三角剖分顶点：V"<<i-1<<",V"<<j<<",V"<<s[i][j]<<endl;  
    }  
    
    int Weight(int a,int b,int c)  
    {  
         return weight[a][b] + weight[b][c] + weight[a][c];  
    }