斐波那契数列和青蛙跳台阶

た入场券 2022-04-24 15:20 158阅读 0赞

public class Fibonacci {
    
        /**
         * 简单的递归，效率较低，因为有很多数字重复计算了
         */
        static long Fibonacci(int n){
           if (n<=0){
             return 0;
           }
           if (n==1){
             return 1;
           }
           return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
        }
    
        /**
         * 用循环性能较高，复杂度O(n)
         */
        static long F(int n){
            int[] result = {0,1};
            if (n<2){
              return result[n];
            }
    
            long f1 = 1;
            long f2 = 0;
            long fSum = 0;
            for (int i = 2; i <= n; i++) {
                fSum = f1 + f2;
                f2 = f1;
                f1 = fSum;
            }
            return fSum;
        }
        public static void main(String[] args) {
            System.out.println(Fibonacci(10));
            System.out.println(F(10));
        }
    }

### **青蛙跳台阶** ###

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

关于本题，前提是n个台阶会有一次n阶的跳法。分析如下:

f(1) = 1

f(2) = f(2-1) + f(2-2)         //f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的次数。

f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3)

...

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-(n-1)) + f(n-n)

说明：

1）这里的f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,...n阶的 跳法数。

2）n = 1时，只有1种跳法，f(1) = 1

3) n = 2时，会有两个跳得方式，一次1阶或者2阶，这回归到了问题（1） ，f(2) = f(2-1) + f(2-2)

4) n = 3时，会有三种跳得方式，1阶、2阶、3阶，

那么就是第一次跳出1阶后面剩下：f(3-1);第一次跳出2阶，剩下f(3-2)；第一次3阶，那么剩下f(3-3)

因此结论是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)

5) n = n时，会有n中跳的方式，1阶、2阶...n阶，得出结论：

f(n) = f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-1)

6) 由以上已经是一种结论，但是为了简单，我们可以继续简化：

f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + ... + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2)

f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)

可以得出： f(n) = 2\*f(n-1)

7) 得出最终结论,在n阶台阶，一次有1、2、...n阶的跳的方式时，总得跳法为：

1       ,(n=0 )

f(n) =     1       ,(n=1 )

2\*f(n-1),(n>=2)

public class Solution {
        public int JumpFloorII(int target) {
            if (target <= 0) {
                return -1;
            } else if (target == 1) {
                return 1;
            } else {
                return 2 * JumpFloorII(target - 1);
            }
        }
    }