皇后问题

绝地灬酷狼 2022-04-13 12:28 209阅读 0赞

八皇后问题是一个以国际象棋为背景的问题：如何能够在 8×8 的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后？为了达到此目的，任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。八皇后问题可以推广为更一般的n皇后摆放问题：这时棋盘的大小变为n1×n1，而皇后个数也变成n2。而且仅当 n2 ≥ 1 或 n1 ≥ 4 时问题有解。

皇后问题是非常著名的问题，作为一个棋盘类问题，毫无疑问，用暴力搜索的方法来做是一定可以得到正确答案的，但在有限的运行时间内，我们很难写出速度可以忍受的搜索，部分棋盘问题的最优解不是搜索，而是动态规划，某些棋盘问题也很适合作为状态压缩思想的解释例题。

进一步说，皇后问题可以用人工智能相关算法和遗传算法求解，可以用多线程技术缩短运行时间。本文不做讨论。

（本文不展开讲状态压缩，以后再说）

# 一般思路： #

N\*N的二维数组，在每一个位置进行尝试，在当前位置上判断是否满足放置皇后的条件（这一点的行、列、对角线上，没有皇后）。

# 优化1： #

既然知道多个皇后不能在同一行，我们何必要在同一行的不同位置放多个来尝试呢？

我们生成一维数组record，record\[i\]表示第i行的皇后放在了第几列。对于每一行，确定当前record值即可，因为每行只能且必须放一个皇后，放了一个就无需继续尝试。那么对于当前的record\[i\]，查看record\[0...i-1\]的值，是否有j = record\[k\]（同列）、|record\[k\] - j| = | k-i |（同一斜线）的情况。由于我们的策略，无需检查行（每行只放一个）。

# 优化2： #

**分析：棋子对后续过程的影响范围：本行、本列、左右斜线。**

![20181129150412832.png][]

**黑色棋子影响区域为红色**

**本行影响不提，根据优化一已经避免**

**本列影响，一直影响D列，直到第一行在D放棋子的所有情况结束。**

**左斜线：每向下一行，实际上对当前行的影响区域就向左移动**

**比如：**

**尝试第二行时，黑色棋子影响的是我们的第三列；**

**尝试第三行时，黑色棋子影响的是我们的第二列；**

**尝试第四行时，黑色棋子影响的是我们的第一列；**

**尝试第五行及以后几行，黑色棋子对我们并无影响。**

**右斜线则相反：**

**随着行序号增加，影响的列序号也增加，直到影响的列序号大于8就不再影响。**

**我们对于之前棋子影响的区域，可以用二进制数字来表示，比如:**

**每一位，用01代表是否影响。**

**比如上图，对于第一行，就是00010000**

**尝试第二行时，数字变为00100000**

**第三行：01000000**

**第四行：10000000**

**对于右斜线的数字，同理：**

**第一行00010000，之后向右移：00001000，00000100，00000010，00000001，直到全0不影响。**

**同理，我们对于多行数据，也同样可以记录了**

**比如在第一行我们放在了第四列：**

![20181129151741248.png][]

**第二行放在了G列，这时左斜线记录为00100000（第一个棋子的影响）+00000010（当前棋子的影响）=00100010。**

**到第三行数字继续左移：01000100，然后继续加上我们的选择，如此反复。**

**这样，我们对于当前位置的判断，其实可以通过左斜线变量、右斜线变量、列变量，按位或运算求出（每一位中，三个数有一个是1就不能再放）。**

具体看代码：

注：怎么排版就炸了呢。。。贴一张图吧

![20181129154913198.png][]

public class NQueens {
    	public static int num2(int n) {
    		// 因为本方法中位运算的载体是int型变量，所以该方法只能算1~32皇后问题
    		// 如果想计算更多的皇后问题，需使用包含更多位的变量
    		if (n < 1 || n > 32) {
    			return 0;
    		}
    		int upperLim = n == 32 ? -1 : (1 << n) - 1;
            //upperLim的作用为棋盘大小，比如8皇后为00000000 00000000 00000000 11111111
            //32皇后为11111111 11111111 11111111 11111111
    		return process2(upperLim, 0, 0, 0);
    	}
    
    	public static int process2(int upperLim, int colLim, int leftDiaLim,
    			int rightDiaLim) {
    		if (colLim == upperLim) {
    			return 1;
    		}
    		int pos = 0;            //pos：所有的合法位置
    		int mostRightOne = 0;   //所有合法位置的最右位置
    
