矩阵乘法

Myth丶恋晨 2022-05-09 14:48 304阅读 0赞

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*   *  矩阵乘法(行操作)
     *  矩阵乘法(列操作)

## 矩阵乘法(行操作) ##

如果有：  
 E = \[ 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 \]                       A = \[ 2 4 − 2 4 9 − 3 − 2 − 3 7 \] E= \\left\[ \\begin\{matrix\} 1 & 0 & 0 \\\\ -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end\{matrix\} \\right\] \\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space A= \\left\[ \\begin\{matrix\} 2 & 4 & -2 \\\\ 4 & 9 & -3 \\\\ -2 & -3 & 7 \\end\{matrix\} \\right\] E=⎣⎡1−20010001⎦⎤                     A=⎣⎡24−249−3−2−37⎦⎤

求EA=Y

思维转变：EA看成E对A的行进行操作

step1：  
 \[ 1 0 0 0 0 1 \] \[ 2 4 − 2 4 9 − 3 − 2 − 3 7 \] \\left\[ \\begin\{matrix\} 1 & 0 & 0 \\\\ & & \\\\ 0 & 0 & 1 \\end\{matrix\} \\right\] \\left\[ \\begin\{matrix\} 2 & 4 & -2 \\\\ 4 & 9 & -3 \\\\ -2 & -3 & 7 \\end\{matrix\} \\right\] ⎣⎡100001⎦⎤⎣⎡24−249−3−2−37⎦⎤  
  等价于A的第一行和第三行不变  
 (1) \[ 2 4 − 2 − 2 − 3 7 \] \\left\[ \\begin\{matrix\} 2 & 4 & -2 \\\\ & & \\\\ -2 & -3 & 7 \\end\{matrix\} \\right\]\\tag\{1\} ⎣⎡2−24−3−27⎦⎤(1)

step2：

\[ − 2 1 0 \] \[ 2 4 − 2 4 9 − 3 − 2 − 3 7 \] \\left\[ \\begin\{matrix\} & & \\\\ -2& 1 &0 \\\\ & & \\end\{matrix\} \\right\] \\left\[ \\begin\{matrix\} 2 & 4 & -2 \\\\ 4 & 9 & -3 \\\\ -2 & -3 & 7 \\end\{matrix\} \\right\] ⎣⎡−210⎦⎤⎣⎡24−249−3−2−37⎦⎤  
  等价于A的  row1\*（-2）+row2=new row2

(2) ( 2 , 4 , − 2 ) ∗ ( − 2 ) ( 2,4,-2)\*(-2)\\tag\{2\} (2,4,−2)∗(−2)(2)  
 (3) ( 4 , 9 , − 3 ) ∗ ( 1 ) ( 4,9,-3)\*(1)\\tag\{3\} (4,9,−3)∗(1)(3)  
 (4) ( 2 ) + ( 3 ) = n e w   r o w 2    − >   \[ 0 1 1 \] (2)+(3)=new\\space row 2\\space\\space->\\space\\left\[ \\begin\{matrix\} & & \\\\ 0& 1 &1 \\\\ & & \\end\{matrix\} \\right\]\\tag\{4\} (2)\+(3)=new row2  −> ⎣⎡011⎦⎤(4)

step3：  
 ( 1 ) + ( 4 ) = \[ 2 4 − 2 0 1 1 − 2 − 3 7 \] (1)+(4)=\\left\[ \\begin\{matrix\} 2 & 4 &-2 \\\\ 0& 1 &1 \\\\ -2&-3 & 7 \\end\{matrix\} \\right\] (1)\+(4)=⎣⎡20−241−3−217⎦⎤

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*  例子：

如果有：  
 A = \[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 \]                       X = \[ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \] A= \\left\[ \\begin\{matrix\} 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7&8 &9 \\end\{matrix\} \\right\] \\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space X= \\left\[ \\begin\{matrix\} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 &1 \\end\{matrix\} \\right\] A=⎣⎡147258369⎦⎤                     X=⎣⎡111111111⎦⎤

