KMP模式匹配算法

╰+哭是因爲堅強的太久メ 2022-05-19 02:00 241阅读 0赞

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很好的解释了，当字符不等时，模式换的j指针，应该怎么指向。

[http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/05/Knuth%E2%80%93Morris%E2%80%93Pratt\_algorithm.html][http_www.ruanyifeng.com_blog_2013_05_Knuth_E2_80_93Morris_E2_80_93Pratt_algorithm.html]

# [阮一峰][Link 1]字符串匹配的KMP算法 #

转：[http://blog.csdn.net/fightlei/article/details/52712461][http_blog.csdn.net_fightlei_article_details_52712461]

做个记录，建议查看原创，排版更好。

首先我们需要了解什么是模式匹配？

子串定位运算又称为模式匹配（Pattern Matching）或串匹配（String Matching）。在串匹配中，一般将主串称为目标串，将子串称为模式串。本篇博客统一用S表示目标串，T表示模式串，将从目标串S中查找模式串T的过程称为模式匹配。

虽然我们的主角是KMP模式匹配算法，但我们还是要先从暴力匹配算法讲起，通过发现暴力匹配算法存在的问题，由此来引出KMP模式匹配算法。

# 朴素的模式匹配算法 #

**【基本思想】**

从目标串S的第一个字符开始和模式串T的第一个字符进行比较，如果相等则进一步比较二者的后继字符，否则从目标串的第二个字符开始再重新与模式串T的第一个字符进行比较，以此类推，直到模式串T与目标串S中的一个子串相等，称为匹配成功，返回T在S中的位置；或者S中不存在值与T相等的子串，称匹配失败，返回-1.此算法也称为BF（Brute-Force）算法。

我们先通过一个简单的例子，来了解一下BF算法是怎么回事。假设有一个目标串S为“ababb”，模式串T为“abb”。由于例子比较简单，我们可以绘制出整个的匹配过程。如下图所示：

![Center][]

可以看到匹配流程完全是按照上面给出的基本思想走下来的，首先从目标串S的第一个字符开始和模式串T的第一个字符进行比较（第一趟），如果相等则进一步比较二者的后继字符（第二趟），否则从目标串的第二个字符开始再重新与模式串T的第一个字符进行比较（第三趟，第四趟）。我们重点来关注一下第三趟，此时，发现S\[i\] != T\[j\]，则要从目标串S的第二个字符再重新开始，i回溯到i = i - j + 1。因为i - j表示这一趟的起始匹配位置，i - j + 1则意为从这一趟起始比较位置的下一个位置继续进行比较。同时j要回溯到0，即重新与模式串T的第一个字符进行比较。

**【BF算法实现】**

1.  `/*`
2.  `* BF匹配算法`
3.  `*/`
4.  `public static int violentMatching(String s, String t) {`
5.  `int i = 0;`
6.  `int j = 0;`
7.  `while (i < s.length() && j < t.length()) {`
8.  `if (s.charAt(i) == t.charAt(j)) {`
9.  `i++;`
10. `j++;`
11. `} else {`
12. `//i回溯到这一趟起始匹配位置的下一个位置`
13. `i = i - j + 1;`
14. `j = 0;`
15. `}`
16. `}`
17. `//当j==t.length()表示目标串S中的一个子串与模式串T完全匹配`
18. `if (j == t.length()) {`
19. `//返回这一趟起始匹配位置，即T在S中的位置`
20. `return i - j;`
21. `} else {`
22. `return -1;`
23. `}`
24. `}`

BF算法的实现比较简单，思维方式也很直接，比较容易理解。但是我们发现存在这样的问题：

第一趟比较结束后，我们可以发现信息：S\[0\] =T\[0\]，第二趟比较结束后，得到信息：S\[1\] = T\[1\]，第三趟后得到信息：S\[2\] != T\[2\]。接下来我们通过观察模式串T可以发现T\[0\] !=T\[1\]。因此可以立即得出结论T\[0\] != S\[1\]，所以根本无需进行第四趟的比较。可能由于例子比较简单，无法鲜明的体现出KMP算法的优势，下面我们举一个稍微复杂些的例子来看看：

假设有一个目标串S为“ababcabcacb”，模式串为“abcac”，当比较到到S\[2\]与T\[2\]时出现失配

![Center 1][]

如果是按照BF算法，则下一趟应从S\[1\]与T\[0\]进行比较开始。但是通过上一趟的比较我们是可以发现：S\[0\] = T\[0\]，S\[1\] = T\[1\]，S\[2\] != T\[2\]。再观察模式串T自身我们发现T\[0\] != T\[1\]，因此可以立即得出结论S\[1\] != T\[0\]，所以可以省略它们的比较，直接从S\[2\]与T\[0\]进行比较开始：

