Pareto（帕雷托）理论

布满荆棘的人生 2022-05-10 00:06 300阅读 0赞

由于最近看到了一篇社交网络中的论文提高了Pareto相关知识，所以整理了下网上关于Pareto相关理论的讲解，供大家参考：

维弗雷多·帕雷托 (Villefredo Pareto) 在1987年提出：社会财富的80%是掌握在20%的人手中，而余下的80%的人只占有20%的财富。渐渐地，这种“关键的少数（vital few）和次要的多数（trivial many）”的理论，被广为应用在社会学和经济学中，并被成之为Pareto原则（Pareto Principle）。Pareto Principle也常被称为80/20原则，或称帕累托法则、帕累托定律、最省力法则或不平衡原则、犹太法则。而帕累托法则认为：原因和结果、投入和产出、努力和报酬之间本来存在着无法解释的不平衡。

### Pareto Optimal（帕累托最优） ###

Pareto Optimal在维基的解释是：“不可能再改善某些人的境况，而不使任何其他人受损”。帕雷托最优的定义：帕雷托最优是资源分配的一种状态，在不使任何人境况变坏的情况下，不可能再使某些人的处境变好。帕累托最优（Pareto Optimality），也称为帕累托效率、帕累托改善，是博弈论中的重要概念，并且在经济学， 工程学和社会科学中有着广泛的应用。

### Pareto解 ###

Pareto解又称非支配解或不受支配解（nondominated solutions）：在有多个目标时，由于存在目标之间的冲突和无法比较的现象，一个解在某个目标上是最好的，在其他的目标上可能是最差的。这些在改进任何目标函数的同时，必然会削弱至少一个其他目标函数的解称为非支配解或Pareto解。一组目标函数最优解的集合称为Pareto最优集。最优集在空间上形成的曲面称为Pareto前沿面。Pareto 在1986 年提出多目标的解不受支配解(Non-dominated set)的概念，其定义为：假设任何二解S1及S2对所有目标而言，S1均优于S2，则我们称S1 支配S2，若S1没有被其他解所支配，则S1 称为非支配解（不受支配解），也称Pareto解。

一般地，[多目标规划][Link 1]问题（multi-objective programming,MOP）可以描述成如下形式：

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对于[多目标规划][Link 1]问题，记它的变量可行域为S，相应的目标可行域Z=f(S)。

给定一个可行点

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，有

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，有

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，则

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称为多目标规划问题的绝对最优解。若不存在

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，使得

由于最近看到了一篇社交网络中的论文提高了Pareto相关知识，所以整理了下网上关于Pareto相关理论的讲解，供大家参考：

Pareto Optimal（帕累托最优）  
Pareto Optimal在维基的解释是：“不可能再改善某些人的境况，而不使任何其他人受损”。帕雷托最优的定义：帕雷托最优是资源分配的一种状态，在不使任何人境况变坏的情况下，不可能再使某些人的处境变好。帕累托最优（Pareto Optimality），也称为帕累托效率、帕累托改善，是博弈论中的重要概念，并且在经济学， 工程学和社会科学中有着广泛的应用。

Pareto解  
Pareto解又称非支配解或不受支配解（nondominated solutions）：在有多个目标时，由于存在目标之间的冲突和无法比较的现象，一个解在某个目标上是最好的，在其他的目标上可能是最差的。这些在改进任何目标函数的同时，必然会削弱至少一个其他目标函数的解称为非支配解或Pareto解。一组目标函数最优解的集合称为Pareto最优集。最优集在空间上形成的曲面称为Pareto前沿面。Pareto 在1986 年提出多目标的解不受支配解(Non-dominated set)的概念，其定义为：假设任何二解S1及S2对所有目标而言，S1均优于S2，则我们称S1 支配S2，若S1没有被其他解所支配，则S1 称为非支配解（不受支配解），也称Pareto解。

