求最大公约数和最小公倍数的算法

深藏阁楼爱情的钟 2022-05-19 06:39 192阅读 0赞

在刷题的过程中，经常会遇到很多关于最小公倍数和最大公约数的问题。

以下是用C语言写的求最大公约数和最小公倍数的算法。

最大公约数。

求最大公约数有三种算法。

# **1、辗转相除法。** #

辗转相除法又称为欧几里德算法。这个方法大家已经都已经在数学上学过了。具体的步骤就是：用较小数除较大数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。最后的除数就是这两个数的最大公约数。举个例子就是：比如两个数字，x=453，y=36；

453%36=21；

36%21=15；

21%15=6；

15%6=3；

6%3=0；

%是取余符号，大家应该都知道吧。所以用这个算法可以求出453和36的最大公约数是3；

用C语言实现这个算法就是。

#include <stdio.h> 
    int main()
    {
    	int a,b,c;
    	scanf("%d%d",&a,&b);
    	while(b)
    	{
    		c=a%b;
    		a=b;
    		b=c;
    	}
    	printf("%d\n",a);
    	return 0;
    }

或者是

#include <stdio.h> 
    int gcd(int a,int b)
    {
    	return b?gcd(b,a%b):a;
    }
    int main()
    {
    	int a,b,c;
    	while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)
    	{
    		c=gcd(a,b);
    		printf("%d\n",c);
    	}
    	return 0;
    }

# **2、更相减损法** #

更相减损法是出自《[九章算术][Link 1]》的一种求[最大公约数][Link 2]的算法，它原本是为[约分][Link 3]而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。又名“[更相减损术][Link 4]”，[辗转相减][Link 5]法，等值算法，[尼考曼彻斯法][Link 6]。

比如说还是453和36；

453-36=417；

417-36=381；

381-363=345

.。。。。。。

9-6=3

6-3=3

3-3=0

然后3就是这两个数的最大公约数。

#include <stdio.h> 
    int main()
    {
    	int a,b;
    	while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)
    	{
    		while(a!=b)
    		{
    			if(a>b)
    				a=a-b;
    			else
    				b=b-a;
    			
    		}
    		printf("%d\n",a);
    	}
    	return 0;
    }

# **3、穷举法** #

从1开始循环，一直循环到两个数中小的那个数。

#include <stdio.h> 
    int main()
    {
    	int a,b,c;
    	while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)
    	{
    		int max=1;       //记录最大公约数 
    		c=a>b?b:a;      //c等于a和b中小的数 
    		for(int i=1;i<=c;i++)
    		{
    			if(a%i==0&&b%i==0)
    			{
    				if(i>max)
    					max=i;
    			}
    		}
    		printf("%d\n",max);
    	}
    	return 0;
    }

# **最小公倍数** #

求最小公倍数相对来说就比较简单了。只需要先求出最大公约数。用两个数的乘积除以最大公约数即可。

例如x和y的最小公倍数为x\*y/gcd（x，y）。（gcd（x，y）表示为两个数的最大公约数）

#include <stdio.h> 
    int gcd(int a,int b)
    {
    	return b?gcd(b,a%b):a;
    }
    int main()
    {
    	int a,b,c;
    	while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)
    	{
    		c=a*b/gcd(a,b);
    		printf("%d\n",c);
    	}
    	return 0;
    }

[Link 1]: https://baike.baidu.com/item/%E4%B9%9D%E7%AB%A0%E7%AE%97%E6%9C%AF/348232
[Link 2]: https://baike.baidu.com/item/%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%85%AC%E7%BA%A6%E6%95%B0/869308
[Link 3]: https://baike.baidu.com/item/%E7%BA%A6%E5%88%86/10107157
[Link 4]: https://baike.baidu.com/item/%E6%9B%B4%E7%9B%B8%E5%87%8F%E6%8D%9F%E6%9C%AF/449183
[Link 5]: https://baike.baidu.com/item/%E8%BE%97%E8%BD%AC%E7%9B%B8%E5%87%8F/7529647
[Link 6]: https://baike.baidu.com/item/%E5%B0%BC%E8%80%83%E6%9B%BC%E5%BD%BB%E6%96%AF%E6%B3%95/4414649