【算法一】—— 插入排序

小灰灰 2022-05-30 07:57 124阅读 0赞

### 插入排序 ###

插入排序算法类似于玩扑克时抓牌的过程，玩家每拿到一张牌都要插入到手中已有的牌里，使之从小到大排好序。

扑克牌的插入排序：

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也许你没有意识到，但其实你的思考过程是这样的：现在抓到一张7，把它和手里的牌从右到左依次比较，7比10小，应该再往左插，7比5大，好，就插这里。为什么比较了10和5就可以确定7的位置？为什么不用再比较左边的4和2呢？因为这里有一个重要的前提：手里的牌已经是排好序的。现在我插了7之后，手里的牌仍然是排好序的，下次再抓到的牌还可以用这个方法插入。编程对一个数组进行插入排序也是同样道理，但和插入扑克牌有一点不同，不可能在两个相邻的存储单元之间再插入一个单元，因此要将插入点之后的数据依次往后移动一个单元。排序算法如下：

#include <stdio.h>
    
    #define LEN 5
    int a[LEN] = {10, 5, 2, 4, 7};
    
    void insertion_sort(void)
    {
    	int i,j,key;
    	for (j = 1; j < LEN; j++)
    	{
    		printf("%d, %d, %d, %d, %d\n", a[0], a[1], a[2], a[3], a[4]);
    		key = a[j];
    		i = j - 1;
    		while(i >= 0 && a[i] > key)
    		{
    			a[i+1] = a[i];
    			i--;
    		}
    		a[i+1] = key;
    	}
    	printf("%d，%d, %d, %d, %d\n",a[0], a[1], a[2], a[3], a[4]);
    }
    
    int main(void)
    {
    	insertion_sort();
    	return 0;
    }

为了更清楚地观察排序过程，我们在每次循环开头插了打印语句，在排序结束后也插了打印语句。程序运行结果是：

[zhangsan@localhost study-c]$ gcc -Wall -g insertion_sort.c -o insertion_sort
    [zhangsan@localhost study-c]$ ./insertion_sort 
    10, 5, 2, 4, 7
    5, 10, 2, 4, 7
    2, 5, 10, 4, 7
    2, 4, 5, 10, 7
    2，4, 5, 7, 10

如何严格证明这个算法是正确的？换句话说，只要反复执行该算法的for循环体，执行LEN-1次，就一定能把数组a排好序，而不管数组a的原始数据是什么，如何证明这一点呢？我们可以借助LoopInvariant的概念和数学归纳法来理解循环结构的算法，假如某个判断条件满足以下三条准则，它就称为Loop Invariant：  
1. 第一次执行循环体之前该判断条件为真。  
2. 如果“第N-1次循环之后（或者说第N次循环之前）该判断条件为真”这个前提可以成立，那么就有办法证明第N次循环之后该判断条件仍为真。

3. 如果在所有循环结束后该判断条件为真，那么就有办法证明该算法正确地解决了问题。

只要我们找到这个Loop Invariant，就可以证明一个循环结构的算法是正确的。上述插入排序算法的Loop Invariant是这样的判断条件：第j次循环之前，子序列a\[0..j-1\]是排好序的。在上面的打印结果中，我把子序列a\[0..j-1\]加粗表示。下面我们验证一下Loop Invariant的三条准则：

1. 第一次执行循环之前，j=1，子序列a\[0..j-1\]只有一个元素a\[0\]，只有一个元素的序列显然是排好序的。  
2. 第j次循环之前，如果“子序列a\[0..j-1\]是排好序的”这个前提成立，现在要把key=a\[j\]插进去，按照该算法的步骤，把a\[j-1\]、a\[j-2\]、a\[j-3\]等等比key大的元素都依次往后移一个，直到找到合适的位置给key插入，就能证明循环结束时子序列a\[0..j\]是排好序的。就像插扑克牌一样，“手中已有的牌是排好序的”这个前提很重要，如果没有这个前提，就不能证明再插一张牌之后也是排好序的。

3. 当循环结束时，j=LEN，如果“子序列a\[0..j-1\]是排好序的”这个前提成立，那就是说a\[0..LEN-1\]是排好序的，也就是说整个数组a的LEN个元素都排好序了

### 总结： ###

可见，有了这三条，就可以用数学归纳法证明这个循环是正确的。这和 “递归”证明递归程序正确性的思想是一致的，这里的第一条就相当于递归的Base Case，第二条就相当于递归的递推关系。这再次说明了递归和循环是等价的。

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