凸包问题的五种解法

朱雀 2022-04-11 02:18 271阅读 0赞

## **前言：** ##

首先，什么是凸包？  
假设平面上有p0~p12共13个点，过某些点作一个多边形，使这个多边形能把所有点都“包”起来。当这个多边形是凸多边形的时候，我们就叫它“凸包”。如下图：  
![这里写图片描述][20150529181415457]

然后，什么是凸包问题？  
我们把这些点放在二维坐标系里面，那么每个点都能用 (x,y) 来表示。  
现给出点的数目13，和各个点的坐标。求构成凸包的点？

## **解一：穷举法（蛮力法）** ##

时间复杂度：O(n³）。  
思路：两点确定一条直线，如果剩余的其它点都在这条直线的同一侧，则这两个点是凸包上的点，否则就不是。  
步骤：

1.  将点集里面的所有点两两配对，组成 n(n-1)/2 条直线。
2.  对于每条直线，再检查剩余的 (n-2) 个点是否在直线的同一侧。

如何判断一个点 p3 是在直线 p1p2 的左边还是右边呢？（坐标：p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，p3(x3,y3)）

![这里写图片描述][20150529192037246]  
当上式结果为正时，p3在直线 p1p2 的左侧；当结果为负时，p3在直线 p1p2 的右边。

## **解二：分治法** ##

时间复杂度：O(n㏒n)。  
思路：应用分治法思想，把一个大问题分成几个结构相同的子问题，把子问题再分成几个更小的子问题……。然后我们就能用递归的方法，分别求这些子问题的解。最后把每个子问题的解“组装”成原来大问题的解。  
步骤：

1.  把所有的点都放在二维坐标系里面。那么横坐标最小和最大的两个点 P1 和 Pn 一定是凸包上的点（为什么呢？用反证法很容易证明，这里不详讲）。直线 P1Pn 把点集分成了两部分，即 X 轴上面和下面两部分，分别叫做上包和下包。
2.  对上包：求距离直线 P1Pn 最远的点，即下图中的点 Pmax 。
3.  作直线 P1Pmax 、PnPmax，把直线 P1Pmax 左侧的点当成是上包，把直线 PnPmax 右侧的点也当成是上包。
4.  重复步骤 2、3。
5.  对下包也作类似操作。

![这里写图片描述][20150530094927274]

然而怎么求距离某直线最远的点呢？我们还是用到解一中的公式：  
![这里写图片描述][20150529192037246]  
设有一个点 P3 和直线 P1P2 。（坐标：p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，p3(x3,y3)）  
对上式的结果取绝对值，绝对值越大，则距离直线越远。

注意：在步骤一，如果横坐标最小的点不止一个，那么这几个点都是凸包上的点，此时上包和下包的划分就有点不同了，需要注意。

## **解三：Jarvis步进法** ##

时间复杂度：O(nH)。（其中 n 是点的总个数，H 是凸包上的点的个数）  
思路：

*  纵坐标最小的那个点一定是凸包上的点，例如图上的 P0。
 *  从 P0 开始，按逆时针的方向，逐个找凸包上的点，每前进一步找到一个点，所以叫作步进法。
 *  怎么找下一个点呢？利用夹角。假设现在已经找到 \{P0，P1，P2\} 了，要找下一个点：剩下的点分别和 P2 组成向量，设这个向量与向量P1P2的夹角为 β 。当 β 最小时就是所要求的下一个点了，此处为 P3 。

![这里写图片描述][20150530114410318]

注意：

1.  找第二个点 P1 时，因为已经找到的只有 P0 一个点，所以向量只能和水平线作夹角 α，当 α 最小时求得第二个点。
2.  共线情况：如果直线 P2P3 上还有一个点 P4，即三个点共线，此时由向量P2P3 和向量P2P4 产生的两个 β 是相同的。我们应该把 P3、P4 都当做凸包上的点，并且把距离 P2 最远的那个点（即图中的P4）作为最后搜索到的点，继续找它的下一个连接点。

## **解四：Graham扫描法** ##

时间复杂度：O(n㏒n)  
思路：Graham扫描的思想和Jarris步进法类似，也是先找到凸包上的一个点，然后从那个点开始按逆时针方向逐个找凸包上的点，但它不是利用夹角。  
![这里写图片描述][20150530151346608]  
步骤：

1.  把所有点放在二维坐标系中，则纵坐标最小的点一定是凸包上的点，如图中的P0。
2.  把所有点的坐标平移一下，使 P0 作为原点，如上图。
3.  计算各个点相对于 P0 的幅角 α ，按从小到大的顺序对各个点排序。当 α 相同时，距离 P0 比较近的排在前面。例如上图得到的结果为 P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，P8。我们由几何知识可以知道，结果中第一个点 P1 和最后一个点 P8 一定是凸包上的点。  
    **（以上是准备步骤，以下开始求凸包）**  
    以上，我们已经知道了凸包上的第一个点 P0 和第二个点 P1，我们把它们放在栈里面。现在从步骤3求得的那个结果里，把 P1 后面的那个点拿出来做**当前点**，即 P2 。接下来开始找第三个点：
4.  连接P0和栈顶的那个点，得到直线 L 。看**当前点**是在直线 L 的右边还是左边。如果在直线的右边就执行步骤5；如果在直线上，或者在直线的左边就执行步骤6。
5.  如果在右边，则栈顶的那个元素不是凸包上的点，把栈顶元素出栈。执行步骤4。
6.  当前点是凸包上的点，把它压入栈，执行步骤7。
7.  检查当前的点 P2 是不是步骤3那个结果的最后一个元素。是最后一个元素的话就结束。如果不是的话就把 P2 后面那个点做当前点，返回步骤4。

