Pytorch问题：autograd与backward()及相关参数的理解

冷不防 2022-03-28 02:28 186阅读 0赞

## 关于backward标量的问题 ##

**问题提出**

在pytorch的官方教程中，有这么一段（我稍微修改了一些）

import torch
    #x = torch.randn(3, requires_grad=True)
    x = torch.tensor([-1.0, -0.1, -0.05],requires_grad=True)
    print(x)
    y = x * 2
    index = 0
    while y.data.norm() < 1000:
        y = y * 2
        index = index + 1
    print(y)     #tensor([-1024.0000,  -102.4000,   -51.2000], grad_fn=<MulBackward0>)
    print(index) #9
     
    # Now in this case y is no longer a scalar. torch.autograd could not compute the full 
    # Jacobian directly, but if we just want the Jacobian-vector product, simply pass the
    # vector to backward as argument:
    v = torch.tensor([1, 1, 1], dtype=torch.float)
    v = torch.tensor([0.5,0.5,0.5], dtype=torch.float)
    #v = torch.tensor([0.1, 1.0, 0.0001], dtype=torch.float)
    y.backward(v)
    print(x.grad)
    
    #===>>>output
    #tensor([-1.0000, -0.1000, -0.0500], requires_grad=True)
    #tensor([-1024.0000,  -102.4000,   -51.2000], grad_fn=<MulBackward0>) 9
    #tensor([1024., 1024., 1024.])
    
    #===>>>output
    #tensor([-1.0000, -0.1000, -0.0500], requires_grad=True)
    #tensor([-1024.0000,  -102.4000,   -51.2000], grad_fn=<MulBackward0>) 9
    #tensor([512., 512., 512.])

其中大意是，如果不使用v这个向量，直接使用y.backward()就会报错，即：如果在这里运行y.backward()，会得到这样一个报错：RuntimeError: grad can be implicitly created only for scalar outputs。另外，我想说的是，这里y不是一个固定的运算，因为while y.data.norm() < 1000可能需要3次运算，也可能需要5次运算。  
这里v相当于各个标量（共有3个标量，构成一个向量）的系数，如果要直接对所有标量进行backward，全部改成1.0即可，用数学表达式就是

![v\[0\]\\times\\frac\{\\partial v\}\{\\partial x\_0\}|x\_0, \\quad v\[1\]\\times\\frac\{\\partial v\}\{\\partial x\_1\}|x\_1, \\quad v\[2\]\\times\\frac\{\\partial v\}\{\\partial x\_2\}|x\_2][v_0_times_frac_partial v_partial x_0_x_0_ _quad v_1_times_frac_partial v_partial x_1_x_1_ _quad v_2_times_frac_partial v_partial x_2_x_2]

**原因解释：** **Tensor 没法对 Tensor 求导**

如果我们把函数写成 ![y=f(\\textbf\{x\})][y_f_textbf_x]  这样的形式，就会发现，y只有是标量时，才能对![\\textbf\{x\}][textbf_x]求偏导；如果你有一个向量![\\textbf\{y\}][textbf_y]，我们努力点分解开来写成下面的形式，  
![y1=f(\\textbf\{x\}), \\quad y2=f(\\textbf\{x\}), \\quad \\textbf\{y\}=\[y1,y2\]][y1_f_textbf_x_ _quad y2_f_textbf_x_ _quad _textbf_y_y1_y2]  
这样两个函数，那么当你写成 ![\\textbf\{y\}.backward()][textbf_y_.backward]，那么对不起，autograd是不干活的。你只能一个一个来，分别用下面的形式才能各自独立地求导，  
![y1.backward(), \\quad y2.backward()][y1.backward_ _quad y2.backward]  
此时的y1, y2必须为标量。从图的解度来说，输入输出都必须是叶结点才能反向求导，也就是输入和输出都必须是向量，比如输出的y1, y2, 输入本质上则是指x1,x2等。