一般地，多目标规划问题（multi-objective programming,MOP）可以描述成如下形式：

对于多目标规划问题，记它的变量可行域为S，相应的目标可行域Z=f(S)。  
给定一个可行点  ，有  ，有  ，则  称为多目标规划问题的绝对最优解。若不存在  ，使得  ，则  称为对目标规划问题的有效解，多目标规划问题的有效解也称为Pareto最优解。  
可以通过知乎上一个回答者（查看链接）的例子来加深了解：

举例1：假设现在有两个人，甲和乙，分10块蛋糕，并且两个人都喜欢吃蛋糕。10块蛋糕无论在两个人之间如何分配，都是帕累托最优，因为你想让某一个人拥有更大利益的唯一办法是从另一个人手里拿走蛋糕，导致的结果是那个被拿走蛋糕的人利益受损。

举例2：假设现在有两个人，甲和乙，分10块蛋糕10个包子。甲喜欢吃蛋糕而乙喜欢吃包子，而且甲讨厌吃包子，乙讨厌吃蛋糕（甲包子吃得越多越不开心，乙蛋糕吃得越多越不开心）。这种情形下，帕累托最优应当是：把10块蛋糕全部给甲，把10个包子全部给乙。因为任何其他的分配都会使得至少一个人手里拿着一些自己讨厌的东西，比如甲拥有10块蛋糕以及2个包子，乙拥有8个包子。这个时候，如果把2个包子从甲的手里转移到乙的手里，甲和乙都变得比原来更开心了，同时这样的转移并不会使得任何一方的利益受损。

Pareto改进  
Pareto改进 (Pareto Improvement)是指一种变化，在没有使任何人境况变坏的前提下，使得至少一个人变得更好。一方面，帕累托最优是指没有进行Pareto改进的余地的状态；另一方面，Pareto改进是达到帕累托最优的路径和方法。

Pareto Front  
Pareto解的集合即所谓的Pareto Front。在Pareto front中的所有解皆不受Pareto Front之外的解（以及Pareto Front 曲线以内的其它解）所支配，因此这些非支配解较其他解而言拥有最少的目标冲突，可提供决策者一个较佳的选择空间。在某个非支配解的基础上改进任何目标函数的同时，必然会削弱至少一个其他目标函数。

Pareto Analysis  
Pareto Analysis即为帕累托分析法又称为ABC分类法，也叫主次因素分析法，是项目管理中常用的一种方法。它是根据事物在技术和经济方面的主要特征，进行分类排队，分清重点和一般，从而有区别地确定管理方式的一种分的方法。由于它把被分析的对象分成A、B、C三类，所以又称ABC分类法。ABC分类法是由意大利经济学家帕雷托首创的。1879年，帕累托研究个人收入的分布状态图是地，发现少数人收入占全部人口收入的大部分，而多数人的收入却只占一小部分，他将这一关系用图表示出来，就是著名的帕累托图。该分析方法的核心思想是在决定一事物的众多因素中分清主次，识别出少数但对事物起决定作用的关键因素和多数的但对事物影响较小的次要因素。后来，帕累托法被不断应用于管理的各个方面。1951年，管理学家戴克（H.F.Dickie）将其应用于库存管理，命名为ABC法。1951年---1956年，朱兰将ABC法引入质量管理，用于质量问题的分析，被称为排列图。1963年，杜拉克（P.F.Drucker）将这一方法推广到全部社会现象，使ABC法成为企业提高效益的普遍应用的管理方法。

在ABC分析法的分析图中，有两个纵坐标，一个横坐标，几个长方形，一条曲线，左边纵坐标表示频数，右边纵坐标表示频率，以百分数表示。横坐标表示影响质量的各项因素，按影响大小从左向右排列，曲线表示各种影响因素大小的累计百分数。一般地，是将曲线的累计频率分为三级，与之相对应的因素分为三类：  
A类因素，发生频率为70%～80%，是主要影响因素。  
B类因素，发生频率为10%～20%，是次要影响因素。  
C类因素，发生频率为0～10%，是一般影响因素。  
这种方法有利于人们找出主次矛盾，有针对性地采取措施。  
  
