数据标准化/归一化normalization

以你之姓@ 2022-05-20 01:15 652阅读 0赞

http://[blog.csdn.net/pipisorry/article/details/52247379][blog.csdn.net_pipisorry_article_details_52247379]

这里主要讲连续型特征归一化的常用方法。离散参考\[[数据预处理：独热编码（One-Hot Encoding）][One-Hot Encoding]\]。

基础知识参考：

\[[均值、方差与协方差矩阵 ][Link 1]\]

\[[矩阵论：向量范数和矩阵范数 ][Link 2]\]

## 数据的标准化（normalization）和归一化    ##

数据的标准化（normalization）是将数据按比例缩放，使之落入一个小的特定区间。在某些比较和评价的指标处理中经常会用到，去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。其中最典型的就是数据的归一化处理，即将数据统一映射到\[0,1\]区间上。

目前数据标准化方法有多种，归结起来可以分为直线型方法(如极值法、标准差法)、折线型方法(如三折线法)、曲线型方法(如半正态性分布)。不同的标准化方法，对系统的评价结果会产生不同的影响，然而不幸的是，在数据标准化方法的选择上，还没有通用的法则可以遵循。

### 归一化的目标    ###

1 把数变为（0，1）之间的小数  
        主要是为了数据处理方便提出来的，把数据映射到0～1范围之内处理，更加便捷快速，应该归到数字信号处理范畴之内。  
2 把有量纲表达式变为无量纲表达式  
        归一化是一种简化计算的方式，即将有量纲的表达式，经过变换，化为无量纲的表达式，成为纯量。 比如，复数阻抗可以归一化书写：Z = R + jωL = R(1 + jωL/R) ，复数部分变成了纯数量了，没有量纲。   
另外，微波之中也就是电路分析、信号系统、电磁波传输等，有很多运算都可以如此处理，既保证了运算的便捷，又能凸现出物理量的本质含义。

### 归一化后有两个好处 ###

1. 提升模型的收敛速度

如下图，x1的取值为0-2000，而x2的取值为1-5，假如只有这两个特征，对其进行优化时，会得到一个窄长的椭圆形，导致在梯度下降时，梯度的方向为垂直等高线的方向而走之字形路线，这样会使迭代很慢，相比之下，右图的迭代就会很快（理解：也就是步长走多走少方向总是对的，不会走偏）

![743682-20151108152327539-2039269197.png][]  
2.提升模型的精度

归一化的另一好处是提高精度，这在涉及到一些距离计算的算法时效果显著，比如算法要计算欧氏距离，上图中x2的取值范围比较小，涉及到距离计算时其对结果的影响远比x1带来的小，所以这就会造成精度的损失。所以归一化很有必要，他可以让各个特征对结果做出的贡献相同。

在多指标评价体系中，由于各评价指标的性质不同，通常具有不同的量纲和数量级。当各指标间的水平相差很大时，如果直接用原始指标值进行分析，就会突出数值较高的指标在综合分析中的作用，相对削弱数值水平较低指标的作用。因此，为了保证结果的可靠性，需要对原始指标数据进行标准化处理。

在数据分析之前，我们通常需要先将数据标准化（normalization），利用标准化后的数据进行数据分析。数据标准化也就是统计数据的指数化。数据标准化处理主要包括数据同趋化处理和无量纲化处理两个方面。数据同趋化处理主要解决不同性质数据问题，对不同性质指标直接加总不能正确反映不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对测评方案的作用力同趋化，再加总才能得出正确结果。数据无量纲化处理主要解决数据的可比性。经过上述标准化处理，原始数据均转换为无量纲化指标测评值，即各指标值都处于同一个数量级别上，可以进行综合测评分析。

从经验上说，归一化是让不同维度之间的特征在数值上有一定比较性，可以大大提高分类器的准确性。

![Center][]

