欧几里德与扩展欧几里德算法

淡淡的烟草味﹌ 2022-05-05 14:28 157阅读 0赞

先参考一篇比较优秀的文章：[欧几里德算法][Link 1]

#### 欧几里德算法 ####

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

第一种证明：

a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
    
    　　假设d是a,b的一个公约数，则有
    
    　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
    
    　　因此d是(b,a mod b)的公约数
    
    　　假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
    
    　　d | b , d |r ，但是a = kb +r
    
    　　因此d也是(a,b)的公约数
    
    　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

第二种证明：

要证欧几里德算法成立，即证: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公约数的意思，r=a mod b，
        下面证 gcd（a，b）=gcd（b，r），
        设  c是a，b的最大公约数，即c=gcd（a，b），则有 a=mc，b=nc，其中m，n为正整数，
        且m，n互为质数（如果 m 和 n 不是互质的，c 就不是最大的公约数）。
        由 r= a mod b可知，r= a- qb 其中，q是正整数，
        则 r=a-qb=mc-qnc=（m-qn）c，
        b=nc,r=(m-qn)c，且n，（m-qn）互质（假设n，m-qn不互质，则n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整数，且d>1 则a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,这时a,b 的最大公约数变成dc，
        与前提矛盾，所以n ，m-qn一定互质），
        则gcd（b,r）=c=gcd（a,b），
        得证。

算法的实现：

最简单的方法就是应用递归算法，代码如下：

/* 在 a % b的计算的时候，不用规定 a 一定要比 b 的数值大， 如果 a 比 b小了，在 mod 一次之后 a 和 b 的值就会交换。 */
    int gcd(int a,int b)
    { 
        if(b==0)
            return a;
        return 
            gcd(b,a%b);
    }

代码可优化如下：

int gcd(int a,int b)
    { 
         return b ? gcd(b,a%b) : a;
     }

当然你也可以用迭代形式：

int Gcd(int a, int b)
    { 
        while(b != 0)
        { 
        　　int r = b;
        　　b = a % b;
        　　a = r;
        }
        return a;
    }

#### 扩展欧几里德算法 ####

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

2，ab!=0 时

设 ax1+by1=gcd(a,b);

bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)\*b)y2=ay2+bx2-(a/b)\*by2;

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)\*y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

扩展欧几里德的递归代码：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
    { 
        if(b==0)
        { 
            x=1;
            y=0;
            return a;
        }
        int r=exgcd(b,a%b,x,y);
        int t=x;
        x=y;
        y=t-a/b*y;
        return r;
    }

扩展欧几里德非递归代码：

int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)
    { 
        int x1,y1,x0,y0;
        x0=1; y0=0;
        x1=0; y1=1;
        x=0; y=1;
        int r=m%n;
        int q=(m-r)/n;
        while(r)
        { 
            x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
            x0=x1; y0=y1;
            x1=x; y1=y;
            m=n; n=r; r=m%n;
            q=(m-r)/n;
        }
        return n;
    }

扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：

（1）求解不定方程；

（2）求解模线性方程（线性同余方程）；

（3）求解模的逆元；

（1）使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：

对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。  
上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p \* a+q \* b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p \* a+q \* b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：  
p = p0 + b/Gcd(p, q) \* t  
q = q0 - a/Gcd(p, q) \* t(其中t为任意整数)  
至于pa+qb=c的整数解，只需将p \* a+q \* b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。

在找到p \* a+q \* b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p \* a+q \* b = c的一组解p1 = p0\*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0\*(c/Gcd(a,b))，

p \* a+q \* b = c的其他整数解满足：

p = p1 + b/Gcd(a, b) \* t

q = q1 - a/Gcd(a, b) \* t(其中t为任意整数)

p 、q就是p \* a+q \* b = c的所有整数解。

相关证明可参考：[http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/18/2020357.html][http_www.cnblogs.com_void_archive_2011_04_18_2020357.html]

用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;

