最小生成树——普里姆算法和克鲁斯卡尔算法

心已赠人 2022-04-03 04:56 227阅读 0赞

# **最小生成树** #

**用来解决工程中的代价问题。**

# **一：普里姆算法** #

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbmcxMzU2Mzc1ODEyOA_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

**具体代码用C语言实现如下：**

typedef int VRType;
     typedef char InfoType;
     #define MAX_NAME 3 /* 顶点字符串的最大长度+1 */
     #define MAX_INFO 20 /* 相关信息字符串的最大长度+1 */
     typedef char VertexType[MAX_NAME];
    #include<string.h>
     #include<ctype.h>
     #include<malloc.h> /* malloc()等 */
     #include<limits.h> /* INT_MAX等 */
     #include<stdio.h> /* EOF(=^Z或F6),NULL */
     #include<stdlib.h> /* atoi() */
     #include<io.h> /* eof() */
     #include<math.h> /* floor(),ceil(),abs() */
     #include<process.h> /* exit() */
     /* 函数结果状态代码 */
     #define TRUE 1
     #define FALSE 0
     #define OK 1
     #define ERROR 0
     #define INFEASIBLE -1
     typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
     typedef int Boolean; /* Boolean是布尔类型,其值是TRUE或FALSE */
     #define MAX_NAME 5 /* 顶点字符串的最大长度 */
     typedef int InfoType;
     typedef char VertexType[MAX_NAME]; /* 字符串类型 */
     /* 图的邻接表存储表示 */
     #define MAX_VERTEX_NUM 20
     typedef enum{DG,DN,AG,AN}GraphKind; /* {有向图,有向网,无向图,无向网} */
     typedef struct ArcNode
     {
       int adjvex; /* 该弧所指向的顶点的位置 */
       struct ArcNode *nextarc; /* 指向下一条弧的指针 */
       InfoType *info; /* 网的权值指针） */
     }ArcNode; /* 表结点 */
     typedef struct
     {
       VertexType data; /* 顶点信息 */
       ArcNode *firstarc; /* 第一个表结点的地址,指向第一条依附该顶点的弧的指针 */
     }VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM]; /* 头结点 */
     typedef struct
     {
       AdjList vertices;
       int vexnum,arcnum; /* 图的当前顶点数和弧数 */
       int kind; /* 图的种类标志 */
     }ALGraph;
    
     /* 图的邻接表存储的基本操作(15个) */
     int LocateVex(ALGraph G,VertexType u)
     { /* 初始条件: 图G存在,u和G中顶点有相同特征 */
       /* 操作结果: 若G中存在顶点u,则返回该顶点在图中位置;否则返回-1 */
       int i;
       for(i=0;i<G.vexnum;++i)
         if(strcmp(u,G.vertices[i].data)==0)    //比较顶点是否相等
           return i;
       return -1;
     }
    
     Status CreateGraph(ALGraph *G)
     { /* 采用邻接表存储结构,构造没有相关信息的图G(用一个函数构造4种图) */
       int i,j,k;
       int w; /* 权值 */
       VertexType va,vb;
       ArcNode *p;
       printf("请输入图的类型(有向图:0,有向网:1,无向图:2,无向网:3): ");
       scanf("%d",&(*G).kind);
       printf("请输入图的顶点数,边数: ");
       scanf("%d,%d",&(*G).vexnum,&(*G).arcnum);
       printf("请输入%d个顶点的值(<%d个字符):\n",(*G).vexnum,MAX_NAME);
       for(i=0;i<(*G).vexnum;++i) /* 构造顶点向量 */
       {
         scanf("%s",(*G).vertices[i].data);
         (*G).vertices[i].firstarc=NULL;
       }
       if((*G).kind==1||(*G).kind==3) /* 网 */
         printf("请顺序输入每条弧(边)的权值、弧尾和弧头(以空格作为间隔):\n");
       else /* 图 */
         printf("请顺序输入每条弧(边)的弧尾和弧头(以空格作为间隔):\n");
       for(k=0;k<(*G).arcnum;++k) /* 构造表结点链表 */
       {
         if((*G).kind==1||(*G).kind==3) /* 网 */
           scanf("%d%s%s",&w,va,vb);
         else /* 图 */
           scanf("%s%s",va,vb);
         i=LocateVex(*G,va); /* 弧尾 */
         j=LocateVex(*G,vb); /* 弧头 */
         p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));
         p->adjvex=j;
         if((*G).kind==1||(*G).kind==3) /* 网 */
         {
           p->info=(int *)malloc(sizeof(int));
           *(p->info)=w;                         //网的权值指针
         }
         else
           p->info=NULL; /* 图 */
         p->nextarc=(*G).vertices[i].firstarc; /* 插在表头 */
         (*G).vertices[i].firstarc=p;
         if((*G).kind>=2) /* 无向图或网,产生第二个表结点 */
         {
           p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));
           p->adjvex=i;
           if((*G).kind==3) /* 无向网 */
           {
             p->info=(int*)malloc(sizeof(int));
             *(p->info)=w;
           }
           else
             p->info=NULL; /* 无向图 */
           p->nextarc=(*G).vertices[j].firstarc; /* 插在表头 */
           (*G).vertices[j].firstarc=p;
         }
       }
       return OK;
     }
    