求AX=Y  
  
  
  
  
step1：  
 \[ 1 2 3 \] \[ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \] \\left\[ \\begin\{matrix\} 1 & 2 & 3 \\\\ & & \\\\ & & \\end\{matrix\} \\right\] \\left\[ \\begin\{matrix\} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 &1 \\end\{matrix\} \\right\] ⎣⎡123⎦⎤⎣⎡111111111⎦⎤

等价于A的  row1\*1+row2\*2+row3\*3=new row1  
  
  
 (1) ( 1 , 1 , 1 ) ∗ ( 1 ) ( 1,1,1)\*(1)\\tag\{1\} (1,1,1)∗(1)(1)  
 (2) ( 1 , 1 , 1 ) ∗ ( 2 ) ( 1,1,1)\*(2)\\tag\{2\} (1,1,1)∗(2)(2)  
 (3) ( 1 , 1 , 1 ) ∗ ( 3 ) ( 1,1,1)\*(3)\\tag\{3\} (1,1,1)∗(3)(3)

(4) ( 1 ) + ( 2 ) + ( 3 ) = \[ 6 6 6 \] (1)+(2)+(3)= \\left\[ \\begin\{matrix\} 6& 6& 6 \\\\ & & \\\\ & & \\end\{matrix\} \\right\]\\tag\{4\} (1)\+(2)\+(3)=⎣⎡666⎦⎤(4)  
  
  
step2：

同理  
 (5) \[ 4 5 6 \] \[ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \] = \[ 15 15 15 \] \\left\[ \\begin\{matrix\} & & \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ & & \\end\{matrix\} \\right\] \\left\[ \\begin\{matrix\} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 &1 \\end\{matrix\} \\right\] =\\left\[ \\begin\{matrix\} & & \\\\ 15 & 15 & 15 \\\\ & & \\end\{matrix\} \\right\] \\tag\{5\} ⎣⎡456⎦⎤⎣⎡111111111⎦⎤=⎣⎡151515⎦⎤(5)

(6) \[ 7 8 9 \] \[ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \] = \[ 24 24 24 \] \\left\[ \\begin\{matrix\} & & \\\\ & & \\\\ 7& 8&9 \\end\{matrix\} \\right\] \\left\[ \\begin\{matrix\} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 &1 \\end\{matrix\} \\right\] =\\left\[ \\begin\{matrix\} & & \\\\ & & \\\\ 24& 24&24 \\end\{matrix\} \\right\] \\tag\{6\} ⎣⎡789⎦⎤⎣⎡111111111⎦⎤=⎣⎡242424⎦⎤(6)

求 得 : Y = \[ 6 6 6 15 15 15 24 24 24 \] 求得:Y=\\left\[ \\begin\{matrix\} 6& 6& 6 \\\\ 15 & 15 &15 \\\\ 24& 24&24 \\end\{matrix\} \\right\] 求得:Y=⎣⎡615246152461524⎦⎤

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## 矩阵乘法(列操作) ##

*  两个矩阵AE相乘，看成E对A进行列变换  
      
      
    如果有：  
     A = \[ 2 4 − 2 4 9 − 3 − 2 − 3 7 \]                       E = \[ 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 \] A= \\left\[ \\begin\{matrix\} 2 & 4 & -2 \\\\ 4 & 9 & -3 \\\\ -2 & -3 & 7 \\end\{matrix\} \\right\]\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space\\space E= \\left\[ \\begin\{matrix\} 1 & 0 & 0 \\\\ -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end\{matrix\} \\right\] A=⎣⎡24−249−3−2−37⎦⎤                     E=⎣⎡1−20010001⎦⎤  
    求AE=Y

step1：  
 E = \[ 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 \] = \[ E 1 E 2 E 3 \] E=\\left\[ \\begin\{array\}\{c|c|c\} 1 & 0 & 0 \\\\ -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end\{array\} \\right\] = \\left\[ \\begin\{matrix\} & & \\\\ E1& E2& E3 \\\\ & & \\end\{matrix\} \\right\] E=⎣⎡1−20010001⎦⎤=⎣⎡E1E2E3⎦⎤  
  
