可靠性数据分析教程总结

川长思鸟来 2022-05-22 07:54 2344阅读 0赞

# 常见的可靠性指标及其概率解释 #

## 失效分布和平均寿命 ##

### 剩余寿命 ###

具有年龄t的产品从t开始继续使用下去直到失效为止所经历的时间，记为ξt  ξ t

Ft(x)=P(ξt⩽x)=P(ξ⩽t\+x|ξ>t)=F(t\+x)−F(t)1−F(x)  F t ( x ) = P ( ξ t ⩽ x ) = P ( ξ ⩽ t + x | ξ > t ) = F ( t + x ) − F ( t ) 1 − F ( x )

### 平均寿命 ###

MTTF或MTBF

E(ξ)=∫∞0tf(t)dt  E ( ξ ) = ∫ 0 ∞ t f ( t ) d t

## 可靠度和可靠寿命 ##

要求R(t)=R  R ( t ) = R ，求相应的时间t，这个时间称为可靠寿命tR  t R

*  R=0.5  R = 0.5 时t0.5  t 0.5 称为中位寿命
 *  R=e−1  R = e − 1 时te−1  t e − 1 称为特征寿命

# 数据的初步整理分析 #

## 直方图 ##

分为频数（r）、频率（f）、累计频率（F）、失效率（λ）直方图

组数：k=1\+3.3lg(n)  k = 1 + 3.3 l g ( n )

## 经验分布函数 ##

Fn(t)=⎧⎩⎨0in1,t<t1,ti⩽t<ti\+1,t⩾tn  F n ( t ) = \{ 0 , t < t 1 i n , t i ⩽ t < t i + 1 1 , t ⩾ t n

### 完全样本 ###

样本容量较大时：Fn(ti)=in  F n ( t i ) = i n

样本容量较小（n⩽20  n ⩽ 20 ）时：

*  海森公式：Fn(ti)=i−0.5n  F n ( t i ) = i − 0.5 n 
 *  数学期望公式：Fn(ti)=in\+1  F n ( t i ) = i n + 1 
 *  近似中位秩公式：Fn(ti)=i−0.3n\+0.4  F n ( t i ) = i − 0.3 n + 0.4

当i=n=1  i = n = 1 时它们都等于0.5

### 删失样本 ###

用乘积限估计：

R^(t)=⎧⎩⎨⎪⎪1∏ji=1(n−in−i\+1)δi0,t<t1,tj⩽t<tj\+1,t⩾tn  R ^ ( t ) = \{ 1 , t < t 1 ∏ i = 1 j ( n − i n − i + 1 ) δ i , t j ⩽ t < t j + 1 0 , t ⩾ t n

## 随机截尾寿命试验的可靠度函数计算 ##

### 残存比率法 ###

残存比率法是由概率乘法公式得来的，因此它适用于样本量较大的情况

定义产品在时间区间(ti−1,ti)  ( t i − 1 , t i ) 内的残存概率S(ti)  S ( t i ) ，它是一个条件概率。表示在ti−1  t i − 1 时刻能完好工作的产品继续工作至ti  t i 时刻尚能完好工作的概率

S(ti)=P(ξ>ti|ξ>ti−1)=R(ti)R(ti−1)  S ( t i ) = P ( ξ > t i | ξ > t i − 1 ) = R ( t i ) R ( t i − 1 )

产品在某时刻ti的可靠度

R(ti)=∏j=1iS(tj)  R ( t i ) = ∏ j = 1 i S ( t j )

S(ti)  S ( t i ) 可以由样本估计

### 平均秩次法 ###

平均秩次法可用于样本量较小的情况，它采用了中位秩公式

算出平均秩次i，带入中位秩公式：Fn(tk)=i−0.3n\+0.4  F n ( t k ) = i − 0.3 n + 0.4

例如：如果F2秩次为2，它前面和后面的排列总共有24种；如果F2秩次为3，它前面和后面的排列总共有6种，F2的平均秩次由2、3的种类加权平均得Fn(t2)=6∗3\+24∗26\+24=2.2  F n ( t 2 ) = 6 ∗ 3 + 24 ∗ 2 6 + 24 = 2.2

样本量多时用增量公式：ΔAk=Ak−Ak−1=n\+1−Ak−1n−i\+2  Δ A k = A k − A k − 1 = n + 1 − A k − 1 n − i + 2

