经典搜索算法之二分查找与二叉查找树

女爷i 2022-05-16 05:56 191阅读 0赞

## 1.二分查找 ##

二分查找也称为折半查找，它是一种效率较高的查找方法。**二分查找的使用前提是线性表已经按照大小排好了序**。这种方法充分利用了元素间的次序关系，采用分治策略。基本原理是：首先在有序的线性表中找到中值，将要查找的目标与中值进行比较，如果目标小于中值，则在前半部分找，如果目标小于中值，则在后半部分找；假设在前半部分找，则再与前半部分的中值相比较，如果小于中值，则在中值的前半部分找，如果大于中值，则在后半部分找。以此类推，直到找到目标为止。

![70][]

假设我们要在 2，6，11，13，16，17，22，30中查找22，上图所示，则查找步骤为：

1.   首先找到中值：中值为13（下标：int middle = (0+7)/2），将22与13进行比较，发现22比13大，则在13的后半部分找；
2.   在后半部分 16，17，22，30中查找22，首先找到中值，中值为17（下标：int middle=(0+3)/2），将22与17进行比较，发现22比17大，则继续在17的后半部分查找；
3.   在17的后半部分 22，30查找22，首先找到中值，中值为22（下标：int middle=(0+1)/2），将22与22进行比较，查找到结果。

二分查找大大降低了比较次数，二分查找的时间复杂度为：**![O(log\{\_2\}n)][O_log_2_n]**，即![log\{n\}][log_n]。

**示例代码：**

public class BinarySearch {
    	
    	public static void main(String[] args) {
    		int arr[] = {2, 6, 11, 13, 16, 17, 22, 30};
    		System.out.println("非递归结果,22的位置为:" + binarySearch(arr, 22));
    		System.out.println("递归结果,22的位置为:" + binarySearch(arr, 22, 0, 7));
    	}
    
    	 //非递归
    	static int binarySearch(int[] arr, int res) {
    		 
    	    int low = 0;   
    	    int high = arr.length-1;   
    	    while(low <= high) {
    	    	int middle = (low + high)/2;
    	    	if(res == arr[middle]) {
    	    		return middle;   
    	        }else if(res <arr[middle]) {   
    	            high = middle - 1;   
    	        }else {   
    	            low = middle + 1;   
    	        }
    	    }
    	    return -1;  
    	 }
    	 //递归 
    	static int binarySearch(int[] arr,int res,int low,int high){    
    	           		     
    	    if(res < arr[low] || res > arr[high] || low > high){
    	    	return -1;
    	    }
    	    int middle = (low+high)/2;
    	    if(res < arr[middle]){    
    	        return binarySearch(arr, res, low, middle-1);    
    	    }else if(res > arr[middle]){    
    	        return binarySearch(arr, res, middle+1, high);    
    	    }else {    
    	        return middle;    
    	    }    
    	  } 
    }

## 2.二叉查找树 ##

一般情况下二分查找比顺序查找在时间上要快很多，但是在频繁修改的表中采用二分查找，其效率是非常低下的，因为顺序表的修改操作效率低下，而二分查找的高效就是利用顺序表的索引来取值进行比较的。为了支持频繁的修改，我们需要采用链表这种数据结构。然而，单链表的查找效率又非常低，为了解决这一问题，二叉查找树(BST)便诞生了。

二叉查找树的特点是：任一结点的值都大于其左子树，小于其右子数，如下图所示：

![70 1][]

我们将二叉查找树投影到平面上，实际上就是有顺序的线性表，如下图所示：

![70 2][]

二叉查找树既有快速查找的特点，又有快速插入的特点。其查找代码几乎和二分查找一样。

其时间复杂度最好情况为![O(n)][O_n]，最差情况为![O(log\{n\})][O_log_n]。

最好情况为平衡二叉树(即每次查找会分成两半)时，如图：

![70 3][]

最差情况为所有数据全部在一端时(链表无索引，需要一个一个搜索),如图：

![70 4][]

[70]: /images/20220516/8325ec78919149f2a21e2f1a51c56760.png
[O_log_2_n]: https://private.codecogs.com/gif.latex?O%28log%7B_2%7Dn%29
[log_n]: https://private.codecogs.com/gif.latex?log%7Bn%7D
[70 1]: /images/20220516/ffb41747d7764dba928e2932ce58c6e4.png
[70 2]: /images/20220516/d3acf8094af54803864754b1a7770e7a.png
[O_n]: https://private.codecogs.com/gif.latex?O%28n%29
[O_log_n]: https://private.codecogs.com/gif.latex?O%28log%7Bn%7D%29
[70 3]: /images/20220516/1769da1079e4446aacd3232c3486f4fb.png
[70 4]: /images/20220516/e32b5ea9ad0a43af8ba26a2615a29c55.png