NOIP 2003 栈(卡特兰数||DFS)

以你之姓@ 2022-05-17 09:08 158阅读 0赞

题目描述

栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。  
栈有两种最重要的操作，即pop（从栈顶弹出一个元素）和push（将一个元素进栈）。  
栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

![pimg1044_1.jpg][]

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，从1，2，一直到n（图示为1到3的情况），栈A的深度大于n。

现在可以进行两种操作：

1. 将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的push操作）  
2. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的pop操作）

使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由1 2 3生成序列2 3 1的过程。（原始状态如上图所示）

![pimg1044_2.jpg][]

你的程序将对给定的n，计算并输出由操作数序列1，2，...，n经过操作可能得到的输出序列的总数。

分析：

方法一：卡特兰数

#include<map>
    #include<set>
    #include<cmath>
    #include<queue>
    #include<stack>
    #include<cstdio>
    #include<vector>
    #include<cctype>
    #include<cstring>
    #include<utility>
    #include<cstdlib>
    #include<iomanip>
    #include<iostream>
    #include<algorithm>
    #define Clear(x) memset(x,0,sizeof(x))
    #define fup(i,a,b) for(int i=a;i<b;i++)
    #define rfup(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
    #define fdn(i,a,b) for(int i=a;i>b;i--)
    #define rfdn(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
    typedef long long ll;
    using namespace std;
    const int maxn = 1e2+7;
    const int inf = 0x3f3f3f3f;
    const double pi=acos(-1.0);
    const double eps = 1e-8;
     
    int main()
    {
        int n;
        ll f=1;
        while(~scanf("%d",&n))
        {
            rfup(i,1,n) f=f*(i*4-2)/(i+1);
            cout<<f<<endl;
        }
        return 0;
    }

方法二：记忆化搜索，x代表在操作数列中数的个数，y代表在栈在数的个数。

#include<map>
    #include<set>
    #include<cmath>
    #include<queue>
    #include<stack>
    #include<cstdio>
    #include<vector>
    #include<cctype>
    #include<cstring>
    #include<utility>
    #include<cstdlib>
    #include<iomanip>
    #include<iostream>
    #include<algorithm>
    #define Clear(x) memset(x,0,sizeof(x))
    #define fup(i,a,b) for(int i=a;i<b;i++)
    #define rfup(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
    #define fdn(i,a,b) for(int i=a;i>b;i--)
    #define rfdn(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
    typedef long long ll;
    using namespace std;
    const int maxn = 1e2+7;
    const int inf = 0x3f3f3f3f;
    const double pi=acos(-1.0);
    const double eps = 1e-8;
    ll f[maxn][maxn];
    int n;
     
    int read()
    {
        char ch=getchar();int ret=0,f=1;
        while(ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
        while(ch>='0'&&ch<='9'){ret=ret*10+ch-'0';ch=getchar();}
        return f*ret;
    }
     
    ll DFS(int x,int y)
    {
        if(f[x][y]) return f[x][y];
        if(x==0) return 1;
        if(y>0) f[x][y]+=DFS(x,y-1);
        f[x][y]+=DFS(x-1,y+1);
        return f[x][y];
    }
     
    int main()
    {
        n=read();
        cout<<DFS(n,0)<<endl;
        return 0;
    }

[pimg1044_1.jpg]: /images/20220517/84569868ea514bbba01fec7332b49f88.png
[pimg1044_2.jpg]: /images/20220517/43a6b50bda28445683528aef5c1a7d83.png