## 顺序统计量的应用 ##

### 第k个顺序统计量的分布 ###

设总体ξ  ξ 的分布函数为F(t)  F ( t ) ，密度函数为f(t)  f ( t ) ，则容量为n的子样，其第k个顺序统计量T(k)  T ( k ) 的分布密度函数为：

fT(k)(t)=nCk−1n−1\[F(t)\]k−1\[1−F(t)\]n−kf(t)  f T ( k ) ( t ) = n C n − 1 k − 1 \[ F ( t ) \] k − 1 \[ 1 − F ( t ) \] n − k f ( t )

### 顺序统计量的联合分布、经验分布函数的分布 ###

略

### 各种截尾样本的联合分布 ###

fT1,T2,...,Tr(t1,t2,...,tr)=  f T 1 , T 2 , . . . , T r ( t 1 , t 2 , . . . , t r ) =

*  完全寿命试验：n!∏ni=1f(ti)  n ! ∏ i = 1 n f ( t i ) 
 *  定数截尾试验：n!(n−r)!\[∏ri=1f(ti)\]\[1−F(tr)\]n−r  n ! ( n − r ) ! \[ ∏ i = 1 r f ( t i ) \] \[ 1 − F ( t r ) \] n − r （失效的时间为ti  t i ，顺序已定；未失效的为tr  t r ，(n - r)个排列）
 *  定时截尾试验：n!(n−r)!\[∏ri=1f(ti)\]\[1−F(t0)\]n−r  n ! ( n − r ) ! \[ ∏ i = 1 r f ( t i ) \] \[ 1 − F ( t 0 ) \] n − r （把tr  t r 换为t0  t 0 ）
 *  随机截尾试验：C∏ri=1f(ti)∏ki=1\[1−F(τi)\]  C ∏ i = 1 r f ( t i ) ∏ i = 1 k \[ 1 − F ( τ i ) \] （C不能用一个统一的表达式表示，此处暂以C代之，因为在实际应用中，其大小无影响）

# 常见失效分布 #

## 二项分布 ##

n次伯努利实验成功次数

*  P(X=x)=Cxnpx(1−p)n−x  P ( X = x ) = C n x p x ( 1 − p ) n − x 
 *  E(X)=np  E ( X ) = n p 
 *  D(X)=np(1−p)  D ( X ) = n p ( 1 − p )

当n很大，p很小时近似于泊松分布，λ=np  λ = n p

二项分布的和服从贝塔分布

### 负二项分布 ###

预定成功次数s，求试验次数

*  P(X=x)=Cs−1x−1ps(1−p)x−s  P ( X = x ) = C x − 1 s − 1 p s ( 1 − p ) x − s （最后一次为成功，前面的抽s−1  s − 1 次成功）
 *  E(X)=sp  E ( X ) = s p 
 *  D(X)=s(1−p)p2  D ( X ) = s ( 1 − p ) p 2

### 超几何分布 ###

N个产品有D个次品，抽n个，求次品数

*  P(X=x)=CxDCn−xN−DCnN  P ( X = x ) = C D x C N − D n − x C N n 
 *  E(X)=nDN  E ( X ) = n D N 
 *  D(X)=N−nN−1nDNN−DN  D ( X ) = N − n N − 1 n D N N − D N

当N很大，n很小时近似于二项分布，p=DN  p = D N

### 泊松分布 ###

一段时间内事件发生的次数

*  P(X=x)=λxx!e−λ  P ( X = x ) = λ x x ! e − λ 
 *  E(X)=λ  E ( X ) = λ 
 *  D(X)=λ  D ( X ) = λ

### 贝塔分布 ###

成功s次，失败f次，成功概率的分布

*  f(x)=1B(s,f)xs−1(1−x)f−1=Ix(s,f),0<x<1,s>0,f>0  f ( x ) = 1 B ( s , f ) x s − 1 ( 1 − x ) f − 1 = I x ( s , f ) , 0 < x < 1 , s > 0 , f > 0 
 *  E(x)=ss\+f  E ( x ) = s s + f 
 *  D(x)=sf(s\+f)2(s\+f\+1)  D ( x ) = s f ( s + f ) 2 ( s + f + 1 )

[理解][Link 1]

其中B是贝塔函数

B(p,q)=∫10tp−1(1−t)q−1dt  B ( p , q ) = ∫ 0 1 t p − 1 ( 1 − t ) q − 1 d t

B(p,q)=Γ(p)Γ(q)Γ(p\+q)=B(q,p)  B ( p , q ) = Γ ( p ) Γ ( q ) Γ ( p + q ) = B ( q , p )

