AVL树之 Java的实现

朴灿烈づ我的快乐病毒、 2022-05-25 07:36 122阅读 0赞

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# AVL树的介绍 #

AVL树是根据它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis命名的。  
它是最先发明的自平衡二叉查找树，也被称为高度平衡树。相比于”二叉查找树”，它的特点是：AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1。

AVL树是高度平衡的而二叉树。它的特点是：AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1。

![20180510133752227][]

上面的两张图片，左边的是AVL树，它的任何节点的两个子树的高度差别都<=1；而右边的不是AVL树，因为7的两颗子树的高度相差为2(以2为根节点的树的高度是3，而以8为根节点的树的高度是1)。

AVL树的查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(logn)。  
如果在AVL树中插入或删除节点后，使得高度之差大于1。此时，AVL树的平衡状态就被破坏，它就不再是一棵二叉树；为了让它重新维持在一个平衡状态，就需要对其进行旋转处理。学AVL树，重点的地方也就是它的旋转算法；在后文的介绍中，再来对它进行详细介绍。

# AVL树的Java实现 #

## 1. 节点 ##

## 1.1 节点定义 ##

public class AVLTree<T extends Comparable<T>> { private AVLTreeNode<T> mRoot; // 根结点 // AVL树的节点(内部类) class AVLTreeNode<T extends Comparable<T>> { T key; // 关键字(键值) int height; // 高度 AVLTreeNode<T> left; // 左孩子 AVLTreeNode<T> right; // 右孩子 public AVLTreeNode(T key, AVLTreeNode<T> left, AVLTreeNode<T> right) { this.key = key; this.left = left; this.right = right; this.height = 0; } } ...... }

AVLTree是AVL树对应的类，而AVLTreeNode是AVL树节点，它是AVLTree的内部类。AVLTree包含了AVL树的根节点，AVL树的基本操作也定义在AVL树中。AVLTreeNode包括的几个组成对象:  
(01) key – 是关键字，是用来对AVL树的节点进行排序的。  
(02) left – 是左孩子。  
(03) right – 是右孩子。  
(04) height – 是高度。

## 1.2 树的高度 ##

/* * 获取树的高度 */ private int height(AVLTreeNode<T> tree) { if (tree != null) return tree.height; return 0; } public int height() { return height(mRoot); }

关于高度，有的地方将”空二叉树的高度是-1”，而本文采用维基百科上的定义：树的高度为最大层次。即空的二叉树的高度是0，非空树的高度等于它的最大层次(根的层次为1，根的子节点为第2层，依次类推)。

## 1.3 比较大小 ##

/* * 比较两个值的大小 */ private int max(int a, int b) { return a>b ? a : b; }

## 2. 旋转 ##

如果在AVL树中进行插入或删除节点后，可能导致AVL树失去平衡。这种失去平衡的可以概括为4种姿态：LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)。下面给出它们的示意图：

![20180510133922417][]

上图中的4棵树都是”失去平衡的AVL树”，从左往右的情况依次是：LL、LR、RL、RR。除了上面的情况之外，还有其它的失去平衡的AVL树，如下图：

![20180510133944881][]

上面的两张图都是为了便于理解，而列举的关于”失去平衡的AVL树”的例子。总的来说，AVL树失去平衡时的情况一定是LL、LR、RL、RR这4种之一，它们都由各自的定义：

**(1) LL：LeftLeft**，也称为”左左”。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的左子树还有非空子节点，导致”根的左子树的高度”比”根的右子树的高度”大2，导致AVL树失去了平衡。  
例如，在上面LL情况中，由于”根节点(8)的左子树(4)的左子树(2)还有非空子节点”，而”根节点(8)的右子树(12)没有子节点”；导致”根节点(8)的左子树(4)高度”比”根节点(8)的右子树(12)”高2。

**(2) LR：LeftRight**，也称为”左右”。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的右子树还有非空子节点，导致”根的左子树的高度”比”根的右子树的高度”大2，导致AVL树失去了平衡。  
例如，在上面LR情况中，由于”根节点(8)的左子树(4)的左子树(6)还有非空子节点”，而”根节点(8)的右子树(12)没有子节点”；导致”根节点(8)的左子树(4)高度”比”根节点(8)的右子树(12)”高2。

