剑指Offer-数组中的逆序对

Love The Way You Lie 2022-05-22 13:22 175阅读 0赞

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来源：牛客网

看到这个题目，我们的第一反应是顺序扫描整个数组。每扫描到一个数组的时候，逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小，则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和O(n)这个数字比较，因此这个算法的时间复杂度为O(n^2)。

我们以数组\{7,5,6,4\}为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候，我们不拿ta和后面的每一个数字作比较，否则时间复杂度就是O(n^2)，因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。

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(a) 把长度为4的数组分解成两个长度为2的子数组；

(b) 把长度为2的数组分解成两个成都为1的子数组；

(d) 把长度为2的子数组合并、排序，并统计逆序对；

在上图（a）和（b）中，我们先把数组分解成两个长度为2的子数组，再把这两个子数组分别拆成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组，一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组\{7\}、\{5\}中7大于5，因此（7,5）组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组\{6\}、\{4\}中也有逆序对（6,4）。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对，因此需要把这两对子数组 **排序** 如上图（c）所示， **以免在以后的统计过程中再重复统计。**

接下来我们统计两个长度为2的子数组子数组之间的逆序对。合并子数组并统计逆序对的过程如下图如下图所示。

我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾，并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个数组中的数字，则构成逆序对，并且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数，如下图（a）和（c）所示。如果第一个数组的数字小于或等于第二个数组中的数字，则不构成逆序对，如图b所示。每一次比较的时候，我们都把较大的数字从后面往前复制到一个辅助数组中，确保 **辅助数组（记为copy）**中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到辅助数组之后，把对应的指针向前移动一位，接下来进行下一轮比较。

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过程：先把数组分割成子数组，先统计出子数组内部的逆序对的数目，然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中，还需要对数组进行排序。如果对排序算法很熟悉，我们不难发现这个过程实际上就是归并排序。参考代码如下：

class Solution {
    public:
        long long  mergeCount(vector<int> &array, vector<int> &copy, int start, int end){
             if(start==end){
                copy[start] = array[start];
                return 0;
            }
            int mid = (start+end)>>1;
            long long leftCount = mergeCount(copy, array, start, mid);
            long long rightCount = mergeCount(copy, array, mid+1, end);
            
            int i = mid;//i初始化为前半段最后一个数字的下标
            int j = end;//j初始化为后半段最后一个数字的下标
            int index = end;//辅助数组复制的数组的最后一个数字的下标
            long long count = 0;//计数--逆序对的数目
            while(i>=start&&j>=mid+1){
                if(array[i]>array[j]){
                    copy[index--] = array[i--];
                    count += j-mid;
                }else{
                    copy[index--] = array[j--];
                }
            }
            for(;i>=start;i--){
                copy[index--] = array[i];
            }
            for(;j>=mid+1;j--){
                copy[index--] = array[j];
            }
            return leftCount+rightCount+count;  
        }
        int InversePairs(vector<int> data) {
            vector<int> copy;
            if(data.size() == 0)
                return 0;
            for(int i = 0; i < data.size(); ++i){
                copy.push_back(data[i]);
            }
            long long count = mergeCount(data,copy,0,data.size()-1);
            return count%1000000007;
        }
    };

[https_www.nowcoder.com_questionTerminal_96bd6684e04a44eb80e6a68efc0ec6c5]: https://www.nowcoder.com/questionTerminal/96bd6684e04a44eb80e6a68efc0ec6c5
[7491640_1525400721676_20170710223428592]: /images/20220522/9770fffca151489495cda713d8066604.png
[7491640_1499735690500_20170711085550783]: https://uploadfiles.nowcoder.net/files/20170711/7491640_1499735690500_20170711085550783