Matlab 基础知识——矩阵操作及运算（矩阵、数组区别）

￡神魔★判官ぃ 2022-05-16 06:06 192阅读 0赞

![20190702140540967.png_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly94aW9uZ3lpbWluZy5ibG9nLmNzZG4ubmV0_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

看论文时，经常看到矩阵，但在记忆里又看到数组。那么问题来了，矩阵和数组分别是什么？二者有什么区别？看论文时，经常看到矩阵，但在记忆里又看到数组。那么问题来了，矩阵和数组分别是什么？二者有什么区别？

在数学上，定义*m*×*n*个数![gif.latex][]![\{a\_\{ij\}\}][a_ij](*i*=1, 2…, *m* ; *j*=1, 2,… *n*)排成的*m*行*n*列的数表示为*m*行*n*列的矩阵，并且用大写加粗黑色字母表示。

![\{\\mathbf\{A\}\} = \\left\[ \\begin\{gathered\} \{a\_\{11\}\}\{\\text\{ \}\}\{a\_\{12\}\}\{\\text\{ \}\} \\cdots \{\\text\{ \}\}\{a\_\{1n\}\} \\hfill \\\\ \{a\_\{21\}\}\{\\text\{ \}\}\{a\_\{22\}\}\{\\text\{ \}\} \\cdots \{\\text\{ \}\}\{a\_\{2n\}\} \\hfill \\\\ \{\\text\{ \}\} \\text\{ \}\\vdots \{\\text\{ \}\}\\text\{ \}\\text\{ \} \\vdots \{\\text\{ \}\} \\text\{ \}\\text\{ \}\\ddots \{\\text\{ \}\}\\text\{ \}\\text\{ \} \\vdots \\hfill \\\\ \{a\_\{m1\}\}\{\\text\{ \}\}\{a\_\{m2\}\}\{ \\cdots\{a\_\{mn\}\} \\hfill \\\\ \\end\{gathered\} \\right\]][mathbf_A_ _ _left_ _begin_gathered_ _a_11_text_ _a_12_text_ _ _cdots _text_ _a_1n_ _hfill _ _a_21_text_ _a_22_text_ _ _cdots _text_ _a_2n_ _hfill _ _text_ _ _text_ _vdots _text_ _text_ _text_ _ _vdots _text_ _ _text_ _text_ _ddots _text_ _text_ _text_ _ _vdots _hfill _ _a_m1_text_ _a_m2_ _cdots_a_mn_ _hfill _ _end_gathered_ _right]

只有一行的矩阵：![\{\\bf\{A\}\} = \\left( \{\{a\_1\}\{\\rm\{ \}\}\{a\_2\}\{\\rm\{ \}\} \\cdots \{\\rm\{ \}\}\{a\_n\}\} \\right)][bf_A_ _ _left_ _a_1_rm_ _a_2_rm_ _ _cdots _rm_ _a_n_ _right]，也称之为**行向量**；

只有一列的矩阵，也称之为**列向量**。

![\{\\bf\{A\}\} = \\left( \\begin\{array\}\{l\} \{a\_1\}\{\\rm\{ \}\}\\\\ \{a\_2\}\\\\ \{\\rm\{ \}\} \\text\{ \}\\vdots \\\\ \{a\_m\} \\end\{array\} \\right)][bf_A_ _ _left_ _begin_array_l_ _a_1_rm_ _ _a_2_ _rm_ _ _text_ _vdots _ _a_m_ _end_array_ _right]

矩阵最早来自于方程组的系数即常数所构成的方阵，这一个概念有19世纪英国数学家凯利首先提出。

数组是在程序设计中，为了处理方便，把具有相同类型的若干变量按有序的形式组织起来的一种形式。这些按序排列的同类数据元素的集合称之为数组。

在Matlab中，一个数组可以分解为多个数组元素，这些数组元素可以是基本数据类型或是构造类型。因此按数组元素的类型不同，数组又可以分为数值数组、字符数组、单元数组、结构数组等各种类别。

看完上面的内容，矩阵和数组的区别似乎懂了一点。矩阵和数组在Matlab中存在很多方面的区别：

（1）矩阵是数学的概念，而数组是计算机程序设计领域的概念；

（2）作为一种变换或映射算符的体现，矩阵运算有着明确而严格的数学规则。而数组运算是Matlab软件定义的规则，其目的是为了使数据管理方便，操作简单，命令形式自然，执行计算有效。

