另辟蹊径的归并排序复杂度分析

╰+哭是因爲堅強的太久メ 2022-05-27 13:21 165阅读 0赞

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> **笔者，特别地对归并排序的 `复杂度` 进行了分析**；  
>   
> 看了好多博客，只是简单的说了下结论，结论怎么来的，根本不去分析，写博客跟没写似的,，更气人的是，还有抄书的，书上写啥，博客就写啥，浪费时间，这种博客，写的人、看的人，时间都被浪费了；

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*  归并排序
 *  缺点（使用‘原地归并’解决）
 *  java代码实现
 *  复杂度分析
    
     *  先分析 比较次数 
     *  再分析 访问数组次数
 *  master定理
 *  改进
 *  归并排序的意义

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# 归并排序 #

> 先了解下归并排序中归并的意思；  
>   
> `归并`：即将两个 `有序` 的数组，合并为一个更大的 `有序` 的数组 ；

`思想`：要想将一个大数组排序，我们可以将大数组分为两个小的数组，对这个小的数组进行排序，然后将两个小的有序的数组，`归并` 到一个大的数组中；`递归` 这个过程，直到小的数组中元素**只有一个**，然后进行归并；

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# 缺点（使用‘原地归并’解决） #

从上面的 `思想` 里面，我们可以知道，`归并排序` 是一个使用 `递归` 的排序算法；而说到递归，就会想到每次递归需要的 `空间`；

就像我们上面说的一样，**每次归并两个小数组的时候，都创建一个新的数组（`申请新的内存空间`），将归并的结果放到里面**；这样做，当需要进行排序的数组的长度，很小的时候，没有什么问题；

但是，需要排序的数组的长度很大的时候，我们需要递归的次数，也就随之变多，这样一个递归排序需要的空间，就急剧增加，是我们不能忍受的 ；

**这里我们可以将使用的空间降低到最低**，就是每次递归，进行归并两个小的数组的时候，我们并不创建新的数组，来存储归并的结果 ；**而是在递归开始的时候，创建一个跟需要排序的数组一样大的数组，在每次递归的时候，先把两个小数组里面的元素，复制进这个大数组里面，而将归并的结果，放回小数组里面**；**这样，就避免了，每次递归都创建数组的缺点** ；

但是，还是避免不了最少使用 `N` 个额外的数组空间 ；这里的原地，并不是真正的原地 ；还是需要最少 N 个额外空间 ；

> 上述思想是一种`原地排序` 的思想；

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# java代码实现 #

归并排序有两种实现方式，这是其一：自顶向下的归并排序

package cn.yaz.study.sort._2_2;
    
    import cn.yaz.study.sort._2_1.Example;
    import org.junit.Test;
    
    /** * 归并排序（自顶向下的归并排序） */
    public class Merge { 
    
        @Test
        public void test(){
            Integer[] a = {
       3, 2, 1, 6, 34, 2, 12, 55, 334, 56, 2, 78,12,45,25};
            sort(a);
            Example.show(a);
        }
    
    
        // 辅助数组。所有归并需要的暂用空间，由它提供
        public Comparable[] c;
    
        public void sort(Comparable[] comparable) {
    // 创建辅助数组
            c = new Comparable[comparable.length];
    
    // 进行归并排序
            sort(comparable, 0, comparable.length - 1);
        }
    
        /** * 归并排序的递归代码 */
        public void sort(Comparable[] comparables, int lo, int hi) {
    // 先判断小数组的长度
            if (lo >= hi) {
                return;
            }
    
    // 继续递归，将每一个小数组，再次一分为二
    // 将左半边数组排序
    
            sort(comparables, lo, (lo + hi) / 2);
    
    // 将右半边数组排序
            sort(comparables, (lo + hi) / 2 + 1, hi);
    
    // 小数组各自排序完毕。进行归并
            merge(comparables, lo, hi);
    
        }
    
        /** * 归并代码 */
        public void merge(Comparable[] comparables, int lo, int hi) {
    // 先将需要归并的小数组，复制到辅助数组里面
            for (int i = lo; i <= hi; i++) {
                c[i] = comparables[i];
            }
    
    // 右半边数组的起始角标
            int rStart = (lo + hi) / 2 + 1;
    // 记录下这个其实角标
            int mid = rStart;
    // 因为下面我们需要单独操作数组c、comparables ;因此，我们再准备一套角标
    // lo、hi 操作 comparables数组； i、j 操作 c 数组
            int i = lo;
            int j = hi;
    
    
    // 进行归并
            while (lo <= hi) {
    
    // 需要重点注意的事情：下面的if语句的顺序，是不可以随便写的
    // 也就是判断小数组是个归并结束的代码，要放在数组元素比较之前；
    
    // 表示左半个数组，归并完事了，可以将右边数组剩下元素，直接插入了
               if (i == mid) {
                    comparables[lo++] = c[rStart++];
    // 剩下的最后一种情况，就是右半个数组，归并完事了，可以将左边数组剩下元素，直接插入了
                } else if (rStart == j + 1) {
                    comparables[lo++] = c[i++];
                }
    // 如果 c[i] < c[rStart],小的元素，归并进 comparables 数组中
                else if (Example.less(c[i], c[rStart])) {
    // 赋值的同时，完成 i 指向下一个数组元素
                    comparables[lo++] = c[i++];
                }
    // 如果 c[i] > c[rStart],小的元素，归并进 comparables 数组中
                else if (!Example.less(c[i], c[rStart])) {
    // 赋值的同时，完成 i 指向下一个数组元素
                    comparables[lo++] = c[rStart++];
                }
    
