浅谈傅里叶——1. 从无穷级数到欧拉公式

旧城等待， 2022-05-21 02:42 113阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  关于无穷级数
 *  关于正弦波叠加
 *  欧拉公式

# 关于无穷级数 #

对于计算机来说，绝大多数数据是可以当作信号来处理的，而信号处理的焦点，多集中在对信号的时域（temporal domain）、频域（frequency domain）的分析。试想一下，一首优美动听的音乐，如果用五线谱进行表示，是有不同的音符和节拍组成的。对于信号来说，五线谱就是这段音乐的时频信息，包含在什么时候演奏什么音高，一小节时常多少，每个音符的演奏时常是多少，而这是频率信息。

通过时间和频率信息，那么可以告知我们的乐手，如何去演奏一首音乐。但是，反过来，要将一段优美的音乐转换为五线谱，是需要花费一些时间和精力，并且依赖于谱写者对于音准（频率分析）和时间的准确把握。

现在我们回到一个基本的问题，我们可以很容易从等式左边，得出右边的值，但是从等式右边，则很难回溯它是由哪些数组成的，例如：

1 + 2 + 3 = 6 1+2+3=6 1\+2\+3=6

与

6 = ？ + ？ + ？ 6=？+？+？ 6=？\+？\+？

我们用（0，1，5），（0，2，4），（1，1，4）等组合解这个问题。这样的问题或许还比较容易处理，但给定一个复杂的函数，我们怎样用最简函数进行表达呢，比如，对于 e x e^x ex， s i n x sinx sinx，我们该怎样表达呢？

所以，为了解决这个问题，数学家们提出了无穷级数的概念，说到底也就是微分法，通过构造大量极限为0的子函数，去无限逼近函数方程 F ( x ) F(x) F(x)的结果。

那么，回到我们刚才的问题，如果这个这个数列是这样的：

f ( x ) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ⋯ + n + ( n + 1 ) + ⋯ f(x) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + \\cdots + n + (n+1) + \\cdots f(x)=1\+2\+3\+4\+5\+6\+7\+⋯\+n\+(n\+1)\+⋯

它是不是一个级数呢？答案是肯定的，但是对于我们求解问题没有任何意义。首先，我们给出无穷级数的定义如下：

> 若有一个无穷数列: u 1 , u 2 , u 3 , ⋯   , u n , ⋯ u\_1,u\_2,u\_3,\\cdots ,u\_n,\\cdots u1,u2,u3,⋯,un,⋯此数列构成下列表达式: u 1 + u 2 + u 3 + ⋯ + u n + ⋯ u\_1+u\_2+u\_3+\\cdots +u\_n+ \\cdots u1\+u2\+u3\+⋯\+un\+⋯称以上表达式为常数项无穷级数（infinite series），简称级数，记为: ∑ n = 1 ∞ u n = u 1 + u 2 + u 3 + ⋯ + u n + ⋯ \\sum\_\{n=1\}^\{\\infty \}u\_n=u\_1+u\_2+u\_3+\\cdots +u\_n+ \\cdots n=1∑∞un=u1\+u2\+u3\+⋯\+un\+⋯

因此，对于一个无穷的数列，它构成一个级数，而这个级数的 ∑ \\sum ∑，有发散和收敛两种结果。

例如，如果是 1 + 2 + 3 + ⋯ + n 1+2+3+\\cdots+n 1\+2\+3\+⋯\+n那么这个最终加和是 s n = ( a 1 + a n ) × n 2 s\_n=\\frac\{(a\_1+a\_n)\\times n\}\{2\} sn=2(a1\+an)×n， n > 0 n>0 n>0的时候，那么这个 S n S\_n Sn就是一个趋于无限大，我们称这个数列是个发散数列。反过来，如果一个数列类似这样 16 , 8 , 4 , 2 , 1 , 0.5 , 0.25 , ⋯ 16, 8, 4, 2, 1, 0.5, 0.25, \\cdots 16,8,4,2,1,0.5,0.25,⋯按照通项公式，如， 1 2 n \\frac\{1\}\{2^\{n\}\} 2n1这样，那么这个数列加和时，它的 ∑ \\sum ∑就会收敛，因此这个数列就是个收敛数列。

