树状数组模板

水深无声 2022-05-31 10:42 233阅读 0赞

1.  int lowbit(int t)
2.  `{`
3.  `return t&(-t);`
4.  `}`

1.  `void add(int x,int y)`
2.  `{`
3.  `for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))`
4.  `tree[i]+=y;`
5.  `}`

1.  `int getsum(int x)`
2.  `{`
3.  `int ans=0;`
4.  `for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))`
5.  `ans+=tree[i];`
6.  `return ans;`
7.  `}`

这篇笔记 会详细的讲解，使得队员们对树状数组 **彻底入门**  而不是懵懵懂懂。

以上先给出 最常见的，三个函数。(单点更新，区间查询)

下面开始

\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*分割线

树状数组 重点是在 **树状**的数组

大家都知道二叉树吧

叶子结点代表A数组A\[1\]~A\[8\]

[![786945-20161206222443741-1201716038.png][]][786945-20161206222443741-1201716038.png 1]

.......

现在变形一下

[![786945-20161206222444069-504520694.png][]][786945-20161206222444069-504520694.png 1]

现在定义每一列的顶端结点C\[\]数组

如下图

![786945-20161206222444319-1066528329.jpg][]

C\[i\]代表 子树的叶子结点的权值之和// **这里以求和举例**

如图可以知道

C\[1\]=A\[1\];

C\[2\]=A\[1\]+ A\[2\] ;

C\[3\]=A\[3\];

C\[4\]= A\[1\]+ A\[2\]+A\[3\]+A\[4\] ;

C\[5\]=A\[5\];

C\[6\]=A\[5\]+A\[6\];

C\[7\]=A\[7\];

C\[8\]= A\[1\]+ A\[2\]+A\[3\]+A\[4\]+A\[5\]+A\[6\]+A\[7\]+A\[8\] ;

下面观察如下图

[![786945-20161206222444679-518511660.png][]][786945-20161206222444679-518511660.png 1]

将C\[\]数组的结点序号转化为 **二进制**

1=(001) C\[1\]=A\[1\];

2=(010) C\[2\]=A\[1\]+ A\[2\] ;

3=(011)  C\[3\]=A\[3\];

4=(100)  C\[4\]= A\[1\]+ A\[2\]+A\[3\]+A\[4\] ;

5=(101)  C\[5\]=A\[5\];

6=(110)  C\[6\]=A\[5\]+A\[6\];

7=(111)  C\[7\]=A\[7\];

8=(1000)  C\[8\]= A\[1\]+ A\[2\]+A\[3\]+A\[4\]+A\[5\]+A\[6\]+A\[7\]+A\[8\] ;

对照式子可以发现 **C\[i\]=A\[i-2^k+1\]+A\[i-2^k+2\]+......A\[i\]; （k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度）例如i=8时，k=3;**

可以自行带入验证;

现在引入lowbit(x)

lowbit(x) 其实就是取出x的最低位1 换言之 **lowbit(x)=2^k k的含义与上面相同 理解一下**

下面说代码

1.  `int lowbit(int t)`
2.  `{`
3.  `return t&(-t);`
4.  `}`
5.  `//-t 代表t的负数 计算机中负数使用对应的正数的补码来表示`
6.  `//例如 :`
7.  `// t=6（0110） 此时 k=1`
8.  `//-t=-6=(1001+1)=(1010)`
9.  `// t&(-t)=(0010)=2=2^1`

C\[i\]=A\[i-2^k+1\]+A\[i-2^k+2\]+......A\[i\];

C\[i\]=A\[i-lowbit(i)+1\]+A\[i-lowbit(i)+2\]+......A\[i\];

\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*分割线

**区间查询**

ok 下面利用C\[i\]数组，求A数组中前i项的和

举个例子 i=7;

sum\[7\]=A\[1\]+A\[2\]+A\[3\]+A\[4\]+A\[5\]+A\[6\]+A\[7\] ; 前i项和

C\[4\]= A\[1\]+ A\[2\]+A\[3\]+A\[4\] ;  C\[6\]=A\[5\]+A\[6\];  C\[7\]=A\[7\];