最后，栈中的元素就是凸包上的点了。  
以下为用Graham扫描法动态求解的过程：  
![这里写图片描述][20150530145453912]

## **解五：Melkman算法** ##

![这里写图片描述][20150530163818573]  
说真的，这个算法我也还没有看清。网上的资料也少的可怜，我暂且把网上的解释截个图在这里，往后搞懂以后再回来补上。  
或者有人看懂了的，希望不吝指教，不甚感激！

## 扩展： ##

以上讨论的只是二维的凸包，如果延生为三维、多维的凸包问题呢？如何求解？  
不过首先，二维凸包可以用来解决围栏问题、城市规划问题、聚类分析等等。但是三维、多维的凸包可能的使用范畴有哪些？

### 附：快包算法代码（C语言）： ###

#include<stdio.h>
    #include<stdlib.h>
    
    int g_result[240][2];
    
    /*getResult()实现功能：以坐标P0(x1,y1)和Pn(x2,y2)为直线，找出pack里面里这条直线最远的点Pmax
    *并找出直线P0Pmax和PmaxPn的上包，进行递归。
    *注：Pack[0][0]存放点的个数，pack[1]开始存放点的坐标。
    *全局变量g_result[][]用来存放凸包上的点，即最终所要的答案。同样g_result[0][0]存放的是已找到的点的个数。
    **/
    void getResult(int Pack[240][2], int x1, int y1, int x2, int y2)
    {
        int i,t,x3,y3,R,Rmax,tmax;
        int ResultPack[240][2];
        ResultPack[0][0] = 0;
        if(Pack[0][0] <= 1)
            return; 
        x3 = Pack[1][0];
        y3 = Pack[1][1];
        R = x1*y2 + x3*y1 + x2*y3 - x3*y2 - x2*y1 - x1*y3;
        Rmax = R;
        tmax = 1;
        for(i=2;i<=Pack[0][0];i++)
        {
            x3 = Pack[i][0];
            y3 = Pack[i][1];
            R = x1*y2 + x3*y1 + x2*y3 - x3*y2 - x2*y1 - x1*y3;
            if(R >= 0)
            {
                t = ++ResultPack[0][0];
                ResultPack[t][0] = x3;
                ResultPack[t][1] = y3;
            }
            if(R > Rmax)
            {
                Rmax = R;
                tmax = i;
            }
        }
        if(Rmax <= 0)
        {
            for(i=1;i<ResultPack[0][0];i++)
            {
                x3 = ResultPack[i][0];
                y3 = ResultPack[i][1];
                R = x1*y2 + x3*y1 + x2*y3 - x3*y2 - x2*y1 - x1*y3;
                if(R == 0 && !((x3==x2&&y3==y2)||(x3==x1&&y3==y1)))
                {
                    t = ++g_result[0][0];
                    g_result[t][0] = ResultPack[i][0];
                    g_result[t][1] = ResultPack[i][1];
                }
            }
            return;
        }
        else
        {
            t = ++g_result[0][0];
            g_result[t][0] = Pack[tmax][0];
            g_result[t][1] = Pack[tmax][1];
            if(ResultPack[0][0] == 0)
                return;
        }
        getResult(ResultPack,x1,y1,Pack[tmax][0],Pack[tmax][1]);
        getResult(ResultPack,Pack[tmax][0],Pack[tmax][1],x2,y2);
    }
    
    void main()
    {
        int Point[240][2];//Point存所有点。
        int i=1;
        int x1,y1,x2,y2,x3,y3;
        g_result[0][0]=0;Point[0][0]=0;//Point的第一行第一列元素存放包里面有几个点。初始化为0。
        printf("请输入所有点的坐标：\n");
        while(scanf("%d,%d",&Point[i][0],&Point[i][1]) != EOF)
            i++;
        Point[0][0] = i-1;
        x1 = Point[1][0];
        y1 = Point[1][1];
        x2 = x1;
        y2 = y1;
        for(i=2;i<=Point[0][0];i++)
        {
            x3 = Point[i][0];
            y3 = Point[i][1];
            if(x3 < x1)
            {
                x1 = x3;
                y1 = y3;
            }
            else if(x3 > x2)
            {
                x2 = x3;
                y2 = y3;
            }
        }
        g_result[1][0] = x1;
        g_result[1][1] = y1;
        g_result[2][0] = x2;
        g_result[2][1] = y2;
        g_result[0][0] += 2;
        getResult(Point, x1, y1, x2, y2);
        getResult(Point, x2, y2, x1, y1);
    
        printf("\n\n构成凸包的点有：\n");
        for(i=1;i<=g_result[0][0];i++)
            printf("(%d,%d)\n",g_result[i][0],g_result[i][1]);
        system("pause");
    }

转载请注明出处，谢谢！（原文链接：[http://blog.csdn.net/bone\_ace/article/details/46239187][http_blog.csdn.net_bone_ace_article_details_46239187]）

[20150529181415457]: /images/20220411/3af63bf533a8444e9a9d925602889a29.png
[20150529192037246]: /images/20220411/05bad72f21e747eb9543af635019ac5f.png
[20150530094927274]: /images/20220411/ed231ff14ad043f880017570b845442b.png
[20150530114410318]: /images/20220411/b7cbba8f1d6a4a8ab7369abae1f11e8d.png
[20150530151346608]: /images/20220411/ea4596db9fc54d5e98863875a88e9a76.png
[20150530145453912]: /images/20220411/7f591e8b67ee4e05b5404b1e81e82048.png
[20150530163818573]: /images/20220411/b5e4809904f74ad18f398c9c79206214.png
[http_blog.csdn.net_bone_ace_article_details_46239187]: http://blog.csdn.net/bone_ace/article/details/46239187