python中的最小二乘拟合

我就是我 2022-05-30 06:58 200阅读 0赞

假设有一组实验数据(x\[i\], y\[i\])，我们知道它们之间的函数关系:y = f(x)，通过这些已知信息，需要确定  
函数中的一些参数项。例如，如果f是一个线型函数f(x) = k\*x+b，那么参数k和b就是我们需要确定的

值。如果将这些参数用p 表示的话，那么我们就是要找到一组p 值使得如下公式中的S函数最小：

![70][]

这种算法被称之为最小二乘拟合(Least-square fitting)。  
scipy中的子函数库optimize已经提供了实现最小二乘拟合算法的函数leastsq。下面是用leastsq进行

数据拟合的一个例子：

# -*- coding: utf-8 -*-
    import numpy as np
    from scipy.optimize import leastsq
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    def func(x, p):
        """
        数据拟合所用的函数: A*sin(2*pi*k*x + theta)
        """
        A, k, theta = p#给A,k,theta赋值,其中x作为输入,
        return A*np.sin(2*np.pi*k*x+theta)
    
    def residuals(p, y, x):
        """
        实验数据x, y和拟合函数之间的差，p为拟合需要找到的系数
        """
        return y - func(x, p)
    x = np.linspace(0, -2*np.pi, 100)
    A, k, theta = 10, 0.34, np.pi/6 # 真实数据的函数参数
    y0 = func(x, [A, k, theta]) # 真实数据
    y1 = y0 + 2 * np.random.randn(len(x)) # 加入噪声之后的实验数据

\#numpy.random.randn(d0, d1, …, dn)是从标准正态分布中返回一个或多个样本值。   
\#numpy.random.rand(d0, d1, …, dn)的随机样本位于\[0, 1)中。

p0 = [7, 0.2, 0] # 第一次猜测的函数拟合参数
    # 调用leastsq进行数据拟合
    # residuals为计算误差的函数
    # p0为拟合参数的初始值
    # args为需要拟合的实验数据
    plsq = leastsq(residuals, p0, args=(y1, x))
    
    print (u"真实参数:", [A, k, theta])
    print (u"拟合参数", plsq[0] )# 实验数据拟合后的参数
    
    plt.plot(x, y0, label="真实数据")
    plt.plot(x, y1, label="带噪声的实验数据")
    plt.plot(x, func(x, plsq[0]), label="拟合数据")
    plt.legend()
    plt.show()

这个例子中我们要拟合的函数是一个正弦波函数，它有三个参数A, k, theta ，分别对应振幅、频率、  
相角。假设我们的实验数据是一组包含噪声的数据x, y1，其中y1是在真实数据y0的基础上加入噪声的  
到了。  
通过leastsq函数对带噪声的实验数据x, y1进行数据拟合，可以找到x和真实数据y0之间的正弦关系的

三个参数： A, k, theta

![70 1][]

[70]: /images/20220530/5a43a859867c46e69f76a17220921758.png
[70 1]: /images/20220530/cd85ea4157f541bc87fe971ef44fb39b.png