不完全贝塔函数（积分上限换为x）

Bx(p,q)=∫x0tp−1(1−t)q−1dt  B x ( p , q ) = ∫ 0 x t p − 1 ( 1 − t ) q − 1 d t

正则贝塔函数

Ix(p,q)=Bx(p,q)B(p,q)  I x ( p , q ) = B x ( p , q ) B ( p , q )

和二项分布的关系（失败次数在f次以内的概率）

∑i=0fCinpn−i(1−p)i=IR(n−f,f\+1)  ∑ i = 0 f C n i p n − i ( 1 − p ) i = I R ( n − f , f + 1 )

## 指数分布 ##

如果产品所受到的应力冲击服从强度为λ  λ 的泊松过程，且产品受到一次冲击就故障，则产品故障次数服从泊松分布，产品寿命服从指数分布（一次事件发生的时间）

*  f(x)=λe−λx  f ( x ) = λ e − λ x 
 *  F(x)=1−e−λx  F ( x ) = 1 − e − λ x 
 *  E(x)=1λ=θ  E ( x ) = 1 λ = θ 
 *  D(x)=1λ2=θ2  D ( x ) = 1 λ 2 = θ 2

### 伽马分布 ###

产品受到k次冲击才故障，产品寿命服从伽马分布（k次事件发生的时间）

*  f(x)=λkΓ(k)xk−1e−λx  f ( x ) = λ k Γ ( k ) x k − 1 e − λ x 
 *  F(x)=1−e−λx∑k−1i=0(λx)ii!  F ( x ) = 1 − e − λ x ∑ i = 0 k − 1 ( λ x ) i i ! 
 *  E(x)=kλ  E ( x ) = k λ 
 *  D(x)=kλ2  D ( x ) = k λ 2

[理解][Link 2]

Γ(k)1f(x)=∫∞0yk−1e−ydy=∫∞0(λx)k−1e−λxd(λx)=∫∞0λkxk−1e−λxdx=∫∞0λkΓ(k)xk−1e−λxdx=λkΓ(k)xk−1e−λx  Γ ( k ) = ∫ 0 ∞ y k − 1 e − y d y = ∫ 0 ∞ ( λ x ) k − 1 e − λ x d ( λ x ) = ∫ 0 ∞ λ k x k − 1 e − λ x d x 1 = ∫ 0 ∞ λ k Γ ( k ) x k − 1 e − λ x d x f ( x ) = λ k Γ ( k ) x k − 1 e − λ x

## 正态分布 ##

很多独立同分布的随机变量相加服从正态分布

*  f(x)=1σ2π√e−(x−μ)22σ2=1σϕ(x−μσ)  f ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 = 1 σ ϕ ( x − μ σ ) 
 *  F(x)=Φ(x−μσ)  F ( x ) = Φ ( x − μ σ ) 
 *  λ(x)=1σϕ(x−μσ)1−Φ(x−μσ)  λ ( x ) = 1 σ ϕ ( x − μ σ ) 1 − Φ ( x − μ σ ) 
 *  E(x)=μ  E ( x ) = μ 
 *  D(x)=σ2  D ( x ) = σ 2

描述寿命时，x从0开始，当μ>3σ  μ > 3 σ 时差别很小，若不满足，则除以x>0  x > 0 部分的面积来满足积分为1（截尾正态分布）

### 对数正态分布 ###

很多独立同分布的随机变量相乘服从正态分布（ln(x)  l n ( x ) 服从正态分布）

μ  μ 、σ  σ 是ln(x)  l n ( x ) 的均值、标准差

*  f(x)=1xσ2π√e−\[ln(x)−μ\]22σ2=1xσϕ(ln(x)−μσ)  f ( x ) = 1 x σ 2 π e − \[ l n ( x ) − μ \] 2 2 σ 2 = 1 x σ ϕ ( l n ( x ) − μ σ ) 
 *  F(x)=Φ(ln(x)−μσ)  F ( x ) = Φ ( l n ( x ) − μ σ ) 
 *  λ(x)=1xσϕ(ln(x)−μσ)1−Φ(ln(x)−μσ)  λ ( x ) = 1 x σ ϕ ( l n ( x ) − μ σ ) 1 − Φ ( l n ( x ) − μ σ ) 
 *  E(x)=eμ\+σ22  E ( x ) = e μ + σ 2 2 
 *  D(x)=E2(x)(eσ2−1)  D ( x ) = E 2 ( x ) ( e σ 2 − 1 )

