隐马尔可夫模型（HMM）及Viterbi算法

旧城等待， 2022-04-17 05:56 208阅读 0赞

### HMM简介 ###

对于算法爱好者来说，隐马尔可夫模型的大名那是如雷贯耳。那么，这个模型到底长什么样？具体的原理又是什么呢？有什么具体的应用场景呢？本文将会解答这些疑惑。  
  本文将通过具体形象的例子来引入该模型，并深入探究隐马尔可夫模型及Viterbi算法，希望能对大家有所启发。  
  隐马尔可夫模型（HMM，hidden Markov model）是可用于标注问题的统计学模型，描述由隐藏的马尔可夫链随机生成观测序列的过程，属于生成模型。HMM模型在实际的生活和生产中有着广泛的应用，包括语音识别，自然语言处理，生物信息，模式识别等领域。

### 引入 ###

某天，你的女神告诉你说，她放假三天，将要去上海游玩，准备去欢乐谷、迪士尼和外滩（不一定三个都会去）。  
  她呢，会选择在这三个地方中的某几个逗留并决定是否购物，而且每天只待在一个地方。根据你对她的了解，知道她去哪个地方，仅取决于她去的上一个地方，且是否购物的概率仅取决于她去的地方。已知她去的三个地方的转移概率表如下：

稍微对这个表格做些说明，比如第一行，前一天去了欢乐谷后，第二天还待在欢乐谷的概率为0.8，去迪士尼的概率为0.05，去外滩的概率为0.15。  
  她在每个地方的购物概率为：

在出发的时候，她跟你说去每个地方的可能性相同。后来，放假回来后，你看了她的朋友圈，发现她的购物情况如下：第一天不购物，第二三天都购物了。于是，你很好奇，她这三天都去了哪些地方。  
  怎么样，聪明的你能求解出来吗？

### HMM的模型参数 ###

接下来，我们将会介绍隐马尔可夫模型（HMM）。  
  隐马尔可夫模型是关于时序的概率模型，描述由一个隐藏的马尔可夫链随机生成不可观测的状态随机序列，再由各个状态生成一个观测而产生观测随机序列的过程。隐藏的马尔可夫链随机生成的状态的序列，称为状态序列；每个状态生成一个观测，而由此产生的观测的随机序列，称为观测序列。序列的每一个位置又可以看作是一个时刻。  
  隐马尔可夫模型由初始概率分布、状态转移概率分布以及观测概率分布确定。隐马尔可夫模型的形式定义如下：  
  设Q是所有可能的状态的集合，V是所有可能的观测的集合，也就是说，Q是不可见的，而V是可见的，是我们观测到的可能结果。

q = \{ q 1 , q 2 , . . . , q N \} , V = \{ v 1 , v 2 , . . . , v M \} q=\\\{q\_1,q\_2,...,q\_N\\\}, V=\\\{v\_1,v\_2,...,v\_M\\\} q=\{ q1,q2,...,qN\},V=\{ v1,v2,...,vM\}

其中，N是可能的状态数，M是可能的观测数。  
  在刚才的例子中， Q Q Q是不可见的状态集合，应为 Q = \{ 欢 乐 谷 ， 迪 士 尼 ， 外 滩 \} Q=\\\{欢乐谷，迪士尼，外滩\\\} Q=\{ 欢乐谷，迪士尼，外滩\}，而 V V V是可以观测的集合，应为 V = \{ 购 物 ， 不 购 物 \} V=\\\{购物，不购物\\\} V=\{ 购物，不购物\}。  
  I是长度为T的状态序列，O是对应的观测序列。

I = ( i 1 , i 2 , . . . , i T ) , O = ( o 1 , o 2 , . . . , o T ) I=(i\_1,i\_2,...,i\_T), O=(o\_1,o\_2,...,o\_T) I=(i1,i2,...,iT),O=(o1,o2,...,oT)

在刚才的例子中， I I I这个序列是我们需要求解的，即女生去了哪些地方，而 O O O是你知道的序列， O = \{ 不 购 物 ， 购 物 ， 购 物 \} O=\\\{不购物，购物，购物\\\} O=\{ 不购物，购物，购物\}。  
  A是状态转移概率矩阵：