3. 深度学习中数据归一化可以防止模型梯度爆炸。

## 数据需要归一化的机器学习算法 ##

需要归一化的模型：

有些模型在各个维度进行不均匀伸缩后，最优解与原来不等价，例如SVM（距离分界面远的也拉近了，支持向量变多？）。对于这样的模型，除非本来各维数据的分布范围就比较接近，否则必须进行标准化，以免模型参数被分布范围较大或较小的数据dominate。  
        有些模型在各个维度进行不均匀伸缩后，最优解与原来等价，例如logistic regression（因为θ的大小本来就自学习出不同的feature的重要性吧？）。对于这样的模型，是否标准化理论上不会改变最优解。但是，由于实际求解往往使用迭代算法，如果目标函数的形状太“扁”，迭代算法可能收敛得很慢甚至不收敛。所以对于具有伸缩不变性的模型，最好也进行数据标准化。

不需要归一化的模型：

ICA好像不需要归一化（因为独立成分如果归一化了就不独立了？）。

基于平方损失的最小二乘法OLS不需要归一化。

\[[线性回归与特征归一化(feature scaling)][feature scaling]\]

[皮皮blog][blog]

# 常见的数据归一化方法 #

最常用的是 min-max标准化 和 z-score 标准化。

## min-max标准化(Min-max normalization)/0-1标准化(0-1 normalization)/线性函数归一化/离差标准化 ##

是对原始数据的线性变换，使结果落到\[0,1\]区间，转换函数如下：

![323808-20160307152657304-486322487.png][]

其中max为样本数据的最大值，min为样本数据的最小值。

def Normalization(x):  
    return \[(float(i)-min(x))/float(max(x)-min(x)) for i in x\]

如果想要将数据映射到\[-1,1\]，则将公式换成：

x\* = x\* \* 2 -1

或者进行一个近似

x\* = (x - x\_mean)/(x\_max - x\_min), x\_mean表示数据的均值。

def Normalization2(x):  
    return \[(float(i)-np.mean(x))/(max(x)-min(x)) for i in x\]

这种方法有一个缺陷就是当有新数据加入时，可能导致max和min的变化，需要重新定义。

## z-score 标准化(zero-mean normalization) ##

最常见的标准化方法就是Z标准化，也是SPSS中最为常用的标准化方法，spss默认的标准化方法就是z-score标准化。

也叫标准差标准化，这种方法给予原始数据的均值（mean）和标准差（standard deviation）进行数据的标准化。

经过处理的数据符合标准正态分布，即均值为0，标准差为1，其转化函数为：

x\* = (x - μ ) / σ

其中μ为所有样本数据的均值，σ为所有样本数据的标准差。

z-score标准化方法适用于属性A的最大值和最小值未知的情况，或有超出取值范围的离群数据的情况。该种归一化方式要求原始数据的分布可以近似为高斯分布，否则归一化的效果会变得很糟糕。

标准化的公式很简单，步骤如下

1.求出各变量（指标）的算术平均值（数学期望）xi和标准差si ；  
　　2.进行标准化处理：  
　　zij=（xij－xi）/si  
　　其中：zij为标准化后的变量值；xij为实际变量值。  
　　3.将逆指标前的正负号对调。  
　　标准化后的变量值围绕0上下波动，大于0说明高于平均水平，小于0说明低于平均水平。

def z_score(x, axis):
        x = np.array(x).astype(float)
        xr = np.rollaxis(x, axis=axis)
        xr -= np.mean(x, axis=axis)
        xr /= np.std(x, axis=axis)
        # print(x)
        return x

为什么z-score 标准化后的数据标准差为1?