## 威布尔分布 ##

### 极值分布 ###

n个环寿命为Ti  T i

*  最小极值分布：FT1=1−\[1−F(t)\]n  F T 1 = 1 − \[ 1 − F ( t ) \] n 
 *  最大极值分布：FTn=\[F(t)\]n  F T n = \[ F ( t ) \] n

当n→∞  n → ∞ 时它们趋向于渐进分布，根据F(t)  F ( t ) 不同，有三种较典型的渐近分布

#### 极小值分布 ####

*  I型：Fs(t)=1−e−et−γη,η>0  F s ( t ) = 1 − e − e t − γ η , η > 0 （极值分布）
 *  II型：Fs(t)=1−e−\[−t−γη\]−m,−∞<t⩽γ,η>0,m>0  F s ( t ) = 1 − e − \[ − t − γ η \] − m , − ∞ < t ⩽ γ , η > 0 , m > 0 
 *  III型：Fs(t)=1−e−\[t−γη\]m,γ⩽t<∞,η>0,m>0  F s ( t ) = 1 − e − \[ t − γ η \] m , γ ⩽ t < ∞ , η > 0 , m > 0 （三参数威布尔分布）

#### 极大值分布 ####

*  I型：FL(t)=e−e−t−γη,η>0  F L ( t ) = e − e − t − γ η , η > 0 
 *  II型：FL(t)=e−\[t−γη\]−m,γ⩽t<∞,η>0,m>0  F L ( t ) = e − \[ t − γ η \] − m , γ ⩽ t < ∞ , η > 0 , m > 0 （Frechet分布）
 *  III型：FL(t)=e−\[−t−γη\]m,−∞<t⩽γ,η>0,m>0  F L ( t ) = e − \[ − t − γ η \] m , − ∞ < t ⩽ γ , η > 0 , m > 0

### 威布尔分布 ###

一般t0=ηm  t 0 = η m

*  F(t)=1−e−(t−γ)mt0  F ( t ) = 1 − e − ( t − γ ) m t 0 
 *  f(t)=mt0(t−γ)m−1e−(t−γ)mt0  f ( t ) = m t 0 ( t − γ ) m − 1 e − ( t − γ ) m t 0 
 *  λ(t)=mt0(t−γ)m−1  λ ( t ) = m t 0 ( t − γ ) m − 1 
 *  E(t)=γ\+ηΓ(1\+1m)  E ( t ) = γ + η Γ ( 1 + 1 m ) 
 *  D(t)=η2\[Γ(1\+2m)−Γ2(1\+1m)\]  D ( t ) = η 2 \[ Γ ( 1 + 2 m ) − Γ 2 ( 1 + 1 m ) \]

m是形状参数，m>1  m > 1 时失效率递增，m=1  m = 1 时失效率恒定，m<1  m < 1 时失效率递减

t0  t 0 或η  η 是尺度参数，往往与工作条件负载的大小有关，负载大的，相应的尺度参数要小

γ  γ 是位置参数，平移函数

特征寿命：te−1=γ\+η  t e − 1 = γ + η

## BS分布、逆高斯分布 ##

略

# 可靠性指标的点估计 #

用来估计总体参数的实值统计量称为点估计量。点估计是样本的函数，因而是随机变量。当样本值给定后，得到的是参数的单值

## 点估计的优良性 ##

*  均方差：MSEθ=E(θ^−θ)2=D(θ^)\+\[E(θ^)−θ\]2  M S E θ = E ( θ ^ − θ ) 2 = D ( θ ^ ) + \[ E ( θ ^ ) − θ \] 2 
 *  无偏性：E(θ^)=θ  E ( θ ^ ) = θ ，消除系统误差
 *  一致性：limn→∞P(|θ^−θ|>ε)=0  lim n → ∞ P ( | θ ^ − θ | > ε ) = 0 ，即θ^→Pθ  θ ^ → P θ ，当样本信息足够多时，估计的不确定性可减小到任意小
 *  方差：D(θ^)  D ( θ ^ )