**(3) RL：RightLeft**，称为”右左”。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的左子树还有非空子节点，导致”根的右子树的高度”比”根的左子树的高度”大2，导致AVL树失去了平衡。  
例如，在上面RL情况中，由于”根节点(8)的右子树(12)的左子树(10)还有非空子节点”，而”根节点(8)的左子树(4)没有子节点”；导致”根节点(8)的右子树(12)高度”比”根节点(8)的左子树(4)”高2。

**(4) RR：RightRight**，称为”右右”。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的右子树还有非空子节点，导致”根的右子树的高度”比”根的左子树的高度”大2，导致AVL树失去了平衡。  
例如，在上面RR情况中，由于”根节点(8)的右子树(12)的右子树(14)还有非空子节点”，而”根节点(8)的左子树(4)没有子节点”；导致”根节点(8)的右子树(12)高度”比”根节点(8)的左子树(4)”高2。

如果在AVL树中进行插入或删除节点后，可能导致AVL树失去平衡。AVL失去平衡之后，可以通过旋转使其恢复平衡，下面分别介绍”LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)”这4种情况对应的旋转方法。

## 2.1 LL的旋转 ##

LL失去平衡的情况，可以通过一次旋转让AVL树恢复平衡。如下图：

![20180510134008138][]

图中左边是旋转之前的树，右边是旋转之后的树。从中可以发现，旋转之后的树又变成了AVL树，而且该旋转只需要一次即可完成。  
对于LL旋转，你可以这样理解为：LL旋转是围绕”失去平衡的AVL根节点”进行的，也就是节点k2；而且由于是LL情况，即左左情况，就用手抓着”左孩子，即k1”使劲摇。将k1变成根节点，k2变成k1的右子树，”k1的右子树”变成”k2的左子树”。

LL的旋转代码

/* * LL：左左对应的情况(左单旋转)。 * * 返回值：旋转后的根节点 */ private AVLTreeNode<T> leftLeftRotation(AVLTreeNode<T> k2) { AVLTreeNode<T> k1; k1 = k2.left; k2.left = k1.right; k1.right = k2; k2.height = max( height(k2.left), height(k2.right)) + 1; k1.height = max( height(k1.left), k2.height) + 1; return k1; }

## 2.2 RR的旋转 ##

理解了LL之后，RR就相当容易理解了。RR是与LL对称的情况！RR恢复平衡的旋转方法如下：

![20180510134047838][]

图中左边是旋转之前的树，右边是旋转之后的树。RR旋转也只需要一次即可完成。

RR的旋转代码

/* * RR：右右对应的情况(右单旋转)。 * * 返回值：旋转后的根节点 */ private AVLTreeNode<T> rightRightRotation(AVLTreeNode<T> k1) { AVLTreeNode<T> k2; k2 = k1.right; k1.right = k2.left; k2.left = k1; k1.height = max( height(k1.left), height(k1.right)) + 1; k2.height = max( height(k2.right), k1.height) + 1; return k2; }

## 2.3 LR的旋转 ##

LR失去平衡的情况，需要经过两次旋转才能让AVL树恢复平衡。如下图：

![20180510134122406][]

第一次旋转是围绕”k1”进行的”RR旋转”，第二次是围绕”k3”进行的”LL旋转”。

LR的旋转代码

/* * LR：左右对应的情况(左双旋转)。 * * 返回值：旋转后的根节点 */ private AVLTreeNode<T> leftRightRotation(AVLTreeNode<T> k3) { k3.left = rightRightRotation(k3.left); return leftLeftRotation(k3); }

## 2.4 RL的旋转 ##

RL是与LR的对称情况！RL恢复平衡的旋转方法如下：

![20180510134159197][]

第一次旋转是围绕”k3”进行的”LL旋转”，第二次是围绕”k1”进行的”RR旋转”。

RL的旋转代码

/* * RL：右左对应的情况(右双旋转)。 * * 返回值：旋转后的根节点 */ private AVLTreeNode<T> rightLeftRotation(AVLTreeNode<T> k1) { k1.right = leftLeftRotation(k1.right); return rightRightRotation(k1); }