![Center 2][]

从图中可以看到，当比较到S\[6\]和T\[4\]时，再次出现失配情况。如果继续按照BF算法，显然又会多进行几次不必要的比较。那么又应该从目标串和模式串的哪两个位置开始进行比较呢？

从上图可以看出比较结束时，有如下信息：S\[2\] = T\[0\]，S\[3\] = T\[1\]，S\[4\] = T\[2\]，S\[5\] = T\[3\]，S\[6\] != T\[4\]。然后我们在观察模式串T，可以得到：

（1）T\[0\] != T\[1\]，因此T\[0\] != S\[3\]，所以可以省略它们的比较。

（2）T\[0\] != T\[2\]，因此T\[0\] != S\[4\]，省略它们的比较。

（3）T\[0\] = T\[3\]，因此T\[0\] = S\[5\]，当相等时继续比较两个串的后继字符，所以从S\[6\]和T\[1\]开始进行比较。

![Center 3][]

可以看到应用此方法，只发生了三次重新匹配，就得到了匹配成功的结论，加快了匹配的执行速度。

上面的例子只是大概描述了方法的思路，但是这种方法到底是什么，到底如何精确的进行描述，以及如何用代码实现呢？下面就来解决这些问题。

# KMP模式匹配算法 #

此算法是由D.E.Knuth，J.H.Morris和V.R.Pratt同时发现的，因此该算法被称为克努斯-莫里斯-普拉特操作，简称为KMP算法。

KMP算法，是不需要对目标串S进行回溯的模式匹配算法。读者可以回顾上面的例子，整个过程中完全没有对目标串S进行回溯，而只是对模式串T进行了回溯。通过前面的分析，我们发现这种匹配算法的关键在于当出现失配情况时，应能够决定将模式串T中的哪一个字符与目标串S的失配字符进行比较。所以呢，那三位前辈就通过研究发现，使用模式串T中的哪一个字符进行比较，仅仅依赖于模式串T本身，与目标串S无关。

这里就要引出KMP算法的关键所在next数组，next数组的作用就是当出现失配情况S\[i\] != T\[j\]时，next\[j\]就指示使用T中的以next\[j\]为下标的字符与S\[i\]进行比较（注意在KMP算法中，i是永远不会进行回溯的）。还需要说明的是当next\[j\] = -1时，就表示T中的任何字符都不与S\[i\]进行比较，下一轮比较从T\[0\]与S\[i+1\]开始进行。由此可见KMP算法在进行模式匹配之前需要先求出关于模式串T各个位置上的next函数值。即next\[j\]，j = 0,1,2,3,...n-1。

## 求解next数组 ##

根据next数组的特性，匹配过程中一旦出现S\[i\] != T\[j\]，则用T\[next\[j\]\]与S\[i\]继续进行比较，这就相当于将模式串T向右滑行j - next\[j\]个位置，示意图如下：

![Center 4][]

理解上面这幅图是理解next数组的关键，为了绘图简单，使用k 来表示next\[j\]。图中，j+1表示模式串T的字符个数，当出现失配情况时，使用T\[next\[j\]\]与S\[i\]进行比较，即图中T\[k\]与S\[i\]进行比较。因此右边括起来的是T\[0\]~T\[k\]共k+1个字符，因此左边括起来的是j + 1 - (k + 1) = j - k个字符，即向右滑行了j-next\[j\]个位置。

当上图中出现失配后可以得到如下信息：

S\[i-j\] = T\[0\]，S\[i-j+1\] = T\[1\]，...，S\[i-k\] = T\[j-k\]，S\[i-k+1\] = T\[j-k+1\]，...，S\[i-2\] = T\[j-2\]，S\[i-1\] = T\[j-1\]

模式串T进行右滑后，如图中所示必须保证：

S\[i-k\] = T\[0\]，S\[i-k+1\] = T\[1\]，S\[i-k+2\] = T\[2\]，...，S\[i-2\] = T\[k-2\]，S\[i-1\] = T\[k-1\]

通过上面两个式子可得：

T\[0\] = T\[j-k\]，T\[1\] = T\[j-k+1\]，T\[2\] = T\[j-k+2\]，...，T\[k-2\] = T\[j-2\]，T\[k-1\] = T\[j-1\]

它的含义表示对于模式串T中的一个子串T\[0\]~T\[j-1\]，K的取值需要满足前K个字符构成的子序列（即T\[0\]~T\[k-1\]，称为前缀子序列）与后K个字符构成的子序列（即T\[j-1\]~T\[j-k\]，称为后缀子序列）相等。满足这个条件的K值有多个，取最大的那个值。