## 矩估计 ##

如果某参数θ  θ 可以表示为总体前r阶矩的函数，则可以用前r阶矩估计θ  θ

原则：（1）涉及到的矩的阶数尽可能小，常用的矩估计一般只涉及一二阶矩；（2）所用估计最好是（最小）充分统计量的函数

## 极大似然估计（MLE） ##

当样本x给定后，可考虑对不同的θ  θ ，概率密度如何变化，它代表试验出现该组样本的相对可能性大小。选取一个使样本观测值结果出现的概率达到最大的值作为θ  θ 的估计值

将x带入联合分布函数得到似然函数L(x;θ)  L ( x ; θ ) ，为了方便可取对数，求θ  θ 使L最大（求导，令导数为0解方程）

在一些情况下不能得到完全寿命数据，其似然函数为截尾样本的联合分布：n!(n−f)!\[∏ri=1f(ti)\]\[1−F(tr)\]n−r  n ! ( n − f ) ! \[ ∏ i = 1 r f ( t i ) \] \[ 1 − F ( t r ) \] n − r

### 指数分布的可靠性指标估计 ###

形式都是θ^=Tr,λ^=1θ^  θ ^ = T r , λ ^ = 1 θ ^

*  完全样本：T=∑ni=1ti  T = ∑ i = 1 n t i 
 *  无替换定数截尾：T=∑ri=1ti\+(n−r)tr  T = ∑ i = 1 r t i + ( n − r ) t r 
 *  无替换定时截尾：T=∑ri=1ti\+(n−r)t0  T = ∑ i = 1 r t i + ( n − r ) t 0 
 *  有替换定数截尾：T=ntr  T = n t r 
 *  有替换定时截尾：T=nt0  T = n t 0 
 *  随机截尾：T=∑ri=1ti\+∑ki=1τi  T = ∑ i = 1 r t i + ∑ i = 1 k τ i

## 最小二乘估计 ##

F(t)经过某种变换G后，使得G(F(t))与φ(t)  φ ( t ) 呈线性关系，其中φ  φ 为某种变换，所有未知参数包含在**系数**中，那么此时可以采用最小二乘估计方法得到参数点估计

例如：威布尔分布F(t)=1−e−tmt0  F ( t ) = 1 − e − t m t 0 ，经变换得ln(ln(11−F(t)))=−ln(t0)\+mln(t)=b0\+b1x  l n ( l n ( 1 1 − F ( t ) ) ) = − l n ( t 0 ) + m l n ( t ) = b 0 + b 1 x ，由最小二乘法得b0,b1  b 0 , b 1 ，变换得t0,m  t 0 , m

## 线性估计 ##

分类：

*  最优线性无偏估计（BLUE）
 *  最优线性不变估计（BLIE）
 *  简单线性无偏估计（GLUE）
 *  简单线性不变估计（GLIE）

### 位置-尺度分布族 ###

设X为位置-尺度分布族随机变量，其分布函数可以表示为

P(X<x)=F(x−μσ)  P ( X < x ) = F ( x − μ σ )

式中μ  μ 为位置参数，σ  σ 为尺度参数，分布函数可以完全由位置参数和尺度参数确定

正态分布、极值分布、指数分布是位置-尺度分布族，威布尔分布、对数正态分布是对数位置-尺度分布族

Y0=Y−μσ  Y 0 = Y − μ σ 为标准位置-刻度族随机变量

线性估计就是用通用方法估计得μ,σ  μ , σ ，再变换得到未知参数

# 可靠性指标的置信限估计 #

P(θ^L<θ<θ^U)=1−α  P ( θ ^ L < θ < θ ^ U ) = 1 − α

其中θ^L  θ ^ L 是置信下限，θ^U  θ ^ U 是置信上限，α  α 是显著度，γ=1−α  γ = 1 − α 是置信水平

P(θ^L<θ)=1−α  P ( θ ^ L < θ ) = 1 − α

其中θ^L  θ ^ L 是单侧置信下限，同理有单侧置信上限

参数θ  θ 是固定的数，因此区间估计的含义为“置信区间覆盖参数真值”而不是“参数真值在该区间内取值”的概率

置信限根据样本不同而不同，因此置信区间描述的是“置信区间覆盖参数真值”可信程度，而不是“由一次样本得到的置信区间覆盖参数真值”的概率

## 枢轴量法 ##

设G=G(X,η)  G = G ( X , η ) 是样本X和未知参数η  η 的一个函数，如果G的分布与η  η 无关，则这样的函数称为枢轴量。枢轴量的分布不依赖未知参数，保证最终求得的置信区间覆盖参数真值的概率不依赖于未知参数

