Python金融大数据分析——第10章推断统计学笔记3

向右看齐 2022-05-21 12:24 187阅读 0赞

*  第10章 推断统计学
    
     *  10.4 风险测度
        
         *  10.4.1 风险价值
         *  10.4.2 信用价值调整

# 第10章 推断统计学 #

[Python金融大数据分析——第10章 推断统计学 笔记1][Python_10_ _ _1]  
[Python金融大数据分析——第10章 推断统计学 笔记2][Python_10_ _ _2]  
[Python金融大数据分析——第10章 推断统计学 笔记3][Python_10_ _ _3]

## 10.4 风险测度 ##

### 10.4.1 风险价值 ###

风险价值（VaR）是最广泛使用的风险测度之一， 也是饱受争议的测度之一。从业人员喜欢其直观性． 但是许多人对其有限的尾部风险捕捉能力进行广泛的讨论和批评——主要是在理论依据上。从字面上讲， VaR 是一个以货币单位（如 美元、欧元、日元）表示的数字， 表示在给定时间周期中不超过某种置信度（概率）的损失（或者一个投资组合、股票头寸等）。

考虑一个当日价值为100万美元的股票头寸， 在30天（ 1个月）内、 置信度为99%的情况下 VaR 为 5 万美元。 这个 VaR 数字说明， 30天内损失不超过 5 万美元的概率为99% ( 100 个案例中有 99 个）。但是， 它并不说明一旦损失超过 5万美元， 损失的规模会达到什么程度——也就是如果最大损失为10万或者50万美元时， 这种特定的“高于 VaR 的损失” 概率有多大。它所说明的只是，发生 5万美元或者更大损失的概率为 1%。我们再次假定使 Black-Scholes-Merton 设置，考虑如下的参数化和未来日期 T=30/365（即假定 30 天的一段时期）指数水平的模拟：

import numpy as np
    import numpy.random as random
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    S0 = 100
    r = 0.05
    sigma = 0.25
    T = 30 / 365.
    I = 10000
    ST = S0 * np.exp((r - 0.5 * sigma ** 2) * T + sigma * np.sqrt(T) * random.standard_normal(I))
    
    # 为了估算VaR数字，需要模拟的绝对利润和相对于近日持仓价值的亏损，并加以排序，即从最严重的亏损到最大的利润
    
    R_gbm = np.sort(ST - S0)
    
    plt.hist(R_gbm, bins=50)
    plt.xlabel('absolute return')
    plt.ylabel('frequency')
    plt.grid(True)

几何布朗运动的绝对收益（ 30 日）  
![几何布朗运动的绝对收益（ 30 日）][30]

import scipy.stats as scs
    
    percs = [0.01, 0.1, 1., 2.5, 5., 10.]
    var = scs.scoreatpercentile(R_gbm, percs)
    print("%16s %16s" % ('Confidence Level', 'Value-at-Risk'))
    print(33 * '-')
    for pair in zip(percs, var):
        print("%16.2f %16.3f" % (100 - pair[0], -pair[1]))
    
    # Confidence Level    Value-at-Risk
    # ---------------------------------
    #            99.99           22.079
    #            99.90           19.911
    #            99.00           15.439
    #            97.50           12.929
    #            95.00           11.129
    #            90.00            8.718

在列表对象 percs 中， 0.1 转换为置信度 100%在1%=99.9% 。在本例中， 置信度为 99.9%的 30 日 VaR 为 22.1 货币单位，而89%置信度下为 8.7 个货币单位。

# Meron的跳跃扩散 动态模拟
    lamb = 0.75
    mu = -0.6
    delta = 0.25
    M = 50
    dt = 30. / 365 / M
    rj = lamb * (np.exp(mu + 0.5 * delta ** 2) - 1)
    S = np.zeros((M + 1, I))
    S[0] = S0
    # 为了模拟跳跃扩散,需要生成3组（独立）随机数：
    sn1 = random.standard_normal((M + 1, I))
    sn2 = random.standard_normal((M + 1, I))
    poi = random.poisson(lamb * dt, (M + 1, I))
    for t in range(1, M + 1, 1):
        S[t] = S[t - 1] * (np.exp((r - rj - 0.5 * sigma ** 2) * dt
                                  + sigma * np.sqrt(dt) * sn1[t])
                           + (np.exp(mu + delta * sn2[t]) - 1)
                           * poi[t])
        S[t] = np.maximum(S[t], 0)
    R_jd = np.sort(S[-1] - S0)
    
    plt.hist(R_jd, bins=50)
    plt.xlabel('value')
    plt.ylabel('frequency')
    plt.grid(True)

跳跃扩散的绝对收益（30日）  
![跳跃扩散的绝对收益（30日）][30 1]

percs = [0.01, 0.1, 1., 2.5, 5., 10.]
    var = scs.scoreatpercentile(R_jd, percs)
    print("%16s %16s" % ('Confidence Level', 'Value-at-Risk'))
    print(33 * '-')
    for pair in zip(percs, var):
        print("%16.2f %16.3f" % (100 - pair[0], -pair[1]))
    
    # Confidence Level    Value-at-Risk
    # ---------------------------------
    #            99.99           79.703
    #            99.90           72.507
    #            99.00           57.857
    #            97.50           50.096
    #            95.00           33.371
    #            90.00            9.386

对于这种过程和参数化，置信度 90%的 30日VaR 相差很少，但是在 99.9%置信度下与几何布朗运动相比高出 3 倍多（ 79.703对22.079 货币单位）。这说明标准 VaR 测度在捕捉金融市场经常遇到的尾部风险方面的问题。最后以图形方式展示两种情况的 VaR 测度以便比较。在典型置信度范围内的 VaR 测度表现完全不同：