代码如下：

bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)
    { 
        int d=exgcd(a,b,x,y);
        if(c%d)
            return false
        int k=c/d;
        x*=k; y*=k;    //求得的只是其中一组解
        return true;
    }

(2)用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法：

同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。
    
    求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)
    
    设 d= gcd(a,n)，假如整数 x 和 y，满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d| b，则方程
    
    a* x0+ n* y0= d， 方程两边乘以 b/ d，(因为 d|b，所以能够整除)，得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
    所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解，所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。
    
    ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。
    
    设ans=x*(b/d),s=n/d;
    
    方程ax≡b (mod n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s;
    
    相关证明：
    
    证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
    由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
         a*x0 = d (b/d) (mod n)   (由于 ax' = d (mod n))
                 = b (mod n)
    
    证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d)  (mod n);
    由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
                             = (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
                             = a * x0 (mod n)             (由于 d | a)
                             = b

首先看一个简单的例子：

5x=4(mod3)

解得x = 2,5,8,11,14…

由此可以发现一个规律，就是解的间隔是3.

那么这个解的间隔是怎么决定的呢？

如果可以设法找到第一个解，并且求出解之间的间隔，那么就可以求出模的线性方程的解集了.

我们设解之间的间隔为dx.

那么有

a\*x = b(mod n);

a\*(x+dx) = b(mod n);

两式相减，得到:

a\*dx(mod n)= 0;

也就是说a*dx就是a的倍数，同时也是n的倍数，即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.

设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a\*n)/d.

即a*dx = a*n/d;

所以dx = n/d.

因此解之间的间隔就求出来了.  
代码如下：

bool modular_linear_equation(int a,int b,int n)
    { 
        int x,y,x0,i;
        int d=exgcd(a,n,x,y);
        if(b%d)
            return false;
        x0=x*(b/d)%n;   //特解
        for(i=1;i<d;i++)
            printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n);
        return true;
    }

（3）用欧几里德算法求模的逆元：

同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。
    
      在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。
    
      这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。
    
      对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程
    
      ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。

原文链接：[http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html][http_www.cnblogs.com_frog112111_archive_2012_08_19_2646012.html]

我的小练习：

#include<stdio.h>
    int gcd(int a, int b);
    int exgcd(int a, int b, int * x, int * y);
    int main()
    { 
        int a, b, x, y;
        printf("请输入第一个数: ");
        scanf("%d", &a);
        printf("请输入第二个数: ");
        scanf("%d", &b);
        
        //使用扩展欧几里德算法求最大公因数
        //printf("%d 和 %d的最大公因数是: %d\n", a, b, gcd(a, b));
    
        //使用扩展欧几里德算法计算a b的最大公因数
        int maxComDivi = exgcd(a, b, &x, &y);
        printf("\n%d 和 %d的最大公因数是: %d\n", a, b, maxComDivi);
        printf("并且%d = %d * %d + %d * %d\n", maxComDivi, x, a, y, b);
    
    }
    int gcd(int a, int b)
    { 
        if (b == 0)
        { 
            return a;
        }
        else
        { 
            return gcd(b, a%b);
        }
    }
    
    int exgcd(int a, int b, int * x, int * y)
    { 
        int r;   //最大公因数
        int temp;  //暂时保存x
        if (b == 0)
        { 
            *x = 1;
            *y = 0;
            return a;    //a是最大公因数
        }
        r = exgcd(b, a % b, x, y);  //x，y是一个指针
        //x1 = y2, y1 = x2 - (a / b) * y2
        
        temp = *x;
        *x = *y;
        *y = temp - (a / b) * (*y);
        return r;     //返回最大公因数
    }

[Link 1]: https://blog.csdn.net/rentenglong2012/article/details/68944518?utm_source=blogxgwz5
[http_www.cnblogs.com_void_archive_2011_04_18_2020357.html]: http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/18/2020357.html
[http_www.cnblogs.com_frog112111_archive_2012_08_19_2646012.html]: http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html