伯努利分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布 一时失言乱红尘 2022-05-09 13:50 484阅读 0赞 导语 对于任何一个学习概率论的童鞋来说，各种分布都是很头痛的一件事情，本篇主要讨论的是离散型随机变量. 伯努利分布 伯努利分布就是我们常见的0-1分布，即它的随机变量只取0或者1，各自的频率分别取1−p1−p和pp，当x=0x=0或者x=1x=1时，我们数学定义为： p(x)=px∗(1−p)1−x p(x)=px∗(1−p)1−x 其它情况下p(x)=0p(x)=0，伯努利分布是一个非常好理解的分布，也是很多其它分布的基础。 离散型随机变量期望：E(x)=∑x∗p(x)E(x)=∑x∗p(x) 方差：D(x)=E(x2)−E2(x)D(x)=E(x2)−E2(x) 对于伯努利分布来说，E(x)=1∗p+0∗(1−p)=p,D(x)=12∗p−p2=p(1−p)E(x)=1∗p+0∗(1−p)=p,D(x)=12∗p−p2=p(1−p) 二项分布 二项分布是这样一种分布，假设进行n次独立实验，每次实验“成功”的概率为pp，失败的概率为1−p1−p，所有成功的次数XX就是一个参数为nn和pp的二项随机变量.数学公式定义为： p(k)=(nk)∗pk∗(1−p)n−k p(k)=(nk)∗pk∗(1−p)n−k 二项分布公式基于伯努利分布得到，因为二项分布中每项实验都是独立的，因此每一次实验都是一次伯努利实验，在nn次实验中，成功kk次，排列方式有(nk)(nk)种，根据乘法原理，即可得到二项分布的公式。 话外：对于均值和方差的计算，XiXi是标准的伯努利分布，总发生次数X=∑n1XiX=∑1nXi，所以E(X)=E(∑n1Xi)=∑n1E(Xi)=n∗pE(X)=E(∑1nXi)=∑1nE(Xi)=n∗p，同理方差D(x)=∑n1D(Xi)=n∗p∗(1−p)D(x)=∑1nD(Xi)=n∗p∗(1−p) 几何分布和负二项分布 这是一个比较简单的分布，其中负二项分布是几何分布的一般形式，几何分布与二项分布类似，也是由nn次伯努利分布构成，随机变量XX表示第一次成功所进行试验的次数，则 p(k)=P(X=k)=p∗(1−p)k−1,k=1,2,3,... p(k)=P(X=k)=p∗(1−p)k−1,k=1,2,3,... 负二项分布是几何分布的一般形式，表示直到成功r次停止，显而易见，当r=1时，它就是几何分布，则 P(X=k)=(k−1r−1)pr∗(1−p)k−r P(X=k)=(k−1r−1)pr∗(1−p)k−r 关于几何分布的期望与方差，E(X)=1/pE(X)=1/p，D(x)=(1−p)/p2D(x)=(1−p)/p2，关于期望的证明，E(X)=∑∞n=1n∗p∗qn−1=p∗∑∞n=1(qn)′=p∗(∑∞n=1qn)′=1/pE(X)=∑n=1∞n∗p∗qn−1=p∗∑n=1∞(qn)′=p∗(∑n=1∞qn)′=1/p，方差证明与期望证明类似，不再赘述… 超几何分布 非常常见的一种分布，常用来表示在NN个物品中有指定商品MM个，不放回抽取nn个，抽中指定商品的个数，即XX~H(N,n,M)H(N,n,M)，则抽中k件的概率为： p(k)=P(X=k)=(Mk)∗(N−Mn−k)(Nn) p(k)=P(X=k)=(Mk)∗(N−Mn−k)(Nn) 实际应用中超几何分布例子很多，比如彩票开奖你所符合的数字个数等。 泊松分布 泊松分布是离散型随机变量分布中相对较难的一种，泊松频率函数定义为： P(X=k)=λk∗e−λk!，k=0,1,2,3,... P(X=k)=λk∗e−λk!，k=0,1,2,3,... 泊松分布是二项分布的极限形式，可有二项分布概率公式推导得出，其中λ=n∗pλ=n∗p，当n>>pn>>p时， p(k)=(nk)∗pk∗(1−p)n−k=n!∗pk∗(1−p)n−kk!∗(n−k)!=n!∗(λn)k∗(1−λn)n−kk!∗(n−k)!=λkk!∗n!(n−k)!∗k!∗(1−λn)n∗(1−λn)−k p(k)=(nk)∗pk∗(1−p)n−k=n!∗pk∗(1−p)n−kk!∗(n−k)!=n!∗(λn)k∗(1−λn)n−kk!∗(n−k)!=λkk!∗n!(n−k)!∗k!∗(1−λn)n∗(1−λn)−k 当nn->∞∞时，λnλn->0，n!(n−k)!∗k!n!(n−k)!∗k!->1，(1−λn)n(1−λn)n->e−λe−λ，(1−λn)−k(1−λn)−k->1，所以 p(k)−>λk∗e−λk! p(k)−>λk∗e−λk! 泊松分布的期望和方差均为λλ，证明过程严格按照定义即可，注意在证明过程中使用到了eλ的泰勒展开eλ的泰勒展开 泊松分布主要用来研究单位时间或单位空间内某时间的发生次数，同时事件的发生必须是相互独立的，比如单位时间内通过某一交通灯的车辆数等。λλ大概等于20时，泊松分布基本可以近似为正态分布进行处理。 泊松分布用来衡量事件的稳定性是一个不错的方法，再配合一些统计学上的检验方法，能够做很多东西，在之后的连续型随机变量中，有一种分布叫指数分布，它与泊松分布密不可分，可由泊松分布推导出 \--------------------- 作者：天空中的一缕微风 来源：CSDN 原文：https://blog.csdn.net/zlbflying/article/details/47777943?utm\_source=copy 版权声明：本文为博主原创文章，转载请附上博文链接！
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