关于约瑟夫环问题

客官°小女子只卖身不卖艺 2022-03-22 01:47 124阅读 0赞

**/\*  此处借助九度oj上的题目！**

**题目描述：**

每年六一儿童节,JOBDU都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为JOBDU的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为1的小朋友开始报数。每次喊到m的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续1...m报数....这样下去....直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到JOBDU名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^\_^)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？

**输入：**

输入有多组数据。

每组数据一行,包含2个整数n(0<=n<=1,000,000),m(1<=m<=1,000,000),n,m分别表示小朋友的人数(编号1....n-1,n)和HF指定的那个数m(如上文所述)。如果n=0,则结束输入。

**输出：**

对应每组数据,输出最后拿到大奖的小朋友编号。

**\*/**

**本质就是 约瑟夫环**

**我们一般的约瑟夫环的思路是：先建立环，然后在绕圈子，代码入如下：**

\#include <stdio.h>  
  
  
typedef struct link  
\{  
        long id;  
        struct link \* next;  
\}link, \*p\_link;  
  
  
int main()  
\{  
    long n, m, count, i;  
    p\_link head;  
    p\_link tmp, t;  
      
    while( scanf("%ld", &n) != EOF )  
    \{  
           if( !n )  
           \{  
               break;  
           \}  
             
           scanf("%ld", &m);  
             
           head = ( p\_link )malloc( sizeof( link ) );  
           head->id = 1;  
           head->next = head;  
             
           t = head;   
           for( i = 1; i < n; i++ )  
           \{  
                tmp = ( p\_link )malloc( sizeof( link ) );  
                tmp->id = i + 1;  
                tmp->next = t->next;  
                t->next = tmp;  
                t = tmp;  
           \}  
  
  
           count = 0;  
           tmp = head;  
           while( n > 1 )  
           \{  
                  count++;  
                  if( count == m )  
                  \{  
                      n--;  
                     // printf("%d ", tmp->id);  
                      count = 0;  
                      tmp->id = tmp->next->id;  
                      t = tmp->next;  
                      tmp->next = t->next;  
                      free( t );  
                  \}  
                  else  
                  \{  
                      tmp = tmp->next;  
                  \}  
           \}  
             
           printf("%ld\\n", tmp->id);  
    \}  
      
    return 0;  
\}

当数据量很大的时候，上述算法消耗时间很多！所以改进如下！；

第一个人(编号一定是(m)%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环:  
　　k k+1 k+2 ... n-2, n-1, n, 1, 2, ... k-2

（以编号为k = ( m +1)%n的人开始）

并且从k开始报1。  
　　**现在我们把他们的编号做一下转换：( 这是核心 )**  
　　k --> 1  
　　k+1 --> 1  
　　k+2 --> 3  
...........................................  
　　k-3 --> n-1  
　　k-2 --> n  
　　序列1： 1, 2, 3 … n-2, n-1, n  
　　序列2：1, 2, 3 … k-1, k+1, …, n-2, n-1, n  
　　序列3： k, k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1,n, 1, 2, 3,…, k-1  
　　序列4： 1, 2, 3 …, 5, 6, 7, 8, …, n-3, n-2,n-1

成为了(n-1)个人报数的子问题，这里就是递归的思想！！！！

我们可以得到：  
　                           　f\[i\] = ( f\[i-1\] + m) % i;  ( i > 1 )   （ %i的原因是：因为每一次的i都是一个子问题，呵呵~ ）

\#include <stdio.h>  
  
  
int main()  
\{  
    int n,m,i,r;  
  
  
    while(scanf("%d",&n) == 1)  
    \{  
           if( !n )  
           \{  
               break;  
           \}  
             
           scanf("%d",&m);  
           r = 0;  
  
  
           for( i = 2; i <= n; i++ )  
           \{  
                r = (r + m) %i;        // 这里！！！！  
           \}  
  
  
           printf("%d\\n",r + 1);  
     \}  
  
  
     return 0;  
\}