笔试中看到的Catalan数

水深无声 2022-03-18 04:28 197阅读 0赞

###  ###

卡特兰数：规定C0＝1，而C1＝1，C2＝2，C3＝5，C4＝14，C5＝42，C6＝132，C7＝429，C8＝1430，C9＝4862，C10＝16796，

C11＝58786，C12＝208012，C13＝742900，C14＝2674440，C15＝9694845·········································

卡塔兰数的一般项公式为 ![C\_n = \\frac\{1\}\{n+1\}\{2n \\choose n\} = \\frac\{(2n)!\}\{(n+1)!n!\}][C_n _ _frac_1_n_1_2n _choose n_ _ _frac_2n_n_1_n] 另类递归式： h(n)=((4\*n\-2)/(n\+1))\*h(n\-1);

*C**n*的另一个表达形式为![C\_n = \{2n\\choose n\} - \{2n\\choose n-1\} \\quad\\