统计量是不包含未知参数的样本的函数，其分布可以包含未知量；枢轴量是包含未知参数的用来估计参数的样本的函数，其分布已知，不包含未知参数

### 正态分布参数的区间估计 ###

#### σ  σ 已知，μ  μ 的置信区间 ####

X¯=1n∑i=1nXiZ=X¯−μσ0n√∼N(μ,σ20n)∼N(0,1)  X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n X i ∼ N ( μ , σ 0 2 n ) Z = X ¯ − μ σ 0 n ∼ N ( 0 , 1 )

P\{ Zα2<P\{ X¯−σ0n−−√Z1−α2<Z<Z1−α2\}=1−αμ<X¯−σ0n−−√Zα2\}=1−α  P \{ Z α 2 < Z < Z 1 − α 2 \} = 1 − α P \{ X ¯ − σ 0 n Z 1 − α 2 < μ < X ¯ − σ 0 n Z α 2 \} = 1 − α

#### μ  μ 已知，σ  σ 的置信区间 ####

Xi−μ0σχ2=(n−1)S2σ2=1σ2∑i=1n(Xi−μ0)2∼N(0,1)∼χ2(n)  X i − μ 0 σ ∼ N ( 0 , 1 ) χ 2 = ( n − 1 ) S 2 σ 2 = 1 σ 2 ∑ i = 1 n ( X i − μ 0 ) 2 ∼ χ 2 ( n )

P\{ χ2α2(n)<P\{ (n−1)S2χ21−α2(n)<χ2<χ21−α2(n)\}=1−ασ2<(n−1)S2χ2α2(n)\}=1−α  P \{ χ α 2 2 ( n ) < χ 2 < χ 1 − α 2 2 ( n ) \} = 1 − α P \{ ( n − 1 ) S 2 χ 1 − α 2 2 ( n ) < σ 2 < ( n − 1 ) S 2 χ α 2 2 ( n ) \} = 1 − α

#### μ  μ 、σ  σ 未知时的置信区间 ####

T=X¯−μSn√χ2=(n−1)S2σ2=1σ2∑i=1n(Xi−X¯2)∼t(n−1)∼χ2(n−1)  T = X ¯ − μ S n ∼ t ( n − 1 ) χ 2 = ( n − 1 ) S 2 σ 2 = 1 σ 2 ∑ i = 1 n ( X i − X ¯ 2 ) ∼ χ 2 ( n − 1 )

P\{ X¯−Sn−−√t1−α2(n−1)<P\{ (n−1)S2χ21−α2(n−1)<μ<X¯−Sn−−√tα2(n−1)\}=1−ασ2<(n−1)S2χ2α2(n−1)\}=1−α  P \{ X ¯ − S n t 1 − α 2 ( n − 1 ) < μ < X ¯ − S n t α 2 ( n − 1 ) \} = 1 − α P \{ ( n − 1 ) S 2 χ 1 − α 2 2 ( n − 1 ) < σ 2 < ( n − 1 ) S 2 χ α 2 2 ( n − 1 ) \} = 1 − α

### 指数分布参数的区间估计 ###

#### 定数截尾 ####

H=2Tθ∼χ2(2r)  H = 2 T θ ∼ χ 2 ( 2 r )

P\{ 2Tχ21−α2(2r)<θ<2Tχ2α2(2r)\}=1−α  P \{ 2 T χ 1 − α 2 2 ( 2 r ) < θ < 2 T χ α 2 2 ( 2 r ) \} = 1 − α

#### 定时截尾 ####

P\{ 2Tχ21−α2(2r\+2)<θ<2Tχ2α2(2r)\}=1−α  P \{ 2 T χ 1 − α 2 2 ( 2 r + 2 ) < θ < 2 T χ α 2 2 ( 2 r ) \} = 1 − α