## 3. 插入 ##

插入节点的代码

/* * 将结点插入到AVL树中，并返回根节点 * * 参数说明： * tree AVL树的根结点 * key 插入的结点的键值 * 返回值： * 根节点 */ private AVLTreeNode<T> insert(AVLTreeNode<T> tree, T key) { if (tree == null) { // 新建节点 tree = new AVLTreeNode<T>(key, null, null); if (tree==null) { System.out.println("ERROR: create avltree node failed!"); return null; } } else { int cmp = key.compareTo(tree.key); if (cmp < 0) { // 应该将key插入到"tree的左子树"的情况 tree.left = insert(tree.left, key); // 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。 if (height(tree.left) - height(tree.right) == 2) { if (key.compareTo(tree.left.key) < 0) tree = leftLeftRotation(tree); else tree = leftRightRotation(tree); } } else if (cmp > 0) { // 应该将key插入到"tree的右子树"的情况 tree.right = insert(tree.right, key); // 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。 if (height(tree.right) - height(tree.left) == 2) { if (key.compareTo(tree.right.key) > 0) tree = rightRightRotation(tree); else tree = rightLeftRotation(tree); } } else { // cmp==0 System.out.println("添加失败：不允许添加相同的节点！"); } } tree.height = max( height(tree.left), height(tree.right)) + 1; return tree; } public void insert(T key) { mRoot = insert(mRoot, key); }

## 4. 删除 ##

删除节点的代码

/* * 删除结点(z)，返回根节点 * * 参数说明： * tree AVL树的根结点 * z 待删除的结点 * 返回值： * 根节点 */ private AVLTreeNode<T> remove(AVLTreeNode<T> tree, AVLTreeNode<T> z) { // 根为空 或者 没有要删除的节点，直接返回null。 if (tree==null || z==null) return null; int cmp = z.key.compareTo(tree.key); if (cmp < 0) { // 待删除的节点在"tree的左子树"中 tree.left = remove(tree.left, z); // 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。 if (height(tree.right) - height(tree.left) == 2) { AVLTreeNode<T> r = tree.right; if (height(r.left) > height(r.right)) tree = rightLeftRotation(tree); else tree = rightRightRotation(tree); } } else if (cmp > 0) { // 待删除的节点在"tree的右子树"中 tree.right = remove(tree.right, z); // 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。 if (height(tree.left) - height(tree.right) == 2) { AVLTreeNode<T> l = tree.left; if (height(l.right) > height(l.left)) tree = leftRightRotation(tree); else tree = leftLeftRotation(tree); } } else { // tree是对应要删除的节点。 // tree的左右孩子都非空 if ((tree.left!=null) && (tree.right!=null)) { if (height(tree.left) > height(tree.right)) { // 如果tree的左子树比右子树高； // 则(01)找出tree的左子树中的最大节点 // (02)将该最大节点的值赋值给tree。 // (03)删除该最大节点。 // 这类似于用"tree的左子树中最大节点"做"tree"的替身； // 采用这种方式的好处是：删除"tree的左子树中最大节点"之后，AVL树仍然是平衡的。 AVLTreeNode<T> max = maximum(tree.left); tree.key = max.key; tree.left = remove(tree.left, max); } else { // 如果tree的左子树不比右子树高(即它们相等，或右子树比左子树高1) // 则(01)找出tree的右子树中的最小节点 // (02)将该最小节点的值赋值给tree。 // (03)删除该最小节点。 // 这类似于用"tree的右子树中最小节点"做"tree"的替身； // 采用这种方式的好处是：删除"tree的右子树中最小节点"之后，AVL树仍然是平衡的。 AVLTreeNode<T> min = maximum(tree.right); tree.key = min.key; tree.right = remove(tree.right, min); } } else { AVLTreeNode<T> tmp = tree; tree = (tree.left!=null) ? tree.left : tree.right; tmp = null; } } return tree; } public void remove(T key) { AVLTreeNode<T> z; if ((z = search(mRoot, key)) != null) mRoot = remove(mRoot, z); }

## 完整的实现代码 ##

AVL树的实现文件(AVRTree.java)