A = \[ a i j \] N × N A=\[a\_\{ij\}\]\_\{N\\times N\} A=\[aij\]N×N  
其中， a i j = P ( i t + 1 = q j ∣ i t = q i ) , i = 1 , 2 , . . . , N ; j = 1 , 2 , . . , N a\_\{ij\}=P(i\_\{t+1\}=q\_j|i\_\{t\}=q\_\{i\}), i=1,2,...,N; j=1,2,..,N aij=P(it\+1=qj∣it=qi),i=1,2,...,N;j=1,2,..,N是在时刻t处于状态 q i q\_i qi的条件下在时刻t+1转移到状态 q j q\_j qj的概率。在刚才的例子中，转移概率矩阵为：

A = \[ 0.8 0.05 0.15 0.6 0.6 0.2 0.2 0.3 0.5 \] A= \\begin\{bmatrix\} \{0.8\}&\{0.05\}&\{0.15\}\\\\ \{0.6\}&\{0.6\}&\{0.2\}\\\\ \{0.2\}&\{0.3\}&\{0.5\}\\\\ \\end\{bmatrix\} A=⎣⎡0.80.60.20.050.60.30.150.20.5⎦⎤

B是观测概率矩阵：

B = \[ b j ( k ) \] N × M B=\[b\_\{j\}(k)\]\_\{N\\times M\} B=\[bj(k)\]N×M

其中， b j ( k ) = P ( o t = v k ∣ i t = q j ) , k = 1 , 2 , . . . , M ; j = 1 , 2 , . . . , N b\_\{j\}(k)=P(o\_t = v\_\{k\}|i\_\{t\}=q\_\{j\}), k=1,2,...,M; j=1,2,...,N bj(k)=P(ot=vk∣it=qj),k=1,2,...,M;j=1,2,...,N是在时刻t处于状态 q j q\_\{j\} qj的条件下生成观测 v k v\_\{k\} vk的概率。在刚才的例子中：

B = \[ 0.1 0.9 0.8 0.2 0.3 0.7 \] B= \\begin\{bmatrix\} \{0.1\}&\{0.9\}\\\\ \{0.8\}&\{0.2\}\\\\ \{0.3\}&\{0.7\}\\\\ \\end\{bmatrix\} B=⎣⎡0.10.80.30.90.20.7⎦⎤

π \\pi π是初始状态概率向量 π = ( π i ) \\pi=(\\pi\_i) π=(πi),其中 π i = P ( i 1 = q i ) , i = 1 , 2 , . . . , N \\pi\_i = P(i\_1 = q\_i), i=1,2,...,N πi=P(i1=qi),i=1,2,...,N是时刻t=1处于状态 q j q\_\{j\} qj的概率。在刚才的例子中，  π = ( 1 3 , 1 3 , 1 3 ) . \\pi = (\\frac\{1\}\{3\}, \\frac\{1\}\{3\}, \\frac\{1\}\{3\}). π=(31,31,31).  
  综上，我们已经讲完HMM中的基本概念。同时，我们可以知道，隐马尔可夫模型由初始状态概率向量 π \\pi π，状态转移概率矩阵 A A A和观测概率矩阵 B B B决定。 π \\pi π和 A A A决定状态序列， B B B决定观测序列。因此，隐马尔可夫模型 λ \\lambda λ可用三元符号表示，即

λ = ( A , B , π ) \\lambda = (A, B, \\pi) λ=(A,B,π)

A , B , π A,B,\\pi A,B,π称为HMM的三要素。  
  当然，隐马尔可夫模型之所以被称为马尔可夫模型，是因为它使用了两个基本的假设，其中之一为马尔可夫假设。它们分别是：

1.  齐次马尔科夫假设，即假设隐藏的马尔可夫链在任意时刻t的状态只依赖于其前一时刻的状态，与其他时刻的状态及观测无关，也与时刻t无关。

P ( i i ∣ i t − 1 , o t − 1 , . . . , i 1 , o 1 ) = P ( i t ∣ i t − 1 ) , t = 1 , 2 , . . . , T P(i\_\{i\}|i\_\{t-1\},o\_\{t-1\},...,i\_1,o\_1)=P(i\_\{t\}|i\_\{t-1\}), t=1,2,...,T P(ii∣it−1,ot−1,...,i1,o1)=P(it∣it−1),t=1,2,...,T