二者联系主要体现在：在Matlab中，矩阵是以数组的形式存在的。因此，一维数组相当于向量；二维数组相当于矩阵。所以矩阵是数组的子集。

对矩阵的基本操作，主要有矩阵的构建、矩阵维度和矩阵大小的改变、矩阵的索引、矩阵的属性信息的获取、矩阵结构的改变等。对于这些操作，Matlab中都有固定的指令或者相应的库函数与之相对应。在程序用到的时候，每次都要上网查，网上的很散。这里，我对我经常用的做了总结。以后用到可以查阅。

## 1、矩阵下表引用 ##

<table style="width:653px;"> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th style="text-align:center;vertical-align:middle;width:21.3pt;"> &nbsp; </th> 
 <th style="text-align:center;vertical-align:middle;width:171px;"> &nbsp; &nbsp;表达式(Matlab程序) </th> 
 <th style="text-align:center;vertical-align:middle;width:446px;"> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;函数功能 </th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:21.3pt;"> 1 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:171px;"> A(1) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:446px;"> 将二维矩阵A重组为一维数组，返回数组中第一个元素 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:21.3pt;"> 2 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:171px;"> A(: , j) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:446px;"> 返回二维矩阵A中第&nbsp;j&nbsp;列 列向量 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:21.3pt;"> 3 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:171px;"> A( i , :) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:446px;"> 返回二维矩阵A中第 i&nbsp;行 行向量 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:21.3pt;"> 4 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:171px;"> A(: , j : k) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:446px;"> 返回二维矩阵A中第&nbsp;j&nbsp;列到第&nbsp;k列 列向量组成的子矩阵 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:21.3pt;"> 5 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:171px;"> A( i : k , :) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:446px;"> 返回二维矩阵A中第&nbsp;i&nbsp;行到第&nbsp;k行 行向量组成的子矩阵 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:21.3pt;"> 6 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:171px;"> A( i : k , j : m) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:446px;"> 返回二维矩阵A中第&nbsp;i&nbsp;行到第&nbsp;k&nbsp;行 行向量 和第&nbsp;j&nbsp;列到第&nbsp;m 列 列向量的交集组成的子矩阵 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:21.3pt;"> 7 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:171px;"> A(:) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:446px;"> 将二维矩阵A中得每列合并成一个列向量 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:21.3pt;"> 8 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:171px;"> A( j : k) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:446px;"> 返回一个行向量，其元素为A(:)中的第&nbsp;j&nbsp;个元素到第&nbsp;k&nbsp;个元素 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:21.3pt;"> 9 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:171px;"> A([ j1 j2…]) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:446px;"> 返回一个行向量，其元素为A(:)中的第 j1，j2…个元素 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:21.3pt;"> 10 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:171px;"> A(: , [ j1 j2 …]) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:446px;"> 返回矩阵A的第 j1 列、第 j2 列等的列向量 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:21.3pt;"> 11 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:171px;"> A([ i1 i2 …] : ,) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:446px;"> 返回矩阵A的第 i1 行、第&nbsp;i2 行等的行向量 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:21.3pt;"> 12 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:171px;"> A([ i1 i2 …] , [ j1 j2 …]) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:446px;"> 返回矩阵A的第 j1列、第&nbsp;j2 列等和矩阵A的第&nbsp;i1 行、第 i2 行等的元素 </td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

下面将常用的几个举例说明：

例如：A=\[1 2 3 4 5;

12 12 14 56 657;

23 46 34 67 56 \];

（1）将二维矩阵A转化成一维矩阵（列向量）：Matlab 默认将其转化成列向量，需要行向量转置即可。

Matlab程序: A(:) %将二维矩阵其转化成列向量

（2）读取矩阵取前N行或N列的方法

Matlab程序：

A(1:2,:) %读取矩阵A前2行

A(:,1:3) %读取矩阵A前3列

（3）求矩阵中每行或每列的最大值和最小值

① 找矩阵A每列的最大值：\[max\_A,index\]=max(A,\[\],1);

其中，max\_A是最大的数值，index是最大的数值所处的位置

② 找矩阵A每行的最大值：\[max\_A,index\]=max(A,\[\],2);

其中，max\_A是最大的数值，index是最大的数值所处的位置

同理可求出每行，每列的最小值。

③ 找矩阵A每列的最小值：\[min\_A,index\]=min(A,\[\],1);

其中，min\_A是最小的数值，index是最小的数值所处的位置

④ 找矩阵A每行的最小值：\[min\_A,index\]=min(A,\[\],2);

其中，min\_A是最小的数值，index是最小的数值所处的位置

## 2、矩阵合并 ##

已知矩阵：

A=\[1 2 3 4 5;