     void DestroyGraph(ALGraph *G)
     { /* 初始条件: 图G存在。操作结果: 销毁图G */
       int i;
       ArcNode *p,*q;
       (*G).vexnum=0;
       (*G).arcnum=0;
       for(i=0;i<(*G).vexnum;++i)
       {
         p=(*G).vertices[i].firstarc;                 //第一个表结点的地址，头结点
         while(p)
         {
           q=p->nextarc;
           if((*G).kind%2) /* 网 */
             free(p->info);
           free(p);
           p=q;
         }
       }
     }
    
     VertexType* GetVex(ALGraph G,int v)
     { /* 初始条件: 图G存在,v是G中某个顶点的序号。操作结果: 返回v的值 */
       if(v>=G.vexnum||v<0)
         exit(ERROR);
       return &G.vertices[v].data;
     }
    
     Status PutVex(ALGraph *G,VertexType v,VertexType value)
     { /* 初始条件: 图G存在,v是G中某个顶点 */
       /* 操作结果: 对v赋新值value */
       int i;
       i=LocateVex(*G,v);               //先找到该顶点
       if(i>-1) /* v是G的顶点 */
       {
         strcpy((*G).vertices[i].data,value);
         return OK;
       }
       return ERROR;
     }
    
     int FirstAdjVex(ALGraph G,VertexType v)
     { /* 初始条件: 图G存在,v是G中某个顶点 */
       /* 操作结果: 返回v的第一个邻接顶点的序号。若顶点在G中没有邻接顶点,则返回-1 */
       ArcNode *p;
       int v1;
       v1=LocateVex(G,v); /* v1为顶点v在图G中的序号 */
       p=G.vertices[v1].firstarc;
       if(p)
         return p->adjvex;
       else
         return -1;
     }
    
     int NextAdjVex(ALGraph G,VertexType v,VertexType w)
     { /* 初始条件: 图G存在,v是G中某个顶点,w是v的邻接顶点 */
       /* 操作结果: 返回v的(相对于w的)下一个邻接顶点的序号。 */
       /*           若w是v的最后一个邻接点,则返回-1 */
       ArcNode *p;
       int v1,w1;
       v1=LocateVex(G,v); /* v1为顶点v在图G中的序号 */
       w1=LocateVex(G,w); /* w1为顶点w在图G中的序号 */
       p=G.vertices[v1].firstarc;
       while(p&&p->adjvex!=w1) /* 指针p不空且所指表结点不是w */
         p=p->nextarc;
       if(!p||!p->nextarc) /* 没找到w或w是最后一个邻接点 */
         return -1;
       else /* p->adjvex==w */
         return p->nextarc->adjvex; /* 返回v的(相对于w的)下一个邻接顶点的序号 */
     }
    
     void InsertVex(ALGraph *G,VertexType v)
     { /* 初始条件: 图G存在,v和图中顶点有相同特征 */
       /* 操作结果: 在图G中增添新顶点v(不增添与顶点相关的弧,留待InsertArc()去做) */
       strcpy((*G).vertices[(*G).vexnum].data,v); /* 构造新顶点向量 */
       (*G).vertices[(*G).vexnum].firstarc=NULL;
       (*G).vexnum++; /* 图G的顶点数加1 */
     }
    