但是，如果你的意思是求向量在![\\textbf\{x\}=\[x\_0, \\dots, x\_n\]][textbf_x_x_0_ _dots_ x_n] 处的导数，导数再弄个系数，那是可以的，上面例子中的向量v就是一个活生生的系数的例子，但必须是以pytorch能读懂的形式，

v = torch.tensor([x1, x2, x3], dtype=torch.float)
    y.backward(v)

Tensor 不能 Tensor 求导最根本的原因，是因为这会导致程序异常复杂（我想pytorch的设计者们一定尝试过）。

**复习一下，加深理解**

再看一个标量的问题，当结果out是标量时，backward()是不报错的，

x = torch.randn(3, requires_grad=True)
    y = x * 2
    z = y * y * 3
    out = z.mean()
    print(z, out)
    out.backward()

否则，像如下代码，z不是标量，会报错，

x = torch.randn(3, requires_grad=True)
    y = x * 2
    z = y * y * 3
    z.backward() #RuntimeError: grad can be implicitly created only for scalar outputs

### 那个no\_grad() ###

有时你可能要手动计算某一步的梯度，那这一步可以通过no\_grad()来避免自动求导，测试如下，

>>> import torch as t                                                       
    
    >>> x = t.ones(2,2, requires_grad=True)                                     
    
    >>> with t.no_grad(): 
    ...:     y = x + 2 
    ...:                                                                         
    
    >>> y.grad_fn
    >>> （这里啥都没有，因为此时y没有自动求导函数）                                             
    
    >>> z = x + 2
    >>> z.grad_fn                                                               
    Out[6]: <AddBackward0 at 0x7fe89276be80>

### requires\_grad 的含义及标志位说明 ###

在tensor.py中backward是这样定义的：  
def backward(self, gradient=None, retain\_graph=None, create\_graph=False)  
注：这里面调用的也还是autograd中的backward。  
在autograd.\_\_init\_\_.py中是这样定义的：  
def backward(tensors, grad\_tensors=None, retain\_graph=None, create\_graph=False, grad\_variables=None)

**detach**

如果 x 为中间输出，y = x.detach 表示创建一个与 x 相同，但requires\_grad==False 的tensor, 实际上就是把y 以前的计算图 grad\_fn 都消除，y自然也就成了叶节点。原先反向传播时，回传到x时还会继续，而现在回到y处后，就结束了，不继续回传求到了。另外值得注意, x和y指向同一个Tensor ,即 x.data 。而detach\_() 表示不创建新变量，而是直接修改 x 本身。

**retain\_graph**

如果retain\_graph=true,就会每次运行时重新生成图。也就是说，每次 backward() 时，默认会把整个计算图free掉。一般情况下是每次迭代，只需一次 forward() 和一次 backward() , 前向运算forward() 和反向传播backward()是成对存在的，一般一次backward()也是够用的。但是不排除，由于自定义loss等的复杂性，需要一次forward()，多个不同loss的backward()来累积同一个网络的grad来更新参数。于是，若在当前backward()后，不执行forward() 而可以执行另一个backward()，需要在当前backward()时，指定保留计算图，即backward(retain\_graph)。

**create\_graph**

为True时，会构造一个导数的图，用来计算出更高阶导数结果。

这里面，我没找到一个create\_graph的详细数学上能明确的解释，只好把大概的意思描述一下，比如对前面第一个例子，

y.backward(v)
    print(x.grad)
    
    y.backward(v) # --- error ----
    print(x.grad)

你会在第二个backward()产生严重报错：

Exception has occurred: RuntimeError

Trying to backward through the graph a second time, but the buffers have already been freed. Specify retain\_graph=True when calling backward the first time...