/** * Java 语言: AVL树 * * @author skywang * @date 2013/11/07 */ public class AVLTree<T extends Comparable<T>> { private AVLTreeNode<T> mRoot; // 根结点 // AVL树的节点(内部类) class AVLTreeNode<T extends Comparable<T>> { T key; // 关键字(键值) int height; // 高度 AVLTreeNode<T> left; // 左孩子 AVLTreeNode<T> right; // 右孩子 public AVLTreeNode(T key, AVLTreeNode<T> left, AVLTreeNode<T> right) { this.key = key; this.left = left; this.right = right; this.height = 0; } } // 构造函数 public AVLTree() { mRoot = null; } /* * 获取树的高度 */ private int height(AVLTreeNode<T> tree) { if (tree != null) return tree.height; return 0; } public int height() { return height(mRoot); } /* * 比较两个值的大小 */ private int max(int a, int b) { return a>b ? a : b; } /* * 前序遍历"AVL树" */ private void preOrder(AVLTreeNode<T> tree) { if(tree != null) { System.out.print(tree.key+" "); preOrder(tree.left); preOrder(tree.right); } } public void preOrder() { preOrder(mRoot); } /* * 中序遍历"AVL树" */ private void inOrder(AVLTreeNode<T> tree) { if(tree != null) { inOrder(tree.left); System.out.print(tree.key+" "); inOrder(tree.right); } } public void inOrder() { inOrder(mRoot); } /* * 后序遍历"AVL树" */ private void postOrder(AVLTreeNode<T> tree) { if(tree != null) { postOrder(tree.left); postOrder(tree.right); System.out.print(tree.key+" "); } } public void postOrder() { postOrder(mRoot); } /* * (递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点 */ private AVLTreeNode<T> search(AVLTreeNode<T> x, T key) { if (x==null) return x; int cmp = key.compareTo(x.key); if (cmp < 0) return search(x.left, key); else if (cmp > 0) return search(x.right, key); else return x; } public AVLTreeNode<T> search(T key) { return search(mRoot, key); } /* * (非递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点 */ private AVLTreeNode<T> iterativeSearch(AVLTreeNode<T> x, T key) { while (x!=null) { int cmp = key.compareTo(x.key); if (cmp < 0) x = x.left; else if (cmp > 0) x = x.right; else return x; } return x; } public AVLTreeNode<T> iterativeSearch(T key) { return iterativeSearch(mRoot, key); } /* * 查找最小结点：返回tree为根结点的AVL树的最小结点。 */ private AVLTreeNode<T> minimum(AVLTreeNode<T> tree) { if (tree == null) return null; while(tree.left != null) tree = tree.left; return tree; } public T minimum() { AVLTreeNode<T> p = minimum(mRoot); if (p != null) return p.key; return null; } /* * 查找最大结点：返回tree为根结点的AVL树的最大结点。 */ private AVLTreeNode<T> maximum(AVLTreeNode<T> tree) { if (tree == null) return null; while(tree.right != null) tree = tree.right; return tree; } public T maximum() { AVLTreeNode<T> p = maximum(mRoot); if (p != null) return p.key; return null; } /* * LL：左左对应的情况(左单旋转)。 * * 返回值：旋转后的根节点 */ private AVLTreeNode<T> leftLeftRotation(AVLTreeNode<T> k2) { AVLTreeNode<T> k1; k1 = k2.left; k2.left = k1.right; k1.right = k2; k2.height = max( height(k2.left), height(k2.right)) + 1; k1.height = max( height(k1.left), k2.height) + 1; return k1; } /* * RR：右右对应的情况(右单旋转)。 * * 返回值：旋转后的根节点 */ private AVLTreeNode<T> rightRightRotation(AVLTreeNode<T> k1) { AVLTreeNode<T> k2; k2 = k1.right; k1.right = k2.left; k2.left = k1; k1.height = max( height(k1.left), height(k1.right)) + 1; k2.height = max( height(k2.right), k1.height) + 1; return k2; } /* * LR：左右对应的情况(左双旋转)。 * * 返回值：旋转后的根节点 */ private AVLTreeNode<T> leftRightRotation(AVLTreeNode<T> k3) { k3.left = rightRightRotation(k3.left); return leftLeftRotation(k3); } /* * RL：右左对应的情况(右双旋转)。 * * 返回值：旋转后的根节点 */ private AVLTreeNode<T> rightLeftRotation(AVLTreeNode<T> k1) { k1.right = leftLeftRotation(k1.right); return rightRightRotation(k1); } /* * 将结点插入到AVL树中，并返回根节点 * * 参数说明： * tree AVL树的根结点 * key 插入的结点的键值 * 返回值： * 根节点 */ private AVLTreeNode<T> insert(AVLTreeNode<T> tree, T key) { if (tree == null) { // 新建节点 tree = new AVLTreeNode<T>(key, null, null); if (tree==null) { System.out.println("ERROR: create avltree node failed!"); return null; } } else { int cmp = key.compareTo(tree.key); if (cmp < 0) { // 应该将key插入到"tree的左子树"的情况 tree.left = insert(tree.left, key); // 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。 if (height(tree.left) - height(tree.right) == 2) { if (key.compareTo(tree.left.key) < 0) tree = leftLeftRotation(tree); else tree = leftRightRotation(tree); } } else if (cmp > 0) { // 应该将key插入到"tree的右子树"的情况 tree.right = insert(tree.right, key); // 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。 if (height(tree.right) - height(tree.left) == 2) { if (key.compareTo(tree.right.key) > 0) tree = rightRightRotation(tree); else tree = rightLeftRotation(tree); } } else { // cmp==0 System.out.println("添加失败：不允许添加相同的节点！"); } } tree.height = max( height(tree.left), height(tree.right)) + 1; return tree; } public void insert(T key) { mRoot = insert(mRoot, key); } /* * 删除结点(z)，返回根节点 * * 参数说明： * tree AVL树的根结点 * z 待删除的结点 * 返回值： * 根节点 */ private AVLTreeNode<T> remove(AVLTreeNode<T> tree, AVLTreeNode<T> z) { // 根为空 或者 没有要删除的节点，直接返回null。 if (tree==null || z==null) return null; int cmp = z.key.compareTo(tree.key); if (cmp < 0) { // 待删除的节点在"tree的左子树"中 tree.left = remove(tree.left, z); // 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。 if (height(tree.right) - height(tree.left) == 2) { AVLTreeNode<T> r = tree.right; if (height(r.left) > height(r.right)) tree = rightLeftRotation(tree); else tree = rightRightRotation(tree); } } else if (cmp > 0) { // 待删除的节点在"tree的右子树"中 tree.right = remove(tree.right, z); // 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。 if (height(tree.left) - height(tree.right) == 2) { AVLTreeNode<T> l = tree.left; if (height(l.right) > height(l.left)) tree = leftRightRotation(tree); else tree = leftLeftRotation(tree); } } else { // tree是对应要删除的节点。 // tree的左右孩子都非空 if ((tree.left!=null) && (tree.right!=null)) { if (height(tree.left) > height(tree.right)) { // 如果tree的左子树比右子树高； // 则(01)找出tree的左子树中的最大节点 // (02)将该最大节点的值赋值给tree。 // (03)删除该最大节点。 // 这类似于用"tree的左子树中最大节点"做"tree"的替身； // 采用这种方式的好处是：删除"tree的左子树中最大节点"之后，AVL树仍然是平衡的。 AVLTreeNode<T> max = maximum(tree.left); tree.key = max.key; tree.left = remove(tree.left, max); } else { // 如果tree的左子树不比右子树高(即它们相等，或右子树比左子树高1) // 则(01)找出tree的右子树中的最小节点 // (02)将该最小节点的值赋值给tree。 // (03)删除该最小节点。 // 这类似于用"tree的右子树中最小节点"做"tree"的替身； // 采用这种方式的好处是：删除"tree的右子树中最小节点"之后，AVL树仍然是平衡的。 AVLTreeNode<T> min = maximum(tree.right); tree.key = min.key; tree.right = remove(tree.right, min); } } else { AVLTreeNode<T> tmp = tree; tree = (tree.left!=null) ? tree.left : tree.right; tmp = null; } } return tree; } public void remove(T key) { AVLTreeNode<T> z; if ((z = search(mRoot, key)) != null) mRoot = remove(mRoot, z); } /* * 销毁AVL树 */ private void destroy(AVLTreeNode<T> tree) { if (tree==null) return ; if (tree.left != null) destroy(tree.left); if (tree.right != null) destroy(tree.right); tree = null; } public void destroy() { destroy(mRoot); } /* * 打印"二叉查找树" * * key -- 节点的键值 * direction -- 0，表示该节点是根节点; * -1，表示该节点是它的父结点的左孩子; * 1，表示该节点是它的父结点的右孩子。 */ private void print(AVLTreeNode<T> tree, T key, int direction) { if(tree != null) { if(direction==0) // tree是根节点 System.out.printf("%2d is root\n", tree.key, key); else // tree是分支节点 System.out.printf("%2d is %2d's %6s child\n", tree.key, key, direction==1?"right" : "left"); print(tree.left, tree.key, -1); print(tree.right,tree.key, 1); } } public void print() { if (mRoot != null) print(mRoot, mRoot.key, 0); } }