由此求解next数组问题，便被转化成了求解最大前缀后缀子序列问题。

再通过一个例子来说明最大前缀后缀子序列分别是什么？

对于子串“aaabcdbaaa”，满足条件的K值有1,2,3，取最大K值即3做为next\[j\]的函数值。此时的最大前缀子序列为“aaa”，最大后缀子序列为“aaa”。

再比如子串“abcabca”，其相等的最大前缀后缀子序列即为“abca”

**【求解next数组的算法实现】**

1.  `public static int[] getNext(String t) {`
2.  `int[] next = new int[t.length()];`
3.  `next[0] = -1;`
4.  `int suffix = 0; // 后缀`
5.  `int prefix = -1; // 前缀`
6.  `while (suffix < t.length() - 1) {`
7.  `//若前缀索引为-1或相等，则前缀后缀索引均+1`
8.  `if (prefix == -1 || t.charAt(prefix) == t.charAt(suffix)) {`
9.  `++prefix;`
10. `++suffix;`
11. `next[suffix] = prefix; //1`
12. `} else {`
13. `prefix = next[prefix]; //2`
14. `}`
15. `}`
16. `return next;`
17. `}`

代码其实并不复杂，整体思路是分别以T\[0\]~T\[suffix\]为子串，依次求这些子串的相等的最大前缀后缀子序列，即next\[suffix\]的值。

比较难理解的应该是有两处，我分别用1和2标示了出来。我们依次来看。初始化的过程如下图所示，prefix指向-1，suffix指向0，next\[0\] = -1。

![Center 5][]

if条件中prefix = -1成立，所以进入if语句，prefix = prefix+1，suffix = suffix+1，此时直接将next\[suffix\]赋值为prefix。即next\[1\] = 0。prefix+1到底代表的是什么？next\[suffix\]又代表的是什么？

next\[suffix\]表示的是不包括suffix即T\[0\]~T\[suffix-1\]这个子串的相等最长前缀后缀子序列的长度。意思是这个子串前面有next\[suffix\]个字符，与后面的next\[suffix\]个字符相等。

代码中suffix+1以后值为1，prefix+1以后值为0，next\[1\]表示的是对于子串“a”，它的相等最长前缀后缀子序列的长度，即为prefix，0。prefix一直表示的就是对于子串T\[0\]~T\[suffix-1\]前面有prefix个字符与后面prefix个字符相等，就是next\[suffix\]

继续往下走，满足if条件T\[0\] = T\[1\]，则suffix+1值为2，prefix+1以后值为1，next\[2\] = 1，表示子串“aa”，有长度为1的相等最长前缀后缀子序列“a”。

继续往下走，满足if条件T\[1\] = T\[2\]，则suffix+1值为3，prefix+1以后值为2，next\[3\] = 2，表示子串“aaa”，有长度为2的相等最长前缀后缀子序列“aa”。

当再继续往下走时会发现T\[2\] != T\[3\]，不满足条件，则进入了else语句，prefix进行了回溯，prefix = next\[prefix\]，这就遇到了第二个难点，为什么要如此进行回溯呢？

借用网上的一张图来回答这个问题

![20150812214857858][]

这张图网上很多，但是详细描述这张图的具体含义的却很少。图中的j就对应代码中的suffix，k就对应代码中的prefix，模式串T图中用的P表示。

现在它们也遇到了这个问题，Pj\] != P\[k\]，然后k进行了回溯，变为next\[k\]。既然prefix能走到k，suffix能走到j，则至少能保证对于子串P\[0\] ~ P\[j-1\]，前面有k个字符与后面k个字符相等。即图中前后方的蓝色区域。要是满足条件P\[k\] = P\[j\]则说明对于子串P\[0\] ~ P\[j\]，前面有k+1个字符与后面k+1个字符相等。但是现在不满足，则说明对于子串P\[0\] ~ P\[j\]不存在长度为k+1的相等最长前缀后缀子序列，可能存在比k+1小的最长前缀后缀子序列，可能是k，可能是k-1，k -2 , k -3 ...或者根本就没有是0。那么我们的正常思路应该是回溯到k再进行判断，不存在k个则再回溯到k-1个，以此类推，那么算法中为什么是直接回溯到next\[k\]呢？

![Center 6][]

为了便于描述，我将图中的不同区域使用大写字母进行标注。前面说过正常思路是不存在k+1个，就回溯到k个进行判断，现在我们来看为什么不回溯到k？当回溯到k时，需要满足的条件是X区域的字符与Z区域的字符相等，而我们已知的是X区域的字符与Y区域的字符相等，若要满足条件，则需要Y区域字符与Z区域字符相等，从图中可以看到，Y区域与Z区域的字符仅相差一位，实际上比较的是Y区域的第一个字符与第二个字符，第二个字符与第三个字符等等，所以除非是Y区域的字符全部相等，是同一个字符，否则是不可能满足条件的。然而当Y区域的字符全部相等时，则X区域的字符也全部相等，那么next\[k\]就等于k，所以不如直接就回溯到next\[k\]。