如果要避免报错，你只能这样用，

y.backward(v, create_graph=True)
    print(x.grad)
    
    y.backward(v)
    print(x.grad)

一般情况下应该是这样：既然你可以create\_graph了，那么前面那个retain\_graph基本就没啥必要了(实际内置了retain\_graph = create\_graph)。计算的结果请大家自行难证，我觉得就是一个不断叠加的过程，没看到真正意义上的高阶导数。如果你要实现真正意义上的高阶层数呢，我给个简单的例子，请自行难证：

import torch as t
    from torch.autograd import Variable as V
    
    # ----key function----
    #grad_x =t.autograd.grad(y, x, create_graph=True)
    #grad_grad_x = t.autograd.grad(grad_x[0],x)
     
    x = V(t.Tensor([4]), requires_grad=True)
    y = x ** 2 
     
    grad_x = t.autograd.grad(y, x, create_graph=True)
    print(grad_x)  # dy/dx = 2*x = 8
     
    grad_2x = t.autograd.grad(grad_x[0],x)
    print(grad_2x) # d(2*x)/dx = 2

参考链接：

[https://www.jianshu.com/p/cbce2dd60120][https_www.jianshu.com_p_cbce2dd60120]  
[https://pytorch.org/tutorials/beginner/blitz/autograd\_tutorial.html\#sphx-glr-beginner-blitz-autograd-tutorial-py][https_pytorch.org_tutorials_beginner_blitz_autograd_tutorial.html_sphx-glr-beginner-blitz-autograd-tutorial-py]  
[https://linlinzhao.com/tech/2017/10/24/understanding-backward()-in-PyTorch.html][https_linlinzhao.com_tech_2017_10_24_understanding-backward_-in-PyTorch.html]  
[https://blog.csdn.net/douhaoexia/article/details/78821428][https_blog.csdn.net_douhaoexia_article_details_78821428]  
[https://zhuanlan.zhihu.com/p/29923090][https_zhuanlan.zhihu.com_p_29923090]

[v_0_times_frac_partial v_partial x_0_x_0_ _quad v_1_times_frac_partial v_partial x_1_x_1_ _quad v_2_times_frac_partial v_partial x_2_x_2]: https://private.codecogs.com/gif.latex?v%5B0%5D%5Ctimes%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x_0%7D%7Cx_0%2C%20%5Cquad%20v%5B1%5D%5Ctimes%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x_1%7D%7Cx_1%2C%20%5Cquad%20v%5B2%5D%5Ctimes%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x_2%7D%7Cx_2
[y_f_textbf_x]: https://private.codecogs.com/gif.latex?y%3Df%28%5Ctextbf%7Bx%7D%29
[textbf_x]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Ctextbf%7Bx%7D
[textbf_y]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Ctextbf%7By%7D
[y1_f_textbf_x_ _quad y2_f_textbf_x_ _quad _textbf_y_y1_y2]: https://private.codecogs.com/gif.latex?y1%3Df%28%5Ctextbf%7Bx%7D%29%2C%20%5Cquad%20y2%3Df%28%5Ctextbf%7Bx%7D%29%2C%20%5Cquad%20%5Ctextbf%7By%7D%3D%5By1%2Cy2%5D
[textbf_y_.backward]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Ctextbf%7By%7D.backward%28%29
[y1.backward_ _quad y2.backward]: https://private.codecogs.com/gif.latex?y1.backward%28%29%2C%20%5Cquad%20y2.backward%28%29
[textbf_x_x_0_ _dots_ x_n]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Ctextbf%7Bx%7D%3D%5Bx_0%2C%20%5Cdots%2C%20x_n%5D
[https_www.jianshu.com_p_cbce2dd60120]: https://www.jianshu.com/p/cbce2dd60120
[https_pytorch.org_tutorials_beginner_blitz_autograd_tutorial.html_sphx-glr-beginner-blitz-autograd-tutorial-py]: https://pytorch.org/tutorials/beginner/blitz/autograd_tutorial.html#sphx-glr-beginner-blitz-autograd-tutorial-py
[https_linlinzhao.com_tech_2017_10_24_understanding-backward_-in-PyTorch.html]: https://linlinzhao.com/tech/2017/10/24/understanding-backward%28%29-in-PyTorch.html
[https_blog.csdn.net_douhaoexia_article_details_78821428]: https://blog.csdn.net/douhaoexia/article/details/78821428
[https_zhuanlan.zhihu.com_p_29923090]: https://zhuanlan.zhihu.com/p/29923090