AVL树的测试程序(AVLTreeTest.java)

/** * Java 语言: AVL树 * * @author skywang * @date 2013/11/07 */ public class AVLTreeTest { private static int arr[]= {3,2,1,4,5,6,7,16,15,14,13,12,11,10,8,9}; public static void main(String[] args) { int i; AVLTree<Integer> tree = new AVLTree<Integer>(); System.out.printf("== 依次添加: "); for(i=0; i<arr.length; i++) { System.out.printf("%d ", arr[i]); tree.insert(arr[i]); } System.out.printf("\n== 前序遍历: "); tree.preOrder(); System.out.printf("\n== 中序遍历: "); tree.inOrder(); System.out.printf("\n== 后序遍历: "); tree.postOrder(); System.out.printf("\n"); System.out.printf("== 高度: %d\n", tree.height()); System.out.printf("== 最小值: %d\n", tree.minimum()); System.out.printf("== 最大值: %d\n", tree.maximum()); System.out.printf("== 树的详细信息: \n"); tree.print(); i = 8; System.out.printf("\n== 删除根节点: %d", i); tree.remove(i); System.out.printf("\n== 高度: %d", tree.height()); System.out.printf("\n== 中序遍历: "); tree.inOrder(); System.out.printf("\n== 树的详细信息: \n"); tree.print(); // 销毁二叉树 tree.destroy(); } }

# AVL树的Java测试程序 #

AVL树的测试程序运行结果如下：

== 依次添加: 3 2 1 4 5 6 7 16 15 14 13 12 11 10 8 9 == 前序遍历: 7 4 2 1 3 6 5 13 11 9 8 10 12 15 14 16 == 中序遍历: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 == 后序遍历: 1 3 2 5 6 4 8 10 9 12 11 14 16 15 13 7 == 高度: 5 == 最小值: 1 == 最大值: 16 == 树的详细信息: is root is 7's left child is 4's left child is 2's left child is 2's right child is 4's right child is 6's left child is 7's right child is 13's left child is 11's left child is 9's left child is 9's right child is 11's right child is 13's right child is 15's left child is 15's right child == 删除根节点: 8 == 高度: 5 == 中序遍历: 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16 == 树的详细信息: is root is 7's left child is 4's left child is 2's left child is 2's right child is 4's right child is 6's left child is 7's right child is 13's left child is 11's left child is 9's right child is 11's right child is 13's right child is 15's left child is 15's right child

下面，我们对测试程序的流程进行分析！

**1. 新建AVL树**

**2. 依次添加”3,2,1,4,5,6,7,16,15,14,13,12,11,10,8,9” 到AVL树中。**

**2.01 添加3,2**  
添加3,2都不会破坏AVL树的平衡性。

![20180510134439597][]

**2.02 添加1**

添加1之后，AVL树失去平衡(LL)，此时需要对AVL树进行旋转(LL旋转)。旋转过程如下：

![20180510134506696][]

**2.03 添加4**  
添加4不会破坏AVL树的平衡性。

![20180510134533131][]

**2.04 添加5**

添加5之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。旋转过程如下：

![20180510134555747][]

**2.05 添加6**

添加6之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。旋转过程如下：

![2018051013461858][]

**2.06 添加7**

添加7之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。旋转过程如下：

![20180510134640841][]

**2.07 添加16**

添加16不会破坏AVL树的平衡性。

![20180510134703210][]

**2.08 添加15**

添加15之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。旋转过程如下：

![20180510134726519][]