所以，傅里叶级数其实可以认为是收敛的无穷级数的扩展应用。在正式开始介绍傅里叶分析前，首先我们来回顾一下无穷级数的某些性质：

*  无穷级数收敛的一个必要条件是它的通项以0为极限；
 *  若有一个无穷级数且它是收敛的，那么每一项乘以一个常数，则其和等于 a ∑ a\\sum a∑；
 *  若有多个无穷级数，并且都是收敛的，那么它们可以逐项相加或相减，其极限值是多个收敛的无穷级数的极限值之和或差；
 *  若有一个无穷级数且它是收敛的，那么对它增加或减去有限项，不影响其收敛性，但新的极限值不一定相等；
 *  若有一个无穷级数且它是收敛的，那么对它的各项加括弧组成的新级数，也是收敛的，且极限值等于原来的极限值，反之，不一定收敛。

参考资料：

\[1\] [《无穷级数的定义与基本性质》][Link 1]

# 关于正弦波叠加 #

![信号][70]

有这样一个关于时间t的周期信号，它由如下的公式 ∑ \\sum ∑得到：

f ( t ) = c o s ( 2 π ⋅ 10 ⋅ t ) + c o s ( 2 π ⋅ 25 ⋅ t ) + c o s ( 2 π ⋅ 50 ⋅ t ) + c o s ( 2 π ⋅ 100 ⋅ t ) f(t) = cos(2 \\pi \\cdot 10\\cdot t) + cos(2 \\pi \\cdot 25\\cdot t) + cos(2 \\pi \\cdot 50\\cdot t) + cos(2 \\pi \\cdot 100\\cdot t) f(t)=cos(2π⋅10⋅t)\+cos(2π⋅25⋅t)\+cos(2π⋅50⋅t)\+cos(2π⋅100⋅t)

需要注意一点的是，cos函数与sin函数，仅仅只有一个 π 2 \\frac\{\\pi\}\{2\} 2π的相位差。

在实际中，我们只能得到一个关于时间t复杂的周期信号，而无法得到一个包含频率信息的周期信号。所以问题回到我们前面，我们能否通过有限简单的正弦函数（三角函数）去近似模拟一个周期信号呢？

答案是，如果这个信号是周期信号，那么是可以通过有限加和三角函数去模拟复杂的周期信号的，也就是回到无穷级数的定义和应用上。我们把上式做个归纳，并将全部信号以正弦信号加和进行表示。从无穷级数的定义出发，我们可以得到这样一个三角函数的加和公式：

f ( t ) = A 0 + ∑ k = 1 n A k ⋅ s i n ( 2 π k t + ϕ ) f(t) = A\_0 + \\sum\_\{k=1\}^n A\_k \\cdot sin(2\\pi kt + \\phi) f(t)=A0\+k=1∑nAk⋅sin(2πkt\+ϕ)

现在我们已经获得了傅立叶级数的三角函数形式的表达式。但是用这样的一个级数进行表达，对于数学家来说，过于累赘了（因为包含三个变量，振幅 A k A\_k Ak，相位 ϕ \\phi ϕ，角频率k），接下来我们要使用三角函数的变形，对这个表达式进行适当的调整。

> 在正式变换函数表达式前，我们先引入三角函数的和差化积变换式  
>  c o s ( θ + ϕ ) = c o s θ c o s ϕ − s i n θ s i n ϕ cos(\\theta + \\phi) = cos \\theta cos \\phi - sin \\theta sin \\phi cos(θ\+ϕ)=cosθcosϕ−sinθsinϕ  
>  s i n ( θ + ϕ ) = s i n θ c o s ϕ + c o s θ s i n ϕ sin(\\theta + \\phi) = sin \\theta cos \\phi + cos \\theta sin \\phi sin(θ\+ϕ)=sinθcosϕ\+cosθsinϕ

根据三角函数和差化积变形式，我们可以对上式进行变换

s i n ( 2 π k t + ϕ ) = s i n 2 π k t ⋅ c o s ϕ + c o s 2 π k t ⋅ s i n ϕ sin(2\\pi kt + \\phi) = sin 2 \\pi kt \\cdot cos \\phi + cos 2 \\pi kt \\cdot sin\\phi sin(2πkt\+ϕ)=sin2πkt⋅cosϕ\+cos2πkt⋅sinϕ

我们令 c o s ϕ = b k cos \\phi = b\_k cosϕ=bk， s i n ϕ = a k sin\\phi = a\_k sinϕ=ak，则上式为：

s i n ( 2 π k t + ϕ ) = a k c o s 2 π k t + b k s i n 2 π k t sin(2\\pi kt + \\phi) = a\_k cos 2 \\pi kt + b\_k sin 2 \\pi kt sin(2πkt\+ϕ)=akcos2πkt\+bksin2πkt