### 二项分布 ###

p的置信下限pL  p L 由下式确定

∑x=0n−fCxnpn−xL(1−pL)x=α  ∑ x = 0 n − f C n x p L n − x ( 1 − p L ) x = α

p的置信上限pU  p U 由下式确定

∑x=0fCxn(1−pU)n−xpxU=α  ∑ x = 0 f C n x ( 1 − p U ) n − x p U x = α

增函数确定下限，减函数确定上限

#### 可靠度 ####

p为失效概率，R=1−p  R = 1 − p 为可靠度，置信下限RL  R L

∑x=0fCxnRn−xL(1−RL)x=α  ∑ x = 0 f C n x R L n − x ( 1 − R L ) x = α

特殊情况：当f=0  f = 0 时

RL=α1n  R L = α 1 n

## 基于渐近正态性的置信限估计、基于线性估计的置信限估计、Bootstrap方法 ##

略

# 应力强度干涉与容限系数 #

## 应力强度干涉模型 ##

应力s和强度δ  δ 都是随机变量，应力分布与强度分布发生干涉时结构将可能失效

可靠度

R=P(δ>s)=P(δ−s>0)=∫∞−∞\[∫∞sfδ(δ)dδ\]fs(s)ds  R = P ( δ > s ) = P ( δ − s > 0 ) = ∫ − ∞ ∞ \[ ∫ s ∞ f δ ( δ ) d δ \] f s ( s ) d s

## 应力强度干涉可靠度点估计 ##

### 正态分布 ###

y=δ−s∼N(μδ−μs,σ2δ\+σ2s)  y = δ − s ∼ N ( μ δ − μ s , σ δ 2 + σ s 2 )

R=P(y>0)=1−Φ(0−μyσy)=Φ(μyσy)  R = P ( y > 0 ) = 1 − Φ ( 0 − μ y σ y ) = Φ ( μ y σ y )

### 对数正态分布 ###

z=−ln(δ^)−ln(s^)σ2lnδ\+σ2lns−−−−−−−−√  z = − l n ( δ ^ ) − l n ( s ^ ) σ l n δ 2 + σ l n s 2

R=∫∞zΦ(z)dz  R = ∫ z ∞ Φ ( z ) d z

### 指数分布 ###

R=λsλs\+λδ=θδθδ\+θs  R = λ s λ s + λ δ = θ δ θ δ + θ s

## 应力强度干涉可靠度区间估计 ##

略

## （单侧）容限系数法 ##

单侧容限系数的原理是用k取代X¯\+uRσ^  X ¯ + u R σ ^ 中的uR  u R ，使由X¯\+kσ^  X ¯ + k σ ^ 估计出的百分位值以一定的置信度γ  γ 小于真值μ\+uRσ^  μ + u R σ ^

## 统计抽样法 ##

模拟抽样，略

# 系统可靠性综合评估 #

系统综合：利用系统及组成设备的试验信息对系统可靠性指标进行综合评估（点估计和置信下限）

## 系统可靠性模型 ##

*  串联系统：R(t)=∏mi=1Ri(t)  R ( t ) = ∏ i = 1 m R i ( t ) 
 *  并联系统：R(t)=1−∏mi=1(1−Ri(t))  R ( t ) = 1 − ∏ i = 1 m ( 1 − R i ( t ) ) 
 *  表决系统：R(t)=∑mi=kCim\[R1(t)\]i\[1−R1(t)\]m−i  R ( t ) = ∑ i = k m C m i \[ R 1 ( t ) \] i \[ 1 − R 1 ( t ) \] m − i 
 *  旁联系统（冷储备，转换完全可靠）：  
    
    
    R(t)MTTF=1−∫t0f1(t)∗f2(t)∗...∗fm(t)dt=∑i=1mE(Ti)  R ( t ) = 1 − ∫ 0 t f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) ∗ . . . ∗ f m ( t ) d t M T T F = ∑ i = 1 m E ( T i ) 
    
    如果每个部件都服从同一λ  λ 的指数分布（系统失效时间服从伽马分布）  
    
    
    R(t)MTTF=e−λt∑k=0m−1(λt)kk!=mλ  R ( t ) = e − λ t ∑ k = 0 m − 1 ( λ t ) k k ! M T T F = m λ 
    
    [理解卷积][Link 3]
    
    其实就是X、Y联合分布密度在X\+Y=t  X + Y = t 的第二类曲线积分  
    
    
    fX\+Y(t)FX\+Y(t)=∫X\+Y=tfX\+Y(x,y)dx=∫t0fX(x)fY(t−x)dx=fX(x)∗fY(y)=∬X\+Y<tfX\+Y(x,y)dxdy=∫t0\[∫t−x0fY(y)dy\]fX(x)dx=∫t0fX(x)FY(t−x)dx=fX(x)∗FY(y)  f X + Y ( t ) = ∫ X + Y = t f X + Y ( x , y ) d x = ∫ 0 t f X ( x ) f Y ( t − x ) d x = f X ( x ) ∗ f Y ( y ) F X + Y ( t ) = ∬ X + Y < t f X + Y ( x , y ) d x d y = ∫ 0 t \[ ∫ 0 t − x f Y ( y ) d y \] f X ( x ) d x = ∫ 0 t f X ( x ) F Y ( t − x ) d x = f X ( x ) ∗ F Y ( y )