# 几何布朗运动和跳跃扩散的风险价值
    percs = list(np.arange(0.0, 10.1, 0.1))
    gbm_var = scs.scoreatpercentile(R_gbm, percs)
    jd_var = scs.scoreatpercentile(R_jd, percs)
    
    plt.plot(percs, gbm_var, 'b', lw=1.5, label='GBM')
    plt.plot(percs, jd_var, 'r', lw=1.5, label='JD')
    plt.legend(loc=4)
    plt.xlabel('100 - confidence level [%]')
    plt.ylabel('value-at-risk')
    plt.grid(True)
    plt.ylim(ymax=0.0)

几何布朗运动和跳跃扩散的风险价值  
![几何布朗运动和跳跃扩散的风险价值][70]

### 10.4.2 信用价值调整 ###

其他重要的风险测度是信用风险价值（CVaR）和从CVaR中派生而来的信用价值调整（CVA）。粗略地讲， CVaR 是对手方可能无法履行其义务所引发风险（例如， 对手方破产）的一个测度。在这种情况下， 有两个主要的假设：违约概率 和 （平均）损失水平。

举个具体的例子， 我们再次考虑Black-Scholes-Merton 的基准设置：

# Black-Scholes-Merton 的基准设置，参数：
    S0 = 100.
    r = 0.05
    sigma = 0.2
    T = 1.
    I = 100000
    ST = S0 * np.exp((r - 0.5 * sigma ** 2) * T + sigma * np.sqrt(T) * random.standard_normal(I))
    
    # 固定（平均）损失水平
    L = 0.5
    # 对手方违约（每年）概率
    p = 0.01
    
    # 使用泊松分布， 违约的方案可以用如下代码生成， 考虑了违约只能发生－次的事实
    D = random.poisson(p * T, I)
    D = np.where(D > 1, 1, D)
    
    # 如果没有违约，未来指数水平的风险中立价值应该等于资产当日现值（取决于数值误差造成的差异）：
    np.exp(-r * T) * 1 / I * np.sum(ST)
    # 99.982104037870357
    
    # 假定条件下CVaR的值
    CVaR = np.exp(-r * T) * 1 / I * np.sum(L * D * ST)
    CVaR
    # 0.52398128347827266
    
    # 经过信用风险调整之后的资产现值
    S0_CVA = np.exp(-r * T) * 1 / I * np.sum((1 - L * D) * ST)
    S0_CVA
    # 99.458122754392079
    
    # 这应该（大约）等于CVaR价值减去当前资产价值
    S0_adj = S0 - CVaR
    S0_adj
    # 99.476018716521722
    
    np.count_nonzero(L * D * ST)
    # 1052

在这个特殊的模拟示例中，假定违约概率为1%、10万次模拟下，由于信用风险引起大约1000次亏损。

plt.hist(L * D * ST, bins=50)
    plt.xlabel('loss')
    plt.ylabel('frequency')
    plt.grid(True)
    plt.ylim(ymax=175)

由于风险中立预期违约引起的亏损（股票）  
![由于风险中立预期违约引起的亏损（股票）][70 1]  
上图展示了由于违约引起亏损的完整频率分布。 当然， 在大部分情况下（10万例中的99 000例）， 没有发现亏损。

现在考虑欧式看涨期权的情况：

K = 100  # 行权价100
    hT = np.maximum(ST - K, 0)
    C0 = np.exp(-r * T) * 1 / I * np.sum(hT)
    C0
    # 10.466594304488577
    # 行权价100时的价值大约为10.5个货币单位
    
    CVaR = np.exp(-r * T) * 1 / I * np.sum(L * D * hT)
    CVaR
    # 0.054095276121378301
    # 在相同的违约概率和损失水平假设下， CVaR大约为5分
    
    S0_CVA = np.exp(-r * T) * 1 / I * np.sum((1 - L * D) * hT)
    S0_CVA
    # 10.412499028367199
    # 调整后的期权价值大约低了5分
    
    
    np.count_nonzero(L * D * hT)  # number of losses
    # 572
    np.count_nonzero(D)  # number of defaults
    # 1052
    I - np.count_nonzero(hT)  # zero payoff
    # 44079
    
    # 和常规资产相比， 期权有不同的特性。 
    # 我们只看到略低于 500 次回违约引起的亏损。
    # 但是仍然有大约1000次违约。
    # 这一结果源于这样的事实：期权到期日时的收益为0的概率很大。
    
    plt.hist(L * D * hT, bins=50)
    plt.xlabel('loos')
    plt.ylabel('frequency')
    plt.grid(True)
    plt.ylim(ymax=350)

由于风险中立预期违约引起的亏损（看涨期权）  
![由于风险中立预期违约引起的亏损（看涨期权）][70 2]

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[Python_10_ _ _1]: https://blog.csdn.net/weixin_42018258/article/details/80902913
[Python_10_ _ _2]: https://blog.csdn.net/weixin_42018258/article/details/80933355
[Python_10_ _ _3]: https://blog.csdn.net/weixin_42018258/article/details/80948082
[30]: /images/20220521/adfdc7529ff24672b6a2b22fb65dae88.png
[30 1]: /images/20220521/6c25d5d1686445dbbeaaca68a466a0ad.png
[70]: /images/20220521/5785590924c54dfcbb36c622fcdd8071.png
[70 1]: /images/20220521/18537de60da44f4a883aa0d90e53c1ef.png
[70 2]: /images/20220521/a2ac56aa078a46d3989dd47da7c02a8b.png