12 12 14 56 657;

23 46 34 67 56\];

B=\[1 1 1 1 1;

2 2 2 2 2;

3 3 3 3 3\];

（1）矩阵A,B左右合并：horzcat(A,B); %矩阵A,B左右合并

![70][]

（2）矩阵A,B上下合并：vertcat(A,B); %矩阵A,B上下合并

![70 1][]

3、矩阵运算（加、减、乘、除、点乘、点除等）

（1）A+B; 表示矩阵A和矩阵B相加（各个元素对应相加）；

（2）A-B; 表示矩阵A和矩阵B相减（各个元素对应相减）；

（3）A\*B; 表示矩阵A和矩阵B相乘；

（4）A.\*B; 表示矩阵A和矩阵B对应元素相乘（点乘）；

（5）A/B; 表示矩阵A与矩阵B相除法；

（6）A./B; 表示矩阵A和矩阵B对应元素相除（点除）；

（7）A^B; 表示矩阵A的B次幂；

（8）A.^B; 表示矩阵A的每个元素的B次幂。

Matlab平台提供了大量的运算函数，很强势。下面列举了常用的函数

<table style="width:468px;"> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th style="text-align:justify;vertical-align:middle;width:35.2pt;"> &nbsp; </th> 
 <th style="text-align:justify;vertical-align:middle;width:99.25pt;"> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 函数 </th> 
 <th style="text-align:justify;vertical-align:middle;width:265px;"> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 运算法则 </th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:35.2pt;"> 1 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:99.25pt;"> exp(x) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:265px;"> 求以e为底数的x次幂 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:35.2pt;"> 2 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:99.25pt;"> log(x) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:265px;"> 求以e为底数对x值取对数 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:35.2pt;"> 3 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:99.25pt;"> Log10(x) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:265px;"> 求以10为底数x值取对数 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:35.2pt;"> 4 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:99.25pt;"> sqrt(x) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:265px;"> 求x的平方根 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:35.2pt;"> 5 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:99.25pt;"> sin(x) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:265px;"> 正弦函数 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:35.2pt;"> 6 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:99.25pt;"> cos(x) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:265px;"> 余弦函数 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:35.2pt;"> 7 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:99.25pt;"> tan(x) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:265px;"> 正切函数 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:35.2pt;"> 8 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:99.25pt;"> asin(x) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:265px;"> 反正弦函数 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:35.2pt;"> 9 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:99.25pt;"> acos(x) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:265px;"> 反余弦函数 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:35.2pt;"> 10 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:99.25pt;"> atan(x) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:265px;"> 反正切函数 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:35.2pt;"> 11 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:99.25pt;"> mode(a,b) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:265px;"> a与b相除取余数 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:35.2pt;"> 12 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:99.25pt;"> min(a,b) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:265px;"> 返回a, b中较小的数值 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:35.2pt;"> 13 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:99.25pt;"> max(a,b) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:265px;"> 返回a, b中较大的数值 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:35.2pt;"> 14 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:99.25pt;"> mean(x) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:265px;"> 求x的列平均数（列平均） </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:35.2pt;"> 15 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:99.25pt;"> median(x) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:265px;"> 求x的列中位数（列中位数） </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:35.2pt;"> 16 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:99.25pt;"> sum(x) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:265px;"> x中各个列之间的元素求和 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:35.2pt;"> 17 </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:99.25pt;"> rank(x) </td> 
 <td style="text-align:center;vertical-align:middle;width:265px;"> X矩阵的秩 </td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 参考资料 ##

\[1\] [https://blog.csdn.net/yundanfengqing\_nuc/article/details/49246477][https_blog.csdn.net_yundanfengqing_nuc_article_details_49246477]

\[2\] [http://blog.sina.com.cn/s/blog\_70c7b3780100ru11.html][http_blog.sina.com.cn_s_blog_70c7b3780100ru11.html]

\[3\] [https://blog.csdn.net/carrie8899/article/details/8500088][https_blog.csdn.net_carrie8899_article_details_8500088]

--------------------

如果觉得内容还不错的话，欢迎点赞、转发、收藏，还可以关注微信公众号、CSDN博客、知乎。

1. 微信公众号:

![20200627155319422.jpg][]

2. CSDN博客：[https://xiongyiming.blog.csdn.net/][https_xiongyiming.blog.csdn.net]

3. 知乎：[https://www.zhihu.com/people/xiongyiming][https_www.zhihu.com_people_xiongyiming]

