四、用SVD压缩图像

ゝ一纸荒年。 2022-05-20 02:54 159阅读 0赞

矩阵的奇异值分解是矩阵的一种分解方式。我们可以利用矩阵的奇异值分解，提取矩阵的主要信息，从而通过比原矩阵少的数据量，来还原跟原矩阵差不多的信息。在python的numpy库中跟我们提供了svd分解的函数：

U, S, VT = numpy.linalg.svd(matrix)

该函数返回2个矩阵U、VT和1个1维的奇异值向量，这是因为奇异值矩阵是一个对角矩阵，除了对角元素外其他元素都为0，转为向量可以节省空间。我们可以通过观察奇异值向量，选取前k个奇异值（一般这k个奇异值之和占所有奇异值之和的90%）来还原原矩阵，还原方式如下：

import numpy as np
    
    sig = np.eye(k) * sigma[: k]  # 将奇异值向量的前k个奇异值转为对角矩阵
    # 前k个奇异值对应矩阵U的前k列,对应矩阵VT的前k行，可以结合下图观察
    new_matrix= np.dot(np.dot(U[:, :k], sig), VT[:k, :])

![这里写图片描述][70]

下面上压缩图像的代码：

import numpy as np
    from scipy import ndimage
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    
    def pic_compress(k, pic_array):
        u, sigma, vt = np.linalg.svd(pic_array)
        sig = np.eye(k) * sigma[: k]
        new_pic = np.dot(np.dot(u[:, :k], sig), vt[:k, :])  # 还原图像
        size = u.shape[0] * k + sig.shape[0] * sig.shape[1] + k * vt.shape[1]  # 压缩后大小
        return new_pic, size
    
    
    filename = "./Data/pic1.jpg"
    ori_img = np.array(ndimage.imread(filename, flatten=True))
    new_img, size = pic_compress(30, ori_img)
    print("original size:" + str(ori_img.shape[0] * ori_img.shape[1]))
    print("compress size:" + str(size))
    fig, ax = plt.subplots(1, 2)
    ax[0].imshow(ori_img)
    ax[0].set_title("before compress")
    ax[1].imshow(new_img)
    ax[1].set_title("after compress")
    plt.show()

为了方便，我读取的是灰度图像，没有RGB3个通道，并选取了前30个奇异值来还原原图像，效果如下：

![这里写图片描述][70 1]

从图中可以看出来除了图像变模糊外基本能知道图中的物体是什么，压缩前后图像的大小如下：

![这里写图片描述][70 2]

可以看出压缩之后，所占大小差不多小了接近10倍，还是挺不错的

[70]: /images/20220520/695a338813554e8bb703c09ae39879ec.png
[70 1]: /images/20220520/d2aa9e1168264e9abd844fd5fac76386.png
[70 2]: /images/20220520/9972f177992543b1ba53ed5229e35106.png