###  ###

x-μ只改变均值，标准差不变，所以均值变为0

(x-μ)/σ只会使标准差除以σ倍，所以标准差变为1

![Center 1][]

这两种最常用方法使用场景：

1、在分类、聚类算法中，需要使用距离来度量相似性的时候、或者使用PCA技术进行降维的时候，第二种方法(Z-score standardization)表现更好。

2、在不涉及距离度量、协方差计算、数据不符合正太分布的时候，可以使用第一种方法或其他归一化方法。比如图像处理中，将RGB图像转换为灰度图像后将其值限定在\[0 255\]的范围。  
原因是使用第一种方法(线性变换后)，其协方差产生了倍数值的缩放，因此这种方式无法消除量纲对方差、协方差的影响，对PCA分析影响巨大；同时，由于量纲的存在，使用不同的量纲、距离的计算结果会不同。

而在第二种归一化方式中，新的数据由于对方差进行了归一化，这时候每个维度的量纲其实已经等价了，每个维度都服从均值为0、方差1的正态分布，在计算距离的时候，每个维度都是去量纲化的，避免了不同量纲的选取对距离计算产生的巨大影响。  
\[ [再谈机器学习中的归一化方法（Normalization Method） ][Normalization Method]\]

[皮皮blog][blog]

## log函数转换 ##

通过以10为底的log函数转换的方法同样可以实现归一下，具体方法如下：

![323808-20160307152838663-1519807797.png][]

看了下网上很多介绍都是x\*=log10(x)，其实是有问题的，这个结果并非一定落到\[0,1\]区间上，应该还要除以log10(max)，max为样本数据最大值，并且所有的数据都要大于等于1。

## atan函数转换 ##

用反正切函数也可以实现数据的归一化。

![323808-20160307152932163-740933698.png][]

使用这个方法需要注意的是如果想映射的区间为\[0,1\]，则数据都应该大于等于0，小于0的数据将被映射到\[-1,0\]区间上，而并非所有数据标准化的结果都映射到\[0,1\]区间上。

## Decimal scaling小数定标标准化 ##

这种方法通过移动数据的小数点位置来进行标准化。小数点移动多少位取决于属性A的取值中的最大绝对值。

将属性A的原始值x使用decimal scaling标准化到x'的计算方法是：  
x'=x/(10^j)  
其中，j是满足条件的最小整数。  
例如 假定A的值由-986到917，A的最大绝对值为986，为使用小数定标标准化，我们用每个值除以1000（即，j=3），这样，-986被规范化为-0.986。  
注意，标准化会对原始数据做出改变，因此需要保存所使用的标准化方法的参数，以便对后续的数据进行统一的标准化。

## Logistic/Softmax变换 ##

\[[Sigmod/Softmax变换 ][Sigmod_Softmax]\]

## 模糊量化模式 ##

新数据=1/2+1/2sin\[派3.1415/（极大值-极小值）\*（X-（极大值-极小值）/2） \] X为原数据

[皮皮blog][blog]

# 数据标准化/归一化的编程实现 #

python库实现和调用

\[[Scikit-learn：数据预处理Preprocessing data ][Scikit-learn_Preprocessing data]\]

from: [http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/52247379][blog.csdn.net_pipisorry_article_details_52247379]

[blog.csdn.net_pipisorry_article_details_52247379]: http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/52247379
[One-Hot Encoding]: http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/61193868
[Link 1]: http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/48788671
[Link 2]: http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/51030563
[743682-20151108152327539-2039269197.png]: /images/20220520/508bc63623be45a887d21407d011edc1.png
[Center]: /images/20220520/f7689a74b7894895913ea61d9de8db1f.png
[feature scaling]: http://www.cnblogs.com/ooon/p/4947347.html
[blog]: http://blog.csdn.net/pipisorry
[323808-20160307152657304-486322487.png]: /images/20220520/b21ca336bee4400aa2e04e163a8f1bf4.png
[Center 1]: /images/20220520/f2eafed4f58749afa70091424802c5ac.png
[Normalization Method]: http://blog.csdn.net/zbc1090549839/article/details/44103801
[323808-20160307152838663-1519807797.png]: /images/20220520/1d4a337eeb4e47e6b1ea455db994aa15.png
[323808-20160307152932163-740933698.png]: /images/20220520/f05401ae605a46e98261a2fe970d40ea.png
[Sigmod_Softmax]: http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/77816624
[Scikit-learn_Preprocessing data]: http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/52247679