所以，原式变为：

f ( t ) = A 0 + ∑ k = 1 n A k ⋅ ( a k c o s 2 π k t + b k s i n 2 π k t ) f(t) = A\_0 + \\sum\_\{k=1\}^n A\_k \\cdot (a\_k cos 2 \\pi kt + b\_k sin 2 \\pi kt) f(t)=A0\+k=1∑nAk⋅(akcos2πkt\+bksin2πkt)

之所以要变形为这个样子，是为了我们之后将欧拉公式代入后，把函数从实数平面映射到复平面做准备。

# 欧拉公式 #

目前，我们所有加和，都是在实数平面内的，因此需要我们使用至少三个变量去描述这个正弦加和，有没有简单点的表示方法呢？数学家们发现，如果用复数e表示，我们可以大大简化表达式中的变量。所以，我们将函数从实数平面，映射到复平面，也称阿尔冈平面。

而实数平面与复数平面的映射关系，由欧拉公式作为“桥”，将三角函数与复数联系在了一起，这里我们来推导一下欧拉公式。

首先，我们用泰勒级数分别展开 e x e^x ex， s i n x sinx sinx， c o s x cosx cosx

e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ + x n n ! e^x=1 + \\frac\{x\}\{1!\} + \\frac\{x^2\}\{2!\} + \\frac\{x^3\}\{3!\} + \\cdots + \\frac\{x^n\}\{n!\} ex=1\+1!x\+2!x2\+3!x3\+⋯\+n!xn  
 c o s ( x ) = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ cos(x) = 1 - \\frac\{x^2\}\{2!\} +\\frac\{x^4\}\{4!\}-\\frac\{x^6\}\{6!\}+\\cdots cos(x)=1−2!x2\+4!x4−6!x6\+⋯  
 s i n ( x ) = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ sin(x)=x-\\frac\{x^3\}\{3!\}+\\frac\{x^5\}\{5!\}-\\frac\{x^7\}\{7!\}+\\cdots sin(x)=x−3!x3\+5!x5−7!x7\+⋯

在 e x e^x ex中，将x替换为 j y jy jy，那么表达式就变为： e j y = 1 + j y 1 ! + ( j y ) 2 2 ! + ( j y ) 3 3 ! + ⋯ e^\{jy\} = 1 + \\frac\{jy\}\{1!\} + \\frac\{(jy)^2\}\{2!\} + \\frac\{(jy)^3\}\{3!\} + \\cdots ejy=1\+1!jy\+2!(jy)2\+3!(jy)3\+⋯其中， j j j代表虚数， j 2 = − 1 j^2 = -1 j2=−1，所以：

e j y = 1 + j y 1 ! − y 2 2 ! + ( j y ) 3 3 ! + y 4 4 ! + ⋯ e^\{jy\} = 1 + \\frac\{jy\}\{1!\} - \\frac\{y^2\}\{2!\} + \\frac\{(jy)^3\}\{3!\} + \\frac\{y^4\}\{4!\} + \\cdots ejy=1\+1!jy−2!y2\+3!(jy)3\+4!y4\+⋯

所以：

e j y = ( 1 − y 2 2 ! + y 4 4 ! + ⋯   ) + ( j y − j y 3 3 ! + j y 5 5 ! + ⋯   ) e^\{jy\}=(1- \\frac\{y^2\}\{2!\} + \\frac\{y^4\}\{4!\} + \\cdots) + (jy - \\frac\{jy^3\}\{3!\} + \\frac\{jy^5\}\{5!\} + \\cdots) ejy=(1−2!y2\+4!y4\+⋯)\+(jy−3!jy3\+5!jy5\+⋯)

于是我们推导出欧拉公式：

e j y = c o s ( x ) + j ⋅ s i n ( x ) e^\{jy\} = cos(x) + j \\cdot sin(x) ejy=cos(x)\+j⋅sin(x)

参考资料：

\[1\] [《欧拉公式》][Link 2]  
\[2\][《泰勒级数》][Link 3]

[Link 1]: https://wenku.baidu.com/view/d4a38382b9d528ea81c779eb.html
[70]: /images/20220521/03147d3d848e41b1a4754d0f760db92a.png
[Link 2]: https://baike.baidu.com/item/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%85%AC%E5%BC%8F
[Link 3]: https://baike.baidu.com/item/%E6%B3%B0%E5%8B%92%E7%BA%A7%E6%95%B0