三角形最小路径和

偏执的太偏执、 2022-05-17 08:14 200阅读 0赞

## 三角形最小路径和问题 ##

给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。

例如，给定三角形：

[
         [2],
        [3,4],
       [6,5,7],
      [4,1,8,3]
    ]

自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

> 说明：如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分。

*  上面这个问题属于动态规划问题。
 *  动态规划问题实质上是递归问题，当递归问题具有了重叠子问题和最优子结构这两个条件后就形成了动态规划问题问题。
 *  动态规划问题有两种解法，自顶向下的记忆化搜索算法和自底向上的动态规划解法。

第一种解法：记忆化搜索算法

// 记忆化搜索算法
    class Solution {
    
        public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
    
            int n = triangle.size();
            if (n < 1)
                return 0;
            // 记忆空间，用来保存中间结果
            int[][] memo = new int[n][n];
            memo[0][0] = triangle.get(0).get(0);
    
            for(int i=1; i<n; i++)
                for(int j=0; j<=i; j++)
                    // j 在最开始位置
                    if(j==0){
                        memo[i][j] = triangle.get(i).get(j) + memo[i-1][j]; 
                    }
                    // j 在最后一个位置
                    else if(j==i){
                        memo[i][j] = triangle.get(i).get(j) + memo[i-1][j-1];
                    }
                    // j 在中间
                    else{
                        memo[i][j] = triangle.get(i).get(j) + Math.min(memo[i-1][j-1] , memo[i-1][j]);
                    }
    
            int min = memo[n-1][0];
            for(int i=1; i<n; i++)
                min = Math.min(min, memo[n-1][i]);
            return min;
        }    
    }

*  第二种解法：动态规划（自底向上）  
    理解二维数组压缩为一维数组的思想。

class Solution {
    
        public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
    
            int n = triangle.size();
            if (n < 1)
                return 0;
    
            int[] memo = new int[n];
            // 初始值 
            for(int i=0; i<n; i++)
                memo[i] = triangle.get(n-1).get(i); 
    
            for(int i=n-2; i >= 0; i--)
                for(int j=0; j <= i; j++)
                    memo[j] = triangle.get(i).get(j) + Math.min(memo[j], memo[j+1]);
    
            return memo[0];    
    
        }    
    }