1.  观测独立性假设，即假设任意时刻的观测只依赖于该时刻的马尔可夫链的状态，与其他观测及状态无关。

P ( o i ∣ i T , o T , . . . , i t + 1 , o t + 1 , i t , t t − 1 , o t − 1 , . . . , i 1 , o 1 ) = P ( o t ∣ i t ) , t = 1 , 2 , . . . , T P(o\_\{i\}|i\_\{T\},o\_\{T\},...,i\_\{t+1\},o\_\{t+1\},i\_\{t\}, t\_\{t-1\},o\_\{t-1\},...,i\_\{1\},o\_\{1\})=P(o\_\{t\}|i\_\{t\}), t=1,2,...,T P(oi∣iT,oT,...,it\+1,ot\+1,it,tt−1,ot−1,...,i1,o1)=P(ot∣it),t=1,2,...,T

在刚才的假设中，我们对应的两个假设分别为：她去哪个地方，仅取决于她去的上一个地方；是否购物的概率仅取决于她去的地方。前一个条件为齐次马尔科夫假设，后一个条件为观测独立性假设。  
  以上，我们就介绍了HMM的基本概念及假设。而HMM的三个基本问题如下：

1.  概率计算问题。给定模型 λ = ( A , B , π ) \\lambda=(A,B,\\pi) λ=(A,B,π)和观测序列 O = ( o 1 , o 2 , . . . , o T ) O=(o\_1,o\_2,...,o\_T) O=(o1,o2,...,oT),计算在模型 λ \\lambda λ下观测序列 O O O出现的概率 P ( O ∣ λ ) . P(O|\\lambda). P(O∣λ).
2.  学习问题。已知观测序列 O = ( o 1 , o 2 , . . . , o T ) O=(o\_1,o\_2,...,o\_T) O=(o1,o2,...,oT)，估计模型 λ = ( A , B , π ) \\lambda=(A,B,\\pi) λ=(A,B,π)参数，使得在该模型下观测序列概率 P ( O ∣ λ ) P(O|\\lambda) P(O∣λ)最大。
3.  预测问题。已知模型 λ = ( A , B , π ) \\lambda=(A,B,\\pi) λ=(A,B,π)和观测序列 O = ( o 1 , o 2 , . . . , o T ) O=(o\_1,o\_2,...,o\_T) O=(o1,o2,...,oT)，求对给定观测序列条件概率 P ( I ∣ O ) P(I|O) P(I∣O)最大的状态序列 I = ( i 1 , i 2 , . . . , i T ) . I=(i\_1,i\_2,...,i\_T). I=(i1,i2,...,iT).即给定观测序列，求最有可能的对应的状态序列。

上面的例子即为HMM的第三个基本问题，也就是，给定观测序列\{不购物，购物，购物\}，结果最有可能的状态序列，即游玩的地方。

### Viterbi算法 ###

求解HMM的第三个基本问题，会用到大名鼎鼎的维特比算法（Viterbi Algorithm）。  
  维特比算法以安德鲁·维特比（Andrew Viterbi）命名，是现代数字通信中最常用的算法，同时也是很多自然语言处理采用的解码算法。可以毫不夸张地讲，维特比是对我们的生活影音力最大的科学家之一，因为基于CDMA的3G移动通信标准主要就是他和厄文·雅各布（Irwin Mark Jacobs）创办的高通公司（Qualcomm）指定的。  
  维特比算法是一个特殊但应用最广的动态规划（dynamic programming）算法，利用动态规划，可以解决任何一个图中的最短路径问题，同时，它也是求解HMM描述的第三个基本问题的算法。  
  在维特比算法中，需要引入两个变量 δ \\delta δ和 ψ . \\psi. ψ.定义在时刻t状态i的所有单个路径 ( i 1 , i 2 , . . . , i t ) (i\_1,i\_2,...,i\_t) (i1,i2,...,it)中概率最大值为

δ t + 1 ( i ) = max ⁡ 1 ≤ j ≤ N \[ δ t ( j ) a j i \] b i ( o t + 1 ) , i = 1 , 2 , . . . , N ; t = 1 , 2 , . . . , T . \\delta\_\{t+1\}(i) = \\max\_\{1\\leq j \\leq N\}\[\\delta\_\{t\}(j)a\_\{ji\}\]b\_\{i\}(o\_\{t+1\}), i=1,2,...,N; t=1,2,...,T. δt\+1(i)=1≤j≤Nmax\[δt(j)aji\]bi(ot\+1),i=1,2,...,N;t=1,2,...,T.