[20190702140540967.png_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly94aW9uZ3lpbWluZy5ibG9nLmNzZG4ubmV0_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20220516/b251284340424a6e88fcdce32c525171.png
[gif.latex]: https://private.codecogs.com/gif.latex?
[a_ij]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%7Ba_%7Bij%7D%7D
[mathbf_A_ _ _left_ _begin_gathered_ _a_11_text_ _a_12_text_ _ _cdots _text_ _a_1n_ _hfill _ _a_21_text_ _a_22_text_ _ _cdots _text_ _a_2n_ _hfill _ _text_ _ _text_ _vdots _text_ _text_ _text_ _ _vdots _text_ _ _text_ _text_ _ddots _text_ _text_ _text_ _ _vdots _hfill _ _a_m1_text_ _a_m2_ _cdots_a_mn_ _hfill _ _end_gathered_ _right]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%7B%5Cmathbf%7BA%7D%7D%20%3D%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%20%7Ba_%7B11%7D%7D%7B%5Ctext%7B%20%7D%7D%7Ba_%7B12%7D%7D%7B%5Ctext%7B%20%7D%7D%20%5Ccdots%20%7B%5Ctext%7B%20%7D%7D%7Ba_%7B1n%7D%7D%20%5Chfill%20%5C%5C%20%7Ba_%7B21%7D%7D%7B%5Ctext%7B%20%7D%7D%7Ba_%7B22%7D%7D%7B%5Ctext%7B%20%7D%7D%20%5Ccdots%20%7B%5Ctext%7B%20%7D%7D%7Ba_%7B2n%7D%7D%20%5Chfill%20%5C%5C%20%7B%5Ctext%7B%20%7D%7D%20%5Ctext%7B%20%7D%5Cvdots%20%7B%5Ctext%7B%20%7D%7D%5Ctext%7B%20%7D%5Ctext%7B%20%7D%20%5Cvdots%20%7B%5Ctext%7B%20%7D%7D%20%5Ctext%7B%20%7D%5Ctext%7B%20%7D%5Cddots%20%7B%5Ctext%7B%20%7D%7D%5Ctext%7B%20%7D%5Ctext%7B%20%7D%20%5Cvdots%20%5Chfill%20%5C%5C%20%7Ba_%7Bm1%7D%7D%7B%5Ctext%7B%20%7D%7D%7Ba_%7Bm2%7D%7D%7B%20%5Ccdots%7Ba_%7Bmn%7D%7D%20%5Chfill%20%5C%5C%20%5Cend%7Bgathered%7D%20%5Cright%5D
[bf_A_ _ _left_ _a_1_rm_ _a_2_rm_ _ _cdots _rm_ _a_n_ _right]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20%7B%5Cbf%7BA%7D%7D%20%3D%20%5Cleft%28%20%7B%7Ba_1%7D%7B%5Crm%7B%20%7D%7D%7Ba_2%7D%7B%5Crm%7B%20%7D%7D%20%5Ccdots%20%7B%5Crm%7B%20%7D%7D%7Ba_n%7D%7D%20%5Cright%29
[bf_A_ _ _left_ _begin_array_l_ _a_1_rm_ _ _a_2_ _rm_ _ _text_ _vdots _ _a_m_ _end_array_ _right]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%7B%5Cbf%7BA%7D%7D%20%3D%20%5Cleft%28%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20%7Ba_1%7D%7B%5Crm%7B%20%7D%7D%5C%5C%20%7Ba_2%7D%5C%5C%20%7B%5Crm%7B%20%7D%7D%20%5Ctext%7B%20%7D%5Cvdots%20%5C%5C%20%7Ba_m%7D%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%29
[70]: /images/20220516/ae611c23392d4735b36d65b7a432d1f5.png
[70 1]: /images/20220516/d871f3afa8a142e5a73d7f6429dc5284.png
[https_blog.csdn.net_yundanfengqing_nuc_article_details_49246477]: https://blog.csdn.net/yundanfengqing_nuc/article/details/49246477
[http_blog.sina.com.cn_s_blog_70c7b3780100ru11.html]: http://blog.sina.com.cn/s/blog_70c7b3780100ru11.html
[https_blog.csdn.net_carrie8899_article_details_8500088]: https://blog.csdn.net/carrie8899/article/details/8500088
[20200627155319422.jpg]: /images/20220516/59cd8f3530e84a6b9e632e8141b16adf.png
[https_xiongyiming.blog.csdn.net]: https://xiongyiming.blog.csdn.net/
[https_www.zhihu.com_people_xiongyiming]: https://www.zhihu.com/people/xiongyiming