            }
    
        }
    
    }

> Example类，请见 ；

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# 复杂度分析 #

我看了好多博客，根本不对复杂度进行分析，只是直接写出结论，没意思；

## 先分析 `比较次数` ##

`递归树`

![这里写图片描述][70]

（K从0开始计数）第`K`层，有2*k*  2 k 个子数组 ；每个子数组有2*n*−*k*  2 n − k 个元素，对于有2*n*−*k*  2 n − k 个元素的数组，最多需要比较2*n*−*k*  2 n − k 次；第 `K` 层，需要 2*k*  2 k  x 2*n*−*k*  2 n − k  = 2*n*  2 n 次比较；（  n = log2*N*  log ⁡ 2 N  N是数组元素的总数，因此，这里也就是 `N` 次比较 ；）

**这里说的，都是书上的话，看了也不定记得**！反正笔者是没记住

擦！正在我苦苦思索，怎么用语言把比较次数`直白的`、`简单的`、`容易记住的` 描述出来的时候，**我突然发现，递归树，每层元素都是一样多的，都是N个元素，而我们为N个元素进行排序的时候，最多需要N次比较**；so，只要知道递归树有多少层就可以求出一共比较了多少次了；很容易推导出，`N` 个元素的数组的 `二分递归树` 一共有log2*N*  log ⁡ 2 N 层（*根节点除外，学过高中数学就可以推导出*）

因此一共比较了  N x log2*N*  log ⁡ 2 N  = Nlog2*N*  log ⁡ 2 N 次；

上述说的比较次数是`最坏情况`下，因为，数组的个数是2的幂，此时`递归树`是一个`完全二叉树`；

假如，数组的不是2的幂，则 `递归树`，将`不是` 一个完全二叉树，最后一层的元素，就将比 `N` 少，因此，最后一层的比较次数，比 `N` 少；

**因此，总体上是** `小于`  Nlog2*N*  log ⁡ 2 N 次

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## 再分析 **`访问数组次数`** ##

**我另辟蹊径**，**还是从，递归树，每层元素都是一样多的，都是N个元素，这个角度入手**

访问数组的操作，只发生在 `merge( )` 方法里面，而递归树的每层的每一个元素，都是要经过 `merge( )` 方法的，在 `merge( )` 方法里面，N 个元素，需要 N 次 复制，N 次赋值，最多需要 N 次比较，我们在 `merge( )` ，一共有**两个数组**，每次访问都是一起访问，因此，访问数组 `3N x 2 = 6N` 次，而我们一共有 log2*N*  log ⁡ 2 N 层；

**因此，一共访问  6Nlog2*N*  log ⁡ 2 N 次数组 ；**

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# master定理 #

对于这种递归的复杂度，找不到合理的方法，干推，太闹心了，如果不想推导，可以直接使用 `master定理` ；

*  **master定理**
    
    `递归关系`: T(n) = a\*T(n/b)+c\*n^k ；T(1) = c ;
    
    有这样的结论：
    
    `if (a > b^k)` —— `T(n) = O(n^(logb(a)))`
    
    `if (a = b^k)` —— `T(n) = O(n^k*logn)`
    
    `if (a < b^k)` —— `T(n) = O(n^k)`

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sort(comparables, lo, (lo + hi) / 2);   //
    
            sort(comparables, (lo + hi) / 2 + 1, hi);
    
            merge(comparables, lo, hi);

我们写的代码的 `递归状态方程`：这里又需要写出 递归状态方程 。。。。。不写了！（感兴趣的同学，自己去看专门介绍 **master定理** 的博客，这里我还是重点讲 归并排序 的）

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# 改进 #

> 算法第四版的课后作业，有下面的题，我会把代码放到我写的`《算法第四版-课后习题答案》`，里面，需要的同学，可以去查看下 ；

我们可以对上述的代码，进行改进，提高归并排序的性能 ；

*  **对小规模数组使用 `插入排序`**
    
    `理由`：当我们进行递归二数组的时候，如果当小数组的长度，已经不是很大的时候，依然使用递归继续二分的话，那么，我们将频繁的调用 `merge（）` 方法；
    
    **这也是递归固有的通病：当 `子问题` 规模很小的时候,，递归会使得调用过于频繁 ；**
    
    因此，我们可以考虑，当小数组的长度小于一定长度（*书上建议为15*）的时候，使用 `插入排序`，来对小数组进行排序，可以提高 `插入排序` 的性能 ；
    
    因为 `插入排序` 对 **小规模乱序数组**（*满足插入排序适用场景之一：每个元素距离它最终的位置都不远；*） 排序很快；
 *  **每次归并之前，测试两个小数组，是否有序**
    
    `理由`：如果两个小数组满足 `[mid] < [mid+1]` ，也就是说，左边的小数组的最后一个元素，小于右边小数组的第一个元素；那么这两个小数组，是可以直接归并进大数组里面的，这样就省却了每次都比较的开销 ；
 *  **每次归并的时候，不将数组复制到辅助数组里面**
    
    `理由`： 我们可以不用把数组复制到辅助数组里面，再排序回原数组中 ；其实，可以让辅助数组、原数组的角色，来回交替变化，达到完成排序，而不复制的效果 ；

> 上述改动，均可见代码：

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# 归并排序的意义 #

我们前面学过的排序算法，复杂度都是指数级别的，今天学的归并排序，将复杂度降低到了，对数级别；这是一个很有意义的算法，让我们在对非常大多的数据量进行排序，变为可能；

但是，归并排序并不是完美的，它有一个缺点，就是需要 N 个额外空间的辅助数组，来辅助排序，并不是原地排序 ；

下次讲的 `快速排序`，则可以克服掉 `归并排序` 的 缺点 ；

[70]: /images/20220527/027f194f8ddf45c58976a37d33582e00.png