next_permutation(全排列算法)

淡淡的烟草味﹌ 2022-05-19 10:44 201阅读 0赞

STL提供了两个用来计算排列组合关系的算法，分别是next\_permutation和prev\_permutation。首先我们必须了解什么是“下一个”排列组合，什么是“前一个”排列组合。考虑三个字符所组成的序列\{a,b,c\}。

这个序列有六个可能的排列组合：abc，acb，bac，bca，cab，cba。这些排列组合根据less-than操作符做字典顺序(lexicographical*)*的排序。也就是说，abc名列第一，因为每一个元素都小于其后的元素。acb是次一个排列组合，因为它是固定了a(序列内最小元素)之后所做的新组合。

同样道理，那些固定b(序列中次小元素)而做的排列组合，在次序上将先于那些固定c而做的排列组合。以bac和bca为例，bac在bca之前，因为次序ac小于序列ca。面对bca，我们可以说其前一个排列组合是bac，而其后一个排列组合是cab。序列abc没有“前一个”排列组合，cba没有“后一个”排列组合。

next\_permutation()会取得\[first,last)所标示之序列的下一个排列组合，如果没有下一个排列组合，便返回false;否则返回true。这个算法有两个版本。版本一使用元素型别所提供的less-than操作符来决定下一个排列组合，版本二则是以仿函数comp来决定。

**算法思想：**

1.首先从最尾端开始往前寻找两个相邻元素，令第一元素为\*i,第二元素为\*ii,且满足\*i<\*ii。

2.找到这样一组相邻元素后，再从最尾端开始往前检验，找出第一个大于\*i的元素，令为\*j，将i,j元素对调(swap)。

3.再将ii之后的所有元素颠倒(reverse)排序。

举个实例，假设有序列\{0,1,2,3,4\}，下图便是套用上述演算法则，一步一步获得“下一个”排列组合。图中只框出那符合“一元素为\*i,第二元素为\*ii,且满足\*i<\*ii ”的相邻两元素，至于寻找适当的j、对调、逆转等操作并未显示出。  
![Center][]  
以下便是版本一的实现细节。版本二相当类似，就不列出来了。

template<calss BidrectionalIterator>
    bool next_permutation(BidrectionalIterator first,BidrectionalIterator last)
    {
    	if(first == lase) return false; /* 空区间 */
    	BidrectionalIterator i = first;
    	++i;
    	if(i == last) return false;  /* 只有一个元素 */
    	i = last;                    /* i指向尾端 */  
    	--i;
    	for(;;)
    	{
    		BidrectionalIterator ii = i;
    		--i;
    		/* 以上锁定一组(两个)相邻元素 */
    		if(*i < *ii)           /* 如果前一个元素小于后一个元素 */
    		{
    			BidrectionalIterator j = last; /* 令j指向尾端 */
    			while(!(*i < *--j));     /* 由尾端往前找，直到遇到比*i大的元素 */
    			iter_swap(i,j);          /* 交换i,j */
    			reverse(ii,last);        /* 将ii之后的元素全部逆序重排 */
    			return true;
    		}
    		if(i == first)       /* 进行至最前面了 */
    		{
    			reverse(first,last);    /* 全部逆序重排 */
    			return false;
    		}
    	}
    }

**简单应用**

输出序列\{1,2,3,4\}字典序的全排列。

**\[代码实现\]**

#include<iostream>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    int main()
    {
    	int ans[4]={1,2,3,4};
    	sort(ans,ans+4);    /* 这个sort可以不用，因为{1，2，3，4}已经排好序*/
    	do                             /*注意这步，如果是while循环，则需要提前输出*/
    	{
    		for(int i=0;i<4;++i)
    			cout<<ans[i]<<" ";
    		cout<<endl;
    	}while(next_permutation(ans,ans+4));
    	return 0;
    }

**拓展**

1.能否直接算出集合\{1, 2, ..., m\}的第n个排列？

举例说明：如7个数的集合为\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}，要求出第n=1654个排列。

(1654 / 6!)取整得2，确定第1位为3（从0开始计数），剩下的6个数\{1, 2, 4, 5, 6, 7\}，求第1654 % 6!=214个序列；

(214 / 5!)取整得1，确定第2位为2，剩下5个数\{1, 4, 5, 6, 7\}，求第214 % 5!=94个序列；

(94 / 4!)取整得3，确定第3位为6，剩下4个数\{1, 4, 5, 7\}，求第94 % 4!=22个序列；

(22 / 3!)取整得3，确定第4位为7，剩下3个数\{1, 4, 5\}，求第22 % 3!=4个序列；

(4 / 2!)得2，确定第5为5，剩下2个数\{1, 4\}；由于4 % 2!=0，故第6位和第7位为增序<1 4>；

因此所有排列为：3267514。

**\[代码实现\]**

#include<iostream>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    int main()
    {
    	int ans[7]={1,2,3,4,5,6,7};
    	sort(ans,ans+7);  /* 同上可以不用sort */
    	int n=0; 
    	do                             //注意这步，如果是while循环，则需要提前输出
    	{
    		if(n == 1654)
    		{
    		 	for(int i=0;i<7;++i)
    			cout<<ans[i];
    			cout<<endl;
    			break;
    		}
    		n++;
    	 }while(next_permutation(ans,ans+7));
    	return 0;
    }

2. 给定一种排列，如何算出这是第几个排列呢？

和前一个问题的推导过程相反。例如3267514：

后6位的全排列为6!，3为\{1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7\}中第2个元素（从0开始计数），故2\*720=1440；

后5位的全排列为5!，2为\{1, 2, 4, 5, 6, 7\}中第1个元素，故1\*5!=120；

后4位的全排列为4!，6为\{1, 4, 5, 6, 7\}中第3个元素，故3\*4!=72；

后3位的全排列为3!，7为\{1, 4, 5, 7\}中第3个元素，故3\*3!=18；

后2位的全排列为2!，5为\{1, 4, 5\}中第2个元素，故2\*2!=4；

最后2位为增序，因此计数0，求和得：1440+120+72+18+4=1654

这个的代码实现，可以用一个数组a保存3267514,然后while调用next\_permutation(),用n计数，每次与数组a比较，相等则输出n;

[Center]: /images/20220519/11bcf79e251d43a5b643a9f462f310bb.png