            //所有记录按位或之后取反，并与全1按位与，得出所有合法位置
    		pos = upperLim & (~(colLim | leftDiaLim | rightDiaLim));
    		int res = 0;//计数
    		while (pos != 0) {
    			mostRightOne = pos & (~pos + 1);//取最右的合法位置
    			pos = pos - mostRightOne;       //去掉本位置并尝试
    			res += process2(
                         upperLim,                             //全局
                         colLim | mostRightOne,                //列记录
                         //之前列+本位置
    					(leftDiaLim | mostRightOne) << 1,      //左斜线记录
                         //（左斜线变量+本位置）左移             
    					(rightDiaLim | mostRightOne) >>> 1);   //右斜线记录
                         //（右斜线变量+本位置）右移（高位补零）
    		}
    		return res;
    	}
    
    	public static void main(String[] args) {
    		int n = 8;
    		System.out.println(num2(n));
    	}
    }

完整测试代码：

32皇后：结果/时间

暴力搜：时间就太长了，懒得测。。。

![20181129154155159.png][]

public class NQueens {
    
    	public static int num1(int n) {
    		if (n < 1) {
    			return 0;
    		}
    		int[] record = new int[n];
    		return process1(0, record, n);
    	}
    
    	public static int process1(int i, int[] record, int n) {
    		if (i == n) {
    			return 1;
    		}
    		int res = 0;
    		for (int j = 0; j < n; j++) {
    			if (isValid(record, i, j)) {
    				record[i] = j;
    				res += process1(i + 1, record, n);
    			}
    		}
    		return res;
    	}
    
    	public static boolean isValid(int[] record, int i, int j) {
    		for (int k = 0; k < i; k++) {
    			if (j == record[k] || Math.abs(record[k] - j) == Math.abs(i - k)) {
    				return false;
    			}
    		}
    		return true;
    	}
    
    	public static int num2(int n) {
    		if (n < 1 || n > 32) {
    			return 0;
    		}
    		int upperLim = n == 32 ? -1 : (1 << n) - 1;
    		return process2(upperLim, 0, 0, 0);
    	}
    
    	public static int process2(int upperLim, int colLim, int leftDiaLim,
    			int rightDiaLim) {
    		if (colLim == upperLim) {
    			return 1;
    		}
    		int pos = 0;
    		int mostRightOne = 0;
    		pos = upperLim & (~(colLim | leftDiaLim | rightDiaLim));
    		int res = 0;
    		while (pos != 0) {
    			mostRightOne = pos & (~pos + 1);
    			pos = pos - mostRightOne;
    			res += process2(upperLim, colLim | mostRightOne,
    					(leftDiaLim | mostRightOne) << 1,
    					(rightDiaLim | mostRightOne) >>> 1);
    		}
    		return res;
    	}
    
    	public static void main(String[] args) {
    		int n = 32;
    
    		long start = System.currentTimeMillis();
    		System.out.println(num2(n));
    		long end = System.currentTimeMillis();
    		System.out.println("cost time: " + (end - start) + "ms");
    
    		start = System.currentTimeMillis();
    		System.out.println(num1(n));
    		end = System.currentTimeMillis();
    		System.out.println("cost time: " + (end - start) + "ms");
    	}
    }

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[20181129151741248.png]: /images/20220413/92c2b45d6f054251949d45fe8537f832.png
[20181129154913198.png]: /images/20220413/9afccc4b409c42948cebe6d0fd7a9467.png
[20181129154155159.png]: /images/20220413/9d15b000a58b4041b0074c29c182f481.png