总结——01背包问题（动态规划算法）

曾经终败给现在 2022-05-30 01:21 253阅读 0赞

0-1 背包问题：给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包，物品 i 的重量是 wi，其价值为 vi 。

问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？

分析一波，面对每个物品，我们只有选择拿取或者不拿两种选择，不能选择装入某物品的一部分，也不能装入同一物品多次。

解决办法：声明一个 大小为 m\[n\]\[c\] 的二维数组，m\[ i \]\[ j \] 表示 在面对第 i 件物品，且背包容量为 j 时所能获得的最大价值 ，那么我们可以很容易分析得出 m\[i\]\[j\] 的计算方法，

（1）. j < w\[i\] 的情况，这时候背包容量不足以放下第 i 件物品，只能选择不拿

m\[ i \]\[ j \] = m\[ i-1 \]\[ j \]

（2）. j>=w\[i\] 的情况，这时背包容量可以放下第 i 件物品，我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。

如果拿取，m\[ i \]\[ j \]=m\[ i-1 \]\[ j-w\[ i \] \] + v\[ i \]。 这里的m\[ i-1 \]\[ j-w\[ i \] \]指的就是考虑了i-1件物品，背包容量为j-w\[i\]时的最大价值，也是相当于为第i件物品腾出了w\[i\]的空间。

如果不拿，m\[ i \]\[ j \] = m\[ i-1 \]\[ j \] , 同（1）

究竟是拿还是不拿，自然是比较这两种情况那种价值最大。

由此可以得到状态转移方程：

if(j>=w[i])  
        m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);  
    else  
        m[i][j]=m[i-1][j];

例：0-1背包问题。在使用动态规划算法求解0-1背包问题时，使用二维数组m\[i\]\[j\]存储背包剩余容量为j，可选物品为i、i+1、……、n时0-1背包问题的最优值。绘制

价值数组v = \{8, 10, 6, 3, 7, 2\}，

重量数组w = \{4, 6, 2, 2, 5, 1\}，

背包容量C = 12时对应的m\[i\]\[j\]数组。

(第一行和第一列为序号，其数值为0)

如m\[2\]\[6\],在面对第二件物品，背包容量为6时我们可以选择不拿，那么获得价值仅为第一件物品的价值8，如果拿，就要把第一件物品拿出来，放第二件物品，价值10，那我们当然是选择拿。m\[2\]\[6\]=m\[1\]\[0\]+10=0+10=10;依次类推，得到m\[6\]\[12\]就是考虑所有物品，背包容量为C时的最大价值。

#include <iostream> 
 #include <cstring> 
 using namespace std; 
 
 
 const int N=15; 
 
 
 int main() 
 { 
 int v[N]={0,8,10,6,3,7,2}; 
 int w[N]={0,4,6,2,2,5,1}; 
 
 
 int m[N][N]; 
 int n=6,c=12; 
 memset(m,0,sizeof(m)); 
 for(int i=1;i<=n;i++) 
 { 
 for(int j=1;j<=c;j++) 
 { 
 if(j>=w[i]) 
 m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]); 
 
 
 else 
 m[i][j]=m[i-1][j]; 
 } 
 } 
 
 
 for(int i=1;i<=n;i++) 
 { 
 for(int j=1;j<=c;j++) 
 { 
 cout<<m[i][j]<<' '; 
 } 
 cout<<endl; 
 } 
 
 
 return 0; 
 }

到这一步，可以确定的是可能获得的最大价值，但是我们并不清楚具体选择哪几样物品能获得最大价值。

另起一个 x\[ \] 数组，x\[i\]=0表示不拿，x\[i\]=1表示拿。

m\[n\]\[c\]为最优值，如果m\[n\]\[c\]=m\[n-1\]\[c\] ,说明有没有第n件物品都一样，则x\[n\]=0 ; 否则 x\[n\]=1。当x\[n\]=0时，由x\[n-1\]\[c\]继续构造最优解；当x\[n\]=1时，则由x\[n-1\]\[c-w\[i\]\]继续构造最优解。以此类推，可构造出所有的最优解。（这段全抄算法书，实在不知道咋解释啊。。）

void traceback()  
    {  
        for(int i=n;i>1;i--)  
        {  
            if(m[i][c]==m[i-1][c])  
                x[i]=0;  
            else  
            {  
                x[i]=1;  
                c-=w[i];  
            }  
        }  
        x[1]=(m[1][c]>0)?1:0;  
    }

例：

某工厂预计明年有A、B、C、D四个新建项目，每个项目的投资额Wk及其投资后的收益Vk如下表所示，投资总额为30万元，如何选择项目才能使总收益最大？

<table style="width:749.655px;color:rgb(69,69,69);font-size:16px;background-color:rgb(255,255,255);"> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td style="background:rgb(242,242,242);">Project</td> 
 <td style="background:rgb(242,242,242);">Wk</td> 
 <td style="background:rgb(242,242,242);">Vk</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>A</td> 
 <td>15</td> 
 <td>12</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>B</td> 
 <td>10</td> 
 <td>8</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>C</td> 
 <td>12</td> 
 <td>9</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>D</td> 
 <td>8</td> 
 <td>5</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

结合前面两段代码

#include <iostream> 
 #include <cstring> 
 using namespace std; 
 
 const int N=150; 
 
 int v[N]={0,12,8,9,5}; 
 int w[N]={0,15,10,12,8}; 
 int x[N]; 
 int m[N][N]; 
 int c=30; 
 int n=4; 
 void traceback() 
 { 
 for(int i=n;i>1;i--) 
 { 
 if(m[i][c]==m[i-1][c]) 
 x[i]=0; 
 else 
 { 
 x[i]=1; 
 c-=w[i]; 
 } 
 } 
 x[1]=(m[1][c]>0)?1:0; 
 } 
 
 int main() 
 { 
 
 
 memset(m,0,sizeof(m)); 
 for(int i=1;i<=n;i++) 
 { 
 for(int j=1;j<=c;j++) 
 { 
 if(j>=w[i]) 
 m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]); 
 
 else 
 m[i][j]=m[i-1][j]; 
 } 
 }/* 
 for(int i=1;i<=6;i++) 
 { 
 for(int j=1;j<=c;j++) 
 { 
 cout<<m[i][j]<<' '; 
 } 
 cout<<endl; 
 } 
 */ 
 traceback(); 
 for(int i=1;i<=n;i++) 
 cout<<x[i]; 
 return 0; 
 }

输出x\[i\]数组：0111，输出m\[4\]\[30\]：22。

得出结论：选择BCD三个项目总收益最大，为22万元。

不过这种算法只能得到一种最优解，并不能得出所有的最优解。

转自： [点击打开链接][Link 1]

[Link 1]: http://blog.csdn.net/xp731574722/article/details/70766804