ABC法大致可以分五个步骤：  
（1） 收集数据，针对不同的分析对象和分内容，收集有关数据  
（2） 统计汇总  
（3） 编制ABC分析表  
（4） ABC分析图  
（5） 确定重点管理方式

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，则

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称为对目标规划问题的有效解，多目标规划问题的有效解也称为Pareto最优解。

可以通过知乎上一个回答者（查看[链接][Link 2]）的例子来加深了解：

**举例1：**假设现在有两个人，甲和乙，分10块蛋糕，并且两个人都喜欢吃蛋糕。10块蛋糕无论在两个人之间如何分配，都是帕累托最优，因为你想让某一个人拥有更大利益的唯一办法是从另一个人手里拿走蛋糕，导致的结果是那个被拿走蛋糕的人利益受损。

**举例2：**假设现在有两个人，甲和乙，分10块蛋糕10个包子。甲喜欢吃蛋糕而乙喜欢吃包子，而且甲讨厌吃包子，乙讨厌吃蛋糕（甲包子吃得越多越不开心，乙蛋糕吃得越多越不开心）。这种情形下，帕累托最优应当是：把10块蛋糕全部给甲，把10个包子全部给乙。因为任何其他的分配都会使得至少一个人手里拿着一些自己讨厌的东西，比如甲拥有10块蛋糕以及2个包子，乙拥有8个包子。这个时候，如果把2个包子从甲的手里转移到乙的手里，甲和乙都变得比原来更开心了，同时这样的转移并不会使得任何一方的利益受损。

### Pareto改进 ###

Pareto改进 (Pareto Improvement)是指一种变化，在没有使任何人境况变坏的前提下，使得至少一个人变得更好。一方面，帕累托最优是指没有进行Pareto改进的余地的状态；另一方面，Pareto改进是达到帕累托最优的路径和方法。

### Pareto Front ###

Pareto解的集合即所谓的Pareto Front。在Pareto front中的所有解皆不受Pareto Front之外的解（以及Pareto Front 曲线以内的其它解）所支配，因此这些非支配解较其他解而言拥有最少的目标冲突，可提供决策者一个较佳的选择空间。在某个非支配解的基础上改进任何目标函数的同时，必然会削弱至少一个其他目标函数。

### Pareto Analysis ###

Pareto Analysis即为帕累托分析法又称为ABC分类法，也叫主次因素分析法，是项目管理中常用的一种方法。它是根据事物在技术和经济方面的主要特征，进行分类排队，分清重点和一般，从而有区别地确定管理方式的一种分的方法。由于它把被分析的对象分成A、B、C三类，所以又称ABC分类法。ABC分类法是由意大利经济学家帕雷托首创的。1879年，帕累托研究个人收入的分布状态图是地，发现少数人收入占全部人口收入的大部分，而多数人的收入却只占一小部分，他将这一关系用图表示出来，就是著名的帕累托图。该分析方法的核心思想是在决定一事物的众多因素中分清主次，识别出少数但对事物起决定作用的关键因素和多数的但对事物影响较小的次要因素。后来，帕累托法被不断应用于管理的各个方面。1951年，管理学家戴克（H.F.Dickie）将其应用于库存管理，命名为ABC法。1951年---1956年，朱兰将ABC法引入质量管理，用于质量问题的分析，被称为排列图。1963年，杜拉克（P.F.Drucker）将这一方法推广到全部社会现象，使ABC法成为企业提高效益的普遍应用的管理方法。

[Link 1]: https://baike.baidu.com/item/%E5%A4%9A%E7%9B%AE%E6%A0%87%E8%A7%84%E5%88%92
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[Link 2]: https://www.zhihu.com/question/22570835/answer/21816685?utm_campaign=rss&utm_medium=rss&utm_source=rss&utm_content=title