## LM法 ##

适合于部件（子系统）组成的成败型串联系统。

若部件j在nj  n j 次试验中有rj  r j 次失效，sj  s j 次成功，则系统可靠度的极大似然估计为

R^s=∏j=1msjnj  R ^ s = ∏ j = 1 m s j n j

令n∗=min(n1,n2,...,nm)  n ∗ = m i n ( n 1 , n 2 , . . . , n m )

s∗=n∗R^s  s ∗ = n ∗ R ^ s

将s∗  s ∗ 和n∗  n ∗ 看作是整个系统进行n∗  n ∗ 次成败试验，有s∗  s ∗ 次成功。然后再以通常的二项分布参数的区间估计方法求得系统可靠性Rs  R s 的置信下限

如果s∗  s ∗ 不是整数，可按(n∗,\[s∗\])  ( n ∗ , \[ s ∗ \] ) 和(n∗,\[s∗\]\+1)  ( n ∗ , \[ s ∗ \] + 1 ) 分别计算相应的置信下限，然后再插值，得到系统在(n∗,s∗)  ( n ∗ , s ∗ ) 条件下的近似置信下限

### ILM法 ###

克服LM法所得到的置信下限一般偏保守的缺点

1m1−R^0R^0=∑i=1m1ni1−R^iR^i  1 m 1 − R ^ 0 R ^ 0 = ∑ i = 1 m 1 n i 1 − R ^ i R ^ i

解出m0  m 0 ，令s∗=m0R^s  s ∗ = m 0 R ^ s

如果s∗  s ∗ 不是整数，取最接近的整数替代，将s∗  s ∗ 和m0  m 0 看作是整个系统进行m0  m 0 次成败试验，有s∗  s ∗ 次成功

## MML法 ##

对来自成败型单元的子样数据，取极大似然估计下被估子样的方差等于二项分布的方差

R^iD(R^i)R^sD^(R^s)=sini=R^i(1−R^i)ni=R(R^1,R^2,...,R^m)=∑i=1m\[∂R^s∂R^i\]2D(R^i)  R ^ i = s i n i D ( R ^ i ) = R ^ i ( 1 − R ^ i ) n i R ^ s = R ( R ^ 1 , R ^ 2 , . . . , R ^ m ) D ^ ( R ^ s ) = ∑ i = 1 m \[ ∂ R ^ s ∂ R ^ i \] 2 D ( R ^ i )

令

n^s^=R^s(1−R^s)D^(R^s)=n^R^s  n ^ = R ^ s ( 1 − R ^ s ) D ^ ( R ^ s ) s ^ = n ^ R ^ s

如果n^,s^  n ^ , s ^ 不是整数，插值。看作是整个系统进行n^  n ^ 次成败试验，有s^  s ^ 次成功

对于串联系统解得

n^s^=∏mi=1nisi−1∑mi=11si−∑mi=11ni=n∏i=1msini  n ^ = ∏ i = 1 m n i s i − 1 ∑ i = 1 m 1 s i − ∑ i = 1 m 1 n i s ^ = n ∏ i = 1 m s i n i

### IMML法 ###

针对MML法在单元失败数为零时会出现冒进的情况

串联系统

n^s^=∏mi=11R^i−1∑mi=11niR^i−∑mi=11ni=n∏i=1msini  n ^ = ∏ i = 1 m 1 R ^ i − 1 ∑ i = 1 m 1 n i R ^ i − ∑ i = 1 m 1 n i s ^ = n ∏ i = 1 m s i n i

R^i=\{ siniRiL(0.5,n,0),sini<1,sini=1  R ^ i = \{ s i n i , s i n i < 1 R i L ( 0.5 , n , 0 ) , s i n i = 1

实质对于零失效单元，用置信为0.5时的可靠度单侧置信下限值作为其点估计。这样意味着有一半的可能大于真值，也有一半的可能小于真值，其冒进风险极大降低

[Link 1]: https://www.zhihu.com/question/30269898
[Link 2]: https://www.zhihu.com/question/34866983
[Link 3]: https://www.zhihu.com/question/22298352