理解二进制补码的本质，别再死记硬背了

浅浅的花香味﹌ 2022-04-27 19:02 155阅读 0赞

问一个基本的问题。

### 负数在计算机中如何表示？ ###

举例来说，+8在计算机中表示为二进制的1000，**那么-8怎么表示呢？**

很容易想到，可以将一个二进制位（bit）专门规定为符号位，它等于0时就表示正数，等于1时就表示负数。比如，在8位机中，规定每个字节的最高位为符号位。那么，+8就是00001000，而-8则是10001000。

但是，随便找一本《计算机原理》，都会告诉你，实际上，计算机内部采用**2的补码**（Two’s Complement）表示负数。

### 什么是2的补码？ ###

它是一种数值的转换方法，要分二步完成：

第一步，每一个二进制位都取相反值，0变成1，1变成0。比如，00001000的相反值就是11110111。

第二步，将上一步得到的值加1。11110111就变成11111000。

所以，00001000的2的补码就是11111000。也就是说，-8在计算机（8位机）中就是用11111000表示。

不知道你怎么看，反正我觉得很奇怪，为什么要采用这么麻烦的方式表示负数，更直觉的方式难道不好吗？

昨天，我在一本书里又看到了这个问题，然后就花了一点时间到网上找资料，现在总算彻底搞明白了。

### 2的补码的好处 ###

首先，要明确一点。计算机内部用什么方式表示负数，其实是无所谓的。只要能够保持一一对应的关系，就可以用任意方式表示负数。所以，既然可以任意选择，那么理应选择一种最方便的方式。

2的补码就是最方便的方式。它的便利体现在，所有的加法运算可以使用同一种电路完成

**还是以-8作为例子。**

假定有两种表示方法。一种是直觉表示法，即10001000；另一种是2的补码表示法，即11111000。请问哪一种表示法在加法运算中更方便？

随便写一个计算式，16 + (-8) = ?

16的二进制表示是 00010000，所以用直觉表示法，加法就要写成：

０００１００００
     ＋１０００１０００
       －－－－－－－－－
    　 １００１１０００

可以看到，如果按照正常的加法规则，就会得到10011000的结果，转成十进制就是-24。显然，这是错误的答案。也就是说，在这种情况下，正常的加法规则不适用于正数与负数的加法，因此必须制定两套运算规则，一套用于正数加正数，还有一套用于正数加负数。从电路上说，就是必须为加法运算做两种电路。

现在，再来看2的补码表示法。

０００１００００
    ＋ １１１１１０００
     －－－－－－－－－
     １００００１０００

可以看到，按照正常的加法规则，得到的结果是100001000。注意，这是一个9位的二进制数。我们已经假定这是一台8位机，因此最高的第9位是一个溢出位，会被自动舍去。所以，结果就变成了00001000，转成十进制正好是8，也就是16 + (-8) 的正确答案。这说明了，2的补码表示法可以将加法运算规则，扩展到整个整数集，从而用一套电路就可以实现全部整数的加法。

### 2的补码的本质 ###

在回答2的补码为什么能正确实现加法运算之前，我们先看看它的本质，也就是那两个步骤的转换方法是怎么来的。

要将正数转成对应的负数，其实只要用0减去这个数就可以了。比如，-8其实就是0-8。

已知8的二进制是00001000，-8就可以用下面的式子求出：

００００００００
    －００００１０００
    －－－－－－－－－

因为00000000（被减数）小于0000100（减数），所以不够减。请回忆一下小学算术，如果被减数的某一位小于减数，我们怎么办？很简单，问上一位借1就可以了。

所以，0000000也问上一位借了1，也就是说，被减数其实是100000000，算式也就改写成：

１００００００００
    －００００１０００
      －－－－－－－－－　    
      １１１１１０００

进一步观察，可以发现100000000 = 11111111 + 1，所以上面的式子可以拆成两个：

１１１１１１１１
    － ００００１０００
    －－－－－－－－－　 
       １１１１０１１１
    ＋ ０００００００１
    －－－－－－－－－　 
       １１１１１０００

2的补码的两个转换步骤就是这么来的。

### 为什么正数加法适用于2的补码？ ###

实际上，我们要证明的是，X-Y或X+(-Y)可以用X加上Y的2的补码完成。

Y的2的补码等于(11111111-Y)+1。所以，X加上Y的2的补码，就等于：

X + (11111111-Y) + 1

我们假定这个算式的结果等于Z，即 Z = X + (11111111-Y) + 1

接下来，分成两种情况讨论。

**第一种情况**：如果X小于Y，那么Z是一个负数。这时，我们就对Z采用2的补码的逆运算，求出它对应的正数绝对值，再在前面加上负号就行了。所以，

Z = -[11111111-(Z-1)] = -[11111111-(X + (11111111-Y) + 1-1)] = X - Y

**第二种情况**：如果X大于Y，这意味着Z肯定大于11111111，但是我们规定了这是8位机，最高的第9位是溢出位，必须被舍去，这相当于减去100000000。所以，

Z = Z - 100000000 = X + (11111111-Y) + 1 - 100000000 = X - Y

这就证明了，在正常的加法规则下，可以利用2的补码得到正数与负数相加的正确结果。换言之，计算机只要部署加法电路和补码电路，就可以完成所有整数的加法。

**（完）**

**热 文 推 荐**

[**☞ 常用的设计模式汇总：最通俗易懂的讲解，看过的都懂了！**][Link 1]

**资料分享**

**[java学习笔记、10T资料、100多个java项目分享][java_10T_100_java]**

欢迎关注个人公众号【菜鸟名企梦】，公众号专注：**互联网求职面经**、**java**、**python**、**爬虫**、**大数据**等技术分享\*\*：  
公众号\*\*`菜鸟名企梦`**后台发送“csdn”即可免费领取【csdn】和【百度文库】下载服务；  
公众号**`菜鸟名企梦`**后台发送“资料”:即可领取**5T精品学习资料\*\*、**java面试考点**和**java面经总结**，以及**几十个java、大数据项目**，**资料很全，你想找的几乎都有**  
![扫码关注，及时获取更多精彩内容。（博主今日头条大数据工程师）][1240]

[Link 1]: http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI3ODg2OTY1OQ==&mid=2247485627&idx=1&sn=adc7a4ec299132afc50e9e4d9892634a&chksm=eb512b4fdc26a259075927fcf3be81975475aa5c5ba9eb4156a4539070f707d52bf1d0dffaac&scene=21#wechat_redirect
[java_10T_100_java]: https://blog.csdn.net/liewen_/article/details/89737004
[1240]: /images/20220121/a899b8a7d2ba4c0091a1a0fae63a65e2.png