  
 A E = \[ A E 1 A E 2 A E 3 \] AE=\\left\[ \\begin\{matrix\} & & \\\\ AE1& AE2& AE3 \\\\ & & \\end\{matrix\} \\right\] AE=⎣⎡AE1AE2AE3⎦⎤  
  
  
  step2：

A E 1 = \[ 2 4 − 2 4 9 − 3 − 2 − 3 7 \] \[ 1 − 2 0 \] AE1= \\left\[ \\begin\{matrix\} 2 & 4 & -2 \\\\ 4 & 9 & -3 \\\\ -2 & -3 & 7 \\end\{matrix\} \\right\] \\left\[ \\begin\{matrix\} 1 \\\\ -2 \\\\ 0 \\end\{matrix\} \\right\] AE1=⎣⎡24−249−3−2−37⎦⎤⎣⎡1−20⎦⎤  
  
  
  看成A的列向量的线性组合：  
  
  
 (1) \[ 2 4 − 2 \] ∗ 1 + \[ 4 9 − 3 \] ∗ ( − 2 ) + \[ − 2 − 3 7 \] ∗ 0 = \[ − 6 − 14 4 \] \\left\[ \\begin\{matrix\} 2 \\\\ 4 \\\\ -2 \\end\{matrix\} \\right\] \*1+ \\left\[ \\begin\{matrix\} 4 \\\\ 9 \\\\ -3 \\end\{matrix\} \\right\]\*(-2)+ \\left\[ \\begin\{matrix\} -2 \\\\ -3 \\\\ 7 \\end\{matrix\} \\right\]\*0= \\left\[ \\begin\{matrix\} -6 \\\\ -14 \\\\ 4 \\end\{matrix\} \\right\]\\tag\{1\} ⎣⎡24−2⎦⎤∗1\+⎣⎡49−3⎦⎤∗(−2)\+⎣⎡−2−37⎦⎤∗0=⎣⎡−6−144⎦⎤(1)  
  
  
  step3：

同理：  
 (2) A E 2 = \[ 2 4 − 2 4 9 − 3 − 2 − 3 7 \] \[ 0 1 0 \] = \[ 4 9 − 3 \] AE2= \\left\[ \\begin\{matrix\} 2 & 4 & -2 \\\\ 4 & 9 & -3 \\\\ -2 & -3 & 7 \\end\{matrix\} \\right\] \\left\[ \\begin\{matrix\} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end\{matrix\} \\right\] = \\left\[ \\begin\{matrix\} 4 \\\\ 9 \\\\ -3 \\end\{matrix\} \\right\] \\tag\{2\} AE2=⎣⎡24−249−3−2−37⎦⎤⎣⎡010⎦⎤=⎣⎡49−3⎦⎤(2)

(3) A E 3 = \[ 2 4 − 2 4 9 − 3 − 2 − 3 7 \] \[ 0 0 1 \] = \[ − 2 − 3 7 \] AE3= \\left\[ \\begin\{matrix\} 2 & 4 & -2 \\\\ 4 & 9 & -3 \\\\ -2 & -3 & 7 \\end\{matrix\} \\right\] \\left\[ \\begin\{matrix\} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end\{matrix\} \\right\] = \\left\[ \\begin\{matrix\} -2 \\\\ -3 \\\\ 7 \\end\{matrix\} \\right\] \\tag\{3\} AE3=⎣⎡24−249−3−2−37⎦⎤⎣⎡001⎦⎤=⎣⎡−2−37⎦⎤(3)

求得：

Y = ( 1 ) + ( 2 ) + ( 3 ) = \[ A E 1 A E 2 A E 3 \] = \[ − 6 4 − 2 − 14 9 − 3 4 − 3 7 \] Y=(1)+(2)+(3)= \\left\[ \\begin\{matrix\} & & \\\\ AE1& AE2& AE3 \\\\ & & \\end\{matrix\} \\right\] = \\left\[ \\begin\{matrix\} -6 & 4 & -2 \\\\ -14 & 9 & -3 \\\\ 4 & -3 & 7 \\end\{matrix\} \\right\] Y=(1)\+(2)\+(3)=⎣⎡AE1AE2AE3⎦⎤=⎣⎡−6−14449−3−2−37⎦⎤