     Status DeleteVex(ALGraph *G,VertexType v)
     { /* 初始条件: 图G存在,v是G中某个顶点 */
       /* 操作结果: 删除G中顶点v及其相关的弧 */
       int i,j;
       ArcNode *p,*q;
       j=LocateVex(*G,v); /* j是顶点v的序号 */
       if(j<0) /* v不是图G的顶点 */
         return ERROR;
       p=(*G).vertices[j].firstarc; /* 删除以v为出度的弧或边 */
       while(p)
       {
         q=p;
         p=p->nextarc;
         if((*G).kind%2) /* 网 */
           free(q->info);
         free(q);
         (*G).arcnum--; /* 弧或边数减1 */
       }
       (*G).vexnum--; /* 顶点数减1 */
       for(i=j;i<(*G).vexnum;i++) /* 顶点v后面的顶点前移 */
         (*G).vertices[i]=(*G).vertices[i+1];
       for(i=0;i<(*G).vexnum;i++) /* 删除以v为入度的弧或边且必要时修改表结点的顶点位置值 */
       {
         p=(*G).vertices[i].firstarc; /* 指向第1条弧或边 */
         while(p) /* 有弧 */
         {
           if(p->adjvex==j)
           {
             if(p==(*G).vertices[i].firstarc) /* 待删结点是第1个结点 */
             {
               (*G).vertices[i].firstarc=p->nextarc;
               if((*G).kind%2) /* 网 */
                 free(p->info);
               free(p);
               p=(*G).vertices[i].firstarc;
               if((*G).kind<2) /* 有向 */
                 (*G).arcnum--; /* 弧或边数减1 */
             }
             else
             {
               q->nextarc=p->nextarc;
               if((*G).kind%2) /* 网 */
                 free(p->info);
               free(p);
               p=q->nextarc;
               if((*G).kind<2) /* 有向 */
                 (*G).arcnum--; /* 弧或边数减1 */
             }
           }
           else
           {
             if(p->adjvex>j)
               p->adjvex--; /* 修改表结点的顶点位置值(序号) */
             q=p;
             p=p->nextarc;
           }
         }
       }
       return OK;
     }
    
     Status InsertArc(ALGraph *G,VertexType v,VertexType w)
     { /* 初始条件: 图G存在,v和w是G中两个顶点 */
       /* 操作结果: 在G中增添弧<v,w>,若G是无向的,则还增添对称弧<w,v> */
       ArcNode *p;
       int w1,i,j;
       i=LocateVex(*G,v); /* 弧尾或边的序号 */
       j=LocateVex(*G,w); /* 弧头或边的序号 */
       if(i<0||j<0)
         return ERROR;
       (*G).arcnum++; /* 图G的弧或边的数目加1 */
       if((*G).kind%2) /* 网 */
       {
         printf("请输入弧(边)%s→%s的权值: ",v,w);
         scanf("%d",&w1);
       }
       p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));
       p->adjvex=j;
       if((*G).kind%2) /* 网 */
       {
         p->info=(int*)malloc(sizeof(int));
         *(p->info)=w1;
       }
       else
         p->info=NULL;
       p->nextarc=(*G).vertices[i].firstarc; /* 插在表头 */
       (*G).vertices[i].firstarc=p;
       if((*G).kind>=2) /* 无向,生成另一个表结点 */
       {
         p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));
         p->adjvex=i;
         if((*G).kind==3) /* 无向网 */
         {
           p->info=(int*)malloc(sizeof(int));
           *(p->info)=w1;
         }
         else
           p->info=NULL;
         p->nextarc=(*G).vertices[j].firstarc; /* 插在表头 */
         (*G).vertices[j].firstarc=p;
       }
       return OK;
     }
    
