MIT_单变量微积分_02

旧城等待， 2022-04-23 01:18 129阅读 0赞

## 1. 极限与连续 ##

### 1.1 简单极限 ###

lim ⁡ x → 4 x + 3 x 2 + 1 = 7 17 \\lim\_\{x \\to 4\}\\frac\{x + 3\}\{x^2 + 1\} = \\frac\{7\}\{17\} x→4limx2\+1x\+3=177

### 1.2 导数情况 ###

lim ⁡ x → x 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x \\lim\_\{x \\to x\_0\}\{\\frac\{f(x\_0 + \\Delta x) - f(x\_0)\}\{\\Delta x\}\} x→x0limΔxf(x0\+Δx)−f(x0)

**注解:**  
 lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) = 右 极 限 ( x → x 0 , x > x 0 ) \\lim\_\{x \\to x\_0^+\}\{f(x)\} = 右极限(x \\to x\_0, x > x\_0) x→x0\+limf(x)=右极限(x→x0,x>x0)  
 lim ⁡ x → x 0 − f ( x ) = 左 极 限 ( x → x 0 , x < x 0 ) \\lim\_\{x \\to x\_0^-\}\{f(x)\} = 左极限(x \\to x\_0, x < x\_0) x→x0−limf(x)=左极限(x→x0,x<x0).  
x + 1 & \\ &-x + 2  
(1)  E x . f ( x ) = \{ x + 1 , x > 0 − x + 2 , x < 0 Ex. f(x) = \\left\\\{\\begin\{matrix\} x + 1 & , x > 0\\\\ -x + 2& , x < 0 \\end\{matrix\}\\right. Ex.f(x)=\{ x\+1−x\+2,x>0,x<0 如图所示:  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Mzg2MzE2_size_16_color_FFFFFF_t_70]

*   lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) = lim ⁡ x → 0 ( x + 1 ) = 1 \\lim\_\{x \\to x\_0^+\} \{f(x)\} = \\lim\_\{x \\to 0\}(x + 1) = 1 limx→x0\+f(x)=limx→0(x\+1)=1
 *   lim ⁡ x → x 0 − f ( x ) = lim ⁡ x → 0 ( − x + 2 ) = 2 \\lim\_\{x \\to x\_0^-\}\{f(x)\} = \\lim\_\{x \\to 0\}(-x + 2) = 2 limx→x0−f(x)=limx→0(−x\+2)=2
 *  可讨论一下在没有  0 0 0 ，和有  0 0 0的情况。  
    结论：  f f f 在 x 0 x\_0 x0点连续，等于 x → x 0 x \\to x\_0 x→x0时， f ( x ) f(x) f(x)的极限等于 f ( x 0 ) f(x\_0) f(x0),即：  
     lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) \{ ∙ 极 限 必 须 存 在 ， 而 且 左 右 极 限 相 等 ∙ f ( x 0 ) 必 须 有 定 义 ∙ 相 等 \\lim\_\{x \\to x\_0\}f(x) = f(x\_0) \\\\ \\left\\\{\\begin\{matrix\} \\bullet &极限必须存在，而且左右极限相等 \\\\ \\bullet &f(x\_0) 必须有定义 \\\\ \\bullet &相等 \\end\{matrix\} \\right. x→x0limf(x)=f(x0)⎩⎨⎧∙∙∙极限必须存在，而且左右极限相等f(x0)必须有定义相等

## 2. 不连续函数 ##

### 2.1 跳跃间断 ###

左右极限都存在，但不相等。

### 2.2 可去间断 ###

左右极限都存在，但相等。（ 左 右 极 限 ! = f ( x 0 ) ， 或 者 f ( x 0 ) 不 存 在 左右极限 != f(x\_0)，或者f(x\_0)不存在 左右极限!=f(x0)，或者f(x0)不存在）

Ex.  
 g ( x ) = s i n ( x ) x , g ( 0 ) 不 存 在 ， lim ⁡ s i n x x = 1 g(x) = \\frac\{sin(x)\}\{x\},g(0) 不存在， \\lim\{\\frac\{sin x\}\{x\}\} = 1 g(x)=xsin(x),g(0)不存在，limxsinx=1  
 h ( x ) = 1 − c o s ( x ) x , h ( 0 ) 不 存 在 ， lim ⁡ 1 − c o s x x = 0 h(x) = \\frac\{1 - cos(x)\}\{x\},h(0) 不存在， \\lim\{\\frac\{1 - cos x\}\{x\}\} = 0 h(x)=x1−cos(x),h(0)不存在，limx1−cosx=0

### 2.3 无穷间断 ###

(1)  y = 1 x y = \\frac\{1\}\{x\} y=x1，如图所示;  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Mzg2MzE2_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

*   l i m x → 0 + 1 x = + ∞ , lim ⁡ x → 0 − 1 x = − ∞ lim\_\{x \\to 0^+\} \{\\frac\{1\}\{x\}\} = +\\infty, \\lim\_\{x \\to 0^-\}\{1\}\{x\} = -\\infty limx→0\+x1=\+∞,limx→0−1x=−∞.

(2)  y ′ = 1 x 2 y&\#x27; = \\frac\{1\}\{x^2\} y′=x21,如图所示  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Mzg2MzE2_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

*   l i m x → 0 − 1 x 2 = − ∞ , ( x → 0 + , a n d , x → 0 − ) lim\_\{x \\to 0\}\{\\frac\{-1\}\{x^2\}\} = -\\infty,(x \\to 0^+ ,and , x \\to 0^-) limx→0x2−1=−∞,(x→0\+,and,x→0−)

### 2.4 另类间断 ###

（1） y = s i n 1 x ， x → 0 y = sin\\frac\{1\}\{x\}， x \\to 0 y=sinx1，x→0,无左右极限。

注解： **在 x 0 x\_0 x0处可导必连续**.

*   P r o o f : Proof: Proof: 由连续倒推，可知： lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) = 0 l i m x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 ( x − x 0 ) = f ( x 0 ) ′ ⋅ 0 = 0 \\lim\_\{x \\to x\_0\}\{f(x) - f(x\_0)\} = 0 \\\\ lim\_\{x \\to x\_0\}\{\\frac\{f(x) - f(x\_0)\}\{x - x\_0\}(x - x\_0)\}= f(x\_0)&\#x27; \\cdot 0 = 0 x→x0limf(x)−f(x0)=0limx→x0x−x0f(x)−f(x0)(x−x0)=f(x0)′⋅0=0

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Mzg2MzE2_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20220323/67482f4157b640d49ea8bf5c72c0a603.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Mzg2MzE2_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20220323/45720e9cb2a04575bb812e7fc45b423c.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Mzg2MzE2_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: /images/20220323/a46ac4cd193b456cbfd39f2d7322630b.png