算法：如何实现大整数相加？

客官°小女子只卖身不卖艺 2022-03-28 11:26 288阅读 0赞

算法题：给你两个很大很大的整数（如100位整数），如何求出它们的和？

思路：小学数学竖式拆分，各个击破。

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在程序中列出的 “竖式” 究竟是什么样子呢？我们以 426709752318 + 95481253129 为例，来看看大整数相加的详细步骤：

**第一步**，把整数倒序存储，整数的个位存于数组0下标位置，最高位存于数组长度-1下标位置。之所以倒序存储，更加符合我们从左到右访问数组的习惯。

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**第二步**，创建结果数组，结果数组的最大长度是较大整数的位数+1，原因很明显。

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**第三步**，遍历两个数组，从左到右按照对应下标把元素两两相加，就像小学生计算竖式一样。

例子中，最先相加的是数组A的第1个元素8和数组B的第1个元素9，结果是7，进位1。把7填充到Result数组的对应下标，进位的1填充到下一个位置：

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第二组相加的是数组A的第2个元素1和数组B的第2个元素2，结果是3，再加上刚才的进位1，把4填充到Result数组的对应下标：

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以此类推......一直把数组的所有元素都相加完毕：

**第四步**，把Result数组的全部元素再次逆序，去掉首位的，就是最终结果：

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PHP版本代码如下：

/**
    *大整数求和
    *@param$bigNumberA 大整数Astring
    *@param$bigNumberB 大整数Bstring
    */
    function bigNumberSum($bigNumberA,$bigNumberB){	 
    	//字符串逆转，拆分为数组
    	$arrA = $arrB = array();
    	$lenA = strlen($bigNumberA);
    	for($i=0;$i<$lenA;$i++){
    		$arrA[$i] = $bigNumberA[$lenA-$i-1];		
    	}
    	$lenB = strlen($bigNumberB);
    	for($i=0;$i<$lenB;$i++){
    		$arrB[$i] = $bigNumberB[$lenB-$i-1];
    	}	
    	//1.把两个大整数用数组逆序存储，数组长度等于较大整数位数+1
    	$maxLength = ($lenA >= $lenB) ? $lenA : $lenB;
    	$maxLength +=1;	
    	//2.构建result数组，数组长度等于较大整数位数+1，
    	$arrSum = array();
    	for($i=0;$i<$maxLength;$i++){
    		$arrSum[$i] = 0;
    	}
    	//3.遍历数组，按位相加
    	for($i=0;$i<$maxLength;$i++){
    		//$arrA,$arrB 数组个数不够补0；
    		if(!isset($arrA[$i])){
    			$arrA[$i] = 0;
    		}
    		if(!isset($arrB[$i])){
    			$arrB[$i] = 0;
    		}
    		$temp = $arrSum[$i];
    		$temp += $arrA[$i]+$arrB[$i];
    		//判断是否进位
    		if($temp >= 10){
    			$temp = $temp-10;
    			$arrSum[$i] = $temp;
    			$arrSum[$i+1] = 1;
    		}else{
    			$arrSum[$i] = $temp;
    		}
    	}
    	//var_dump($arrSum);
    	//4.把result数组再次逆序并转成String
    	$strSum = '';
    	for($i=0;$i<$maxLength;$i++){
    		$strSum .= $arrSum[$maxLength-$i-1];
    	}
    	return ltrim($strSum,'0');   //去前导0
    }
    
    echo bigNumberSum('426709752318','95481253129');

`时间复杂度：O(n)；`

如何优化呢？

我们之前是把大整数按照每一个十进制数位来拆分，比如较大整数的长度有50位，那么我们需要创建一个51位的数组，数组的每个元素存储其中一位。

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我们真的有必要把原整数拆分得那么细吗？显然不需要，只需要拆分到**可以被直接计算**的程度就够了。

int类型的取值范围是 -2147483648——2147483647，最多有10位整数。为了防止溢出，我们可以把大整数的每**9**位作为数组的一个元素，进行加法运算。（这里也可以使用long类型来拆分，按照int范围拆分仅仅是提供一个思路）

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如此一来，占用空间和运算次数，都被压缩了9倍

参考文章：[https://mp.weixin.qq.com/s/GXclPfm\_L2kIGAjgLSPX5g][https_mp.weixin.qq.com_s_GXclPfm_L2kIGAjgLSPX5g]

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[640_wx_fmt_png 7]: /images/20220328/dc4e4af2e0c448a3bde53f48d94a864e.png
[https_mp.weixin.qq.com_s_GXclPfm_L2kIGAjgLSPX5g]: https://mp.weixin.qq.com/s/GXclPfm_L2kIGAjgLSPX5g