     Status DeleteArc(ALGraph *G,VertexType v,VertexType w)
     { /* 初始条件: 图G存在,v和w是G中两个顶点 */
       /* 操作结果: 在G中删除弧<v,w>,若G是无向的,则还删除对称弧<w,v> */
       ArcNode *p,*q;
       int i,j;
       i=LocateVex(*G,v); /* i是顶点v(弧尾)的序号 */
       j=LocateVex(*G,w); /* j是顶点w(弧头)的序号 */
       if(i<0||j<0||i==j)
         return ERROR;
       p=(*G).vertices[i].firstarc; /* p指向顶点v的第一条出弧 */
       while(p&&p->adjvex!=j) /* p不空且所指之弧不是待删除弧<v,w> */
       { /* p指向下一条弧 */
         q=p;
         p=p->nextarc;
       }
       if(p&&p->adjvex==j) /* 找到弧<v,w> */
       {
         if(p==(*G).vertices[i].firstarc) /* p所指是第1条弧 */
           (*G).vertices[i].firstarc=p->nextarc; /* 指向下一条弧 */
         else
           q->nextarc=p->nextarc; /* 指向下一条弧 */
         if((*G).kind%2) /* 网 */
           free(p->info);
         free(p); /* 释放此结点 */
         (*G).arcnum--; /* 弧或边数减1 */
       }
       if((*G).kind>=2) /* 无向,删除对称弧<w,v> */
       {
         p=(*G).vertices[j].firstarc; /* p指隙サ鉾的第一条出弧 */
         while(p&&p->adjvex!=i) /* p不空且所指之弧不是待删除弧<w,v> */
         { /* p指向下一条弧 */
           q=p;
           p=p->nextarc;
         }
         if(p&&p->adjvex==i) /* 找到弧<w,v> */
         {
           if(p==(*G).vertices[j].firstarc) /* p所指是第1条弧 */
             (*G).vertices[j].firstarc=p->nextarc; /* 指向下一条弧 */
           else
             q->nextarc=p->nextarc; /* 指向下一条弧 */
           if((*G).kind==3) /* 无向网 */
             free(p->info);
           free(p); /* 释放此结点 */
         }
       }
       return OK;
     }
    
     typedef struct
     { /* 记录从顶点集U到V-U的代价最小的边的辅助数组定义 */
       VertexType adjvex;
       VRType lowcost;
     }minside[MAX_VERTEX_NUM];
    
     int minimum(minside SZ,MGraph G)
     { /* 求closedge.lowcost的最小正值 */
       int i=0,j,k,min;
       while(!SZ[i].lowcost)
         i++;
       min=SZ[i].lowcost; /* 第一个不为0的值 */
       k=i;
       for(j=i+1;j<G.vexnum;j++)
         if(SZ[j].lowcost>0)
           if(min>SZ[j].lowcost)
           {
             min=SZ[j].lowcost;
             k=j;
           }
       return k;
     }
    
     void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G,VertexType u)
     { /* 用普里姆算法从第u个顶点出发构造网G的最小生成树T,输出T的各条边 算法7.9 */
       int i,j,k;
       minside closedge;
       k=LocateVex(G,u);
       for(j=0;j<G.vexnum;++j) /* 辅助数组初始化 */
       {
         if(j!=k)
         {
           strcpy(closedge[j].adjvex,u);
           closedge[j].lowcost=G.arcs[k][j].adj;
         }
       }
       closedge[k].lowcost=0; /* 初始,U={u} */
       printf("最小代价生成树的各条边为:\n");
       for(i=1;i<G.vexnum;++i)
       { /* 选择其余G.vexnum-1个顶点 */
         k=minimum(closedge,G); /* 求出T的下一个结点：第K顶点 */
         printf("(%s-%s)\n",closedge[k].adjvex,G.vexs[k]); /* 输出生成树的边 */
         closedge[k].lowcost=0; /* 第K顶点并入U集 */
         for(j=0;j<G.vexnum;++j)
           if(G.arcs[k][j].adj<closedge[j].lowcost)
           { /* 新顶点并入U集后重新选择最小边 */
             strcpy(closedge[j].adjvex,G.vexs[k]);
             closedge[j].lowcost=G.arcs[k][j].adj;
           }
       }
     }
    
     void main()
     {
       MGraph G;
       CreateAN(&G);
       MiniSpanTree_PRIM(G,G.vexs[0]);
     }

**注意：普里姆算法的时间复杂度为O(![n^\{2\}][n_2])，与网中的边数无关，因此适用于求边稠密的网的最小生成树。**

# **二：克鲁斯卡尔算法** #

**分析过程：在网中先选取最小边，继续找下一条次小边，如果和已选的边构成回路则舍弃，继续寻找直到所有顶点。**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lhbmcxMzU2Mzc1ODEyOA_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

**克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(e\*![\\log e][log e])。  
.**

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