可以推出:  sum\[7\]=C\[4\]+C\[6\]+C\[7\];

序号写为二进制: sum\[(111)\]= C\[(100)\]+C\[(110)\]+C\[(111)\];

再举个例子 i=5

sum\[7\]=A\[1\]+A\[2\]+A\[3\]+A\[4\]+A\[5\] ; 前i项和

C\[4\]= A\[1\]+ A\[2\]+A\[3\]+A\[4\] ; C\[5\]=A\[5\];

可以推出:  sum\[5\]=C\[4\]+C\[5\];

序号写为二进制: sum\[(101)\]= C\[(100)\]+C\[(101)\];

**细细观察二进制 树状数组追其根本就是二进制的应用**

结合代码

1.  `int getsum(int x)`
2.  `{`
3.  `int ans=0;`
4.  `for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))`
5.  `ans+=C[i];`
6.  `return ans；`
7.  `}`

对于i=7 进行演示

7(111)  **ans+=C\[7\]**

lowbit(7)=001 7- lowbit(7)=6(110)  **ans+=C\[6\]**

lowbit(6)=010 6-lowbit(6)=4(100) **ans+=C\[4\]**

lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000)

对于i=5 进行演示

5(101)  **ans+=C\[5\]**

lowbit(5)=001 5- lowbit(5)=4(100)  **ans+=C\[4\]**

lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000)

\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*分割线

**单点更新**

当我们修改A\[\]数组中的某一个值时 应当如何更新C\[\]数组呢？

回想一下 区间查询的过程，再看一下上文中列出的图

结合代码分析

1.  `void add(int x,int y)`
2.  `{`
3.  `for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))`
4.  `tree[i]+=y;`
5.  `}`
6.  `//可以发现 更新过程是查询过程的逆过程`
7.  `//由叶子结点向上更新C[]数组`

![786945-20161206222445132-1538640594.jpg][]

如图：

当更新A\[1\]时 需要向上更新C\[1\] ,C\[2\],C\[4\],C\[8\]

C\[1\], C\[2\], C\[4\], C\[8\]

写为二进制  C\[(001)\],C\[(010)\],C\[(100)\],C\[(1000)\]

1(001) **C\[1\]+=A\[1\]**

lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010) **C\[2\]\+=A\[1\]**

lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100) **C\[4\]** \+=A\[1\]

lowbit(4)=100 4+lowbit(4)=8(1000) **C\[8\]** \+=A\[1\]

\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*分割线

先这样

[http://poj.org/problem?id=2299][http_poj.org_problem_id_2299] poj 2299

[http://codeforces.com/contest/703/problem/D][http_codeforces.com_contest_703_problem_D] cf 703D

[786945-20161206222443741-1201716038.png]: /images/20220531/de004af88ff8411fa108e8d0b65b607f.png
[786945-20161206222443741-1201716038.png 1]: http://images2015.cnblogs.com/blog/786945/201612/786945-20161206222443741-1201716038.png
[786945-20161206222444069-504520694.png]: /images/20220531/eb873d8f3c4c4b93a80b2160b820cc93.png
[786945-20161206222444069-504520694.png 1]: http://images2015.cnblogs.com/blog/786945/201612/786945-20161206222444069-504520694.png
[786945-20161206222444319-1066528329.jpg]: /images/20220531/ec9a1d8046f7418aace82ef11b661972.png
[786945-20161206222444679-518511660.png]: /images/20220531/b0085d7d32f04b3d8b6f631712099609.png
[786945-20161206222444679-518511660.png 1]: http://images2015.cnblogs.com/blog/786945/201612/786945-20161206222444679-518511660.png
[786945-20161206222445132-1538640594.jpg]: /images/20220531/b0f04c879d274d31bf279f3980f27749.png
[http_poj.org_problem_id_2299]: http://poj.org/problem?id=2299
[http_codeforces.com_contest_703_problem_D]: http://codeforces.com/contest/703/problem/D