定义在时刻t状态为i的所有单个路径 ( i 1 , i 2 , . . . , i t − 1 , i ) (i\_1,i\_2,...,i\_\{t-1\},i) (i1,i2,...,it−1,i)中概率最大的路径的第i-1个节点为

ψ t ( i ) = a r g max ⁡ 1 ≤ j ≤ N \[ δ t − 1 ( j ) a j i \] , i = 1 , 2 , . . . , N ; t = 1 , 2 , . . . , T . \\psi\_\{t\}(i) = arg \\max\_\{1\\leq j \\leq N\}\[\\delta\_\{t-1\}(j)a\_\{ji\}\], i=1,2,...,N; t=1,2,...,T. ψt(i)=arg1≤j≤Nmax\[δt−1(j)aji\],i=1,2,...,N;t=1,2,...,T.

下面是维特比算法在HMM的第三个基本问题的算法：

![1240][]![1240 1][]

### Python代码实现 ###

下面，对于刚才给出的例子，我们将使用Python，来写代码实现Viterbi算法，同时求解刚才的问题。

# -*- coding: utf-8 -*-
    # HMM.py
    # Using Vertibi algorithm
    
    import numpy as np
    
    def Viterbi(A, B, PI, V, Q, obs):
    
        N = len(Q)
        T = len(obs)
        delta = np.array([[0] * N] * T, dtype=np.float64)
        phi = np.array([[0] * N] * T, dtype=np.int64)
        # 初始化
        for i in range(N):
            delta[0, i] = PI[i]*B[i][V.index(obs[0])]
            phi[0, i] = 0
    
        # 递归计算
        for i in range(1, T):
            for j in range(N):
                tmp = [delta[i-1, k]*A[k][j] for k in range(N)]
                delta[i,j] = max(tmp) * B[j][V.index(obs[i])]
                phi[i,j] = tmp.index(max(tmp))
    
        # 最终的概率及节点
        P = max(delta[T-1, :])
        I = int(np.argmax(delta[T-1, :]))
    
        # 最优路径path
        path = [I]
        for i in reversed(range(1, T)):
            end = path[-1]
            path.append(phi[i, end])
    
        hidden_states = [Q[i] for i in reversed(path)]
    
        return P, hidden_states
    
    
    def main():
    
        # 状态集合
        Q = ('欢乐谷', '迪士尼', '外滩')
        # 观测集合
        V = ['购物', '不购物']
        # 转移概率: Q -> Q
        A = [[0.8, 0.05, 0.15],
             [0.2, 0.6, 0.2],
             [0.2, 0.3, 0.5]
            ]
    
        # 发射概率, Q -> V
        B = [[0.1, 0.9],
             [0.8, 0.2],
             [0.3, 0.7]
             ]
    
        # 初始概率
        PI = [1/3, 1/3, 1/3]
    
        # 观测序列
        obs = ['不购物', '购物', '购物']
    
        P, hidden_states = Viterbi(A,B,PI,V,Q,obs)
        print('最大的概率为: %.5f.'%P)
        print('隐藏序列为：%s.'%hidden_states)
    
    main()

输出结果如下：

最大的概率为: 0.02688.
    隐藏序列为：['外滩', '迪士尼', '迪士尼'].

现在，你有很大的把握可以确定，你的女神去了外滩和迪士尼。

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### 参考文献 ###

1.  一文搞懂HMM（隐马尔可夫模型）：[https://www.cnblogs.com/skyme/p/4651331.html][https_www.cnblogs.com_skyme_p_4651331.html]
2.  李航《统计学习方法》 清华大学出版社
3.  HMM与分词、词性标注、命名实体识别：[http://www.hankcs.com/nlp/hmm-and-segmentation-tagging-named-entity-recognition.html][http_www.hankcs.com_nlp_hmm-and-segmentation-tagging-named-entity-recognition.html]
4.  Hidden Markov Models 1: [http://docplayer.net/21306742-Hidden-markov-models-1.html][http_docplayer.net_21306742-Hidden-markov-models-1.html]
5.  吴军 《数学之美》 人民邮电出版社

[1240]: https://upload-images.jianshu.io/upload_images/9419034-586d38bc8285e971.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/1240
[1240 1]: /images/20220417/e92a74cc958d4e86bf146403fe65dd04.png
[https_www.cnblogs.com_skyme_p_4651331.html]: https://www.cnblogs.com/skyme/p/4651331.html
[http_www.hankcs.com_nlp_hmm-and-segmentation-tagging-named-entity-recognition.html]: http://www.hankcs.com/nlp/hmm-and-segmentation-tagging-named-entity-recognition.html
[http_docplayer.net_21306742-Hidden-markov-models-1.html]: http://docplayer.net/21306742-Hidden-markov-models-1.html