那为什么直接回溯到next\[k\]就一定会满足条件呢？

已知的是X区域等于Y区域，所以B区域一定等于D区域，因为B区域表示X区域的后next\[k\]个字符，D区域表示Y区域的后next\[k\]个字符。

而next\[k\]的含义就是对于子串P\[0\] ~ P\[k-1\]，前面有next\[k\]个字符与后面next\[k\]个字符相等，即A区域等于B区域，所以可以得到A区域一定等于D区域，因此当下次比较满足条件P\[next\[k\]\] = P\[j\]时，就一定有长度为next\[k\] + 1的相等最长前缀后缀子序列。

next数组的求解搞清楚了，接下来我们就可以给出KMP算法的完整实现了

**【KMP模式匹配算法实现】**

1.  `public static int KMP(String s, String t) {`
2.  `int i = 0;`
3.  `int j = 0;`
4.  `//得到next数组`
5.  `int[] next = getNext(t);`
6.  `while (i < s.length() && j < t.length()) {`
7.  `if (j == -1 || s.charAt(i) == t.charAt(j)) {`
8.  `i++;`
9.  `j++;`
10. `} else {`
11. `//根据next数组的指示j进行回溯，而i永远不会回溯`
12. `j = next[j];`
13. `}`
14. `}`
15. `if (j == t.length()) {`
16. `return i - j;`
17. `} else {`
18. `return -1;`
19. `}`
20. `}`

代码和BF算法很类似，不同的是在进行回溯时，j是根据next\[j\]进行回溯，i不回溯。

## KMP算法优化 ##

上面给出的KMP算法还有一些小问题，比如有一个模式串“aaaaax”，目标串“aaaabcde”。通过上面给出的算法我们很容易得到模式串T的next数组，匹配过程如下图所示：

![Center 7][]

可以看到当匹配到S\[4\]和T\[4\]时出现失配情况，而根据next数组的指示，next\[4\]，下一步应该比较S\[4\]和T\[3\]，再次失配，再根据指示，比较S\[4\]和T\[2\]，再失配，再比较S\[4\]和T\[2\]，又失配，直到比较到S\[0\]和T\[0\]仍然失配，然后next\[0\] = -1，则表示T中的任何字符都不与S\[4\]进行比较，下一轮比较从S\[5\]与T\[0\]开始进行。对于这种特殊情况，虽然我们使用了next数组，但效率仍然是低下的。当S\[4\] != T\[4\]时，由于T\[4\] = T\[3\] = T\[2\] = T\[1\] = T\[0\]，所以它们都不会与S\[4\]相等，因此应该直接用T\[0\]与S\[5\]进行比较。

针对这种情况，只需改进next数组的求解过程即可

**【next数组求解算法优化实现】**

1.  `public static int[] getNext(String t) {`
2.  `int[] next = new int[t.length()];`
3.  `next[0] = -1;`
4.  `int suffix = 0; // 后缀`
5.  `int prefix = -1; // 前缀`
6.  `while (suffix < t.length() - 1) {`
7.  `//若相等或前缀索引为-1，则前缀后缀索引均+1`
8.  `if (prefix == -1 || t.charAt(prefix) == t.charAt(suffix)) {`
9.  `++prefix;`
10. `++suffix;`
11. `//改进的地方`
12. `if (t.charAt(prefix) == t.charAt(suffix)) {`
13. `next[suffix] = next[prefix];`
14. `} else {`
15. `next[suffix] = prefix;`
16. `}`
17. `} else {`
18. `prefix = next[prefix];`
19. `}`
20. `}`
21. `return next;`
22. `}`

改进的地方在于，如果T\[suffix\] != T\[prefix\]，则仍然遵从之前的处理，next\[suffix\] = prefix。

若T\[suffix\] = T\[prefix\]则可能会出现上面例子所说的特殊情况，使next\[suffix\] = next\[prefix\]。其实这就是一个回溯过程，原本应该是next\[suffix\] = prefix，这里由prefix回溯到了next\[prefix\]。可以这样理解，当再T\[suffix\]位置出现失配时，本来按照next数组的指示应采用T\[next\[suffix\]\] = T\[prefix\]进行下一轮比较，但是我们已经得知T\[suffix\] = T\[prefix\]所以一定会再次出现失配情况，所以我们下一轮直接使用T\[next\[prefix\]\]进行比较。

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