**2.09 添加14**

添加14之后，AVL树失去平衡(RL)，此时需要对AVL树进行旋转(RL旋转)。旋转过程如下：

![20180510134746392][]

**2.10 添加13**

添加13之后，AVL树失去平衡(RR)，此时需要对AVL树进行旋转(RR旋转)。旋转过程如下：

![20180510134806478][]

**2.11 添加12**

添加12之后，AVL树失去平衡(LL)，此时需要对AVL树进行旋转(LL旋转)。旋转过程如下：

![20180510134837333][]

**2.12 添加11**

添加11之后，AVL树失去平衡(LL)，此时需要对AVL树进行旋转(LL旋转)。旋转过程如下：

![20180510134855660][]

**2.13 添加10**

添加10之后，AVL树失去平衡(LL)，此时需要对AVL树进行旋转(LL旋转)。旋转过程如下：

![2018051013492240][]

**2.14 添加8**

添加8不会破坏AVL树的平衡性。

![20180510134941514][]

**2.15 添加9**

但是添加9之后，AVL树失去平衡(LR)，此时需要对AVL树进行旋转(LR旋转)。旋转过程如下：

![20180510135004799][]

**3. 打印树的信息**

输出下面树的信息：

![20180510135025181][]

前序遍历: 7 4 2 1 3 6 5 13 11 9 8 10 12 15 14 16  
中序遍历: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16  
后序遍历: 1 3 2 5 6 4 8 10 9 12 11 14 16 15 13 7  
高度: 5  
最小值: 1  
最大值: 16

**4. 删除节点8**

删除操作并不会造成AVL树的不平衡。

![2018051013504788][]

删除节点8之后，再打印该AVL树的信息。  
高度: 5  
中序遍历: 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16

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[20180510133752227]: /images/20220525/2b9e61a01b0c4ba9a251f1dc941d2f0b.png
[20180510133922417]: /images/20220525/dfc1b54a8b4346e8b0e2dc11589a4477.png
[20180510133944881]: /images/20220525/064455ae7de44b0294d64bffe2202f52.png
[20180510134008138]: /images/20220525/579e6149de3c44a8a692076df33e4e2d.png
[20180510134047838]: /images/20220525/18a521ebd96c437695cd6a8abe45f50b.png
[20180510134122406]: /images/20220525/8f551cb9012e49959241812d96eead2c.png
[20180510134159197]: /images/20220525/f100f75441bf4c06a4c49fe6b01742d9.png
[20180510134439597]: /images/20220525/8221505301914ab2834fe22bdc4bdc49.png
[20180510134506696]: /images/20220525/3096db22331543ccbf36272e068da3f3.png
[20180510134533131]: /images/20220525/d0c61f924d4f4238b74381dac3211655.png
[20180510134555747]: /images/20220525/44535b47050043d683e4d242c65e18e2.png
[2018051013461858]: /images/20220525/1786c16988fd4246ad73e5da8165040b.png
[20180510134640841]: /images/20220525/13d8d8c6ee294206b76b3aa58f2c33d8.png
[20180510134703210]: /images/20220525/85f5c7e711ba4c8cb170bb6ca1c0abf5.png
[20180510134726519]: /images/20220525/9b5c5339a54c4b6bb4229509de996d23.png
[20180510134746392]: /images/20220525/2db7364297f4481e8cfe5e1ccd1abde2.png
[20180510134806478]: /images/20220525/17f8bc01a2e24eab88c51f358da0cf2d.png
[20180510134837333]: /images/20220525/e1696a80c1094bc8bad4f2ec8c10d3e4.png
[20180510134855660]: /images/20220525/2d4754c893c249c5bcab40615ad6ab08.png
[2018051013492240]: /images/20220525/e5c30ef1bc3d46cca36f2fb478c3a259.png
[20180510134941514]: /images/20220525/280246be194a46f18a2fa72a9b3902fe.png
[20180510135004799]: /images/20220525/bb8fe53990f94cb8acabfc8720fcee8a.png
[20180510135025181]: /images/20220525/3e67bd93090d474696f31055813c7b6e.png
[2018051013504788]: /images/20220525/6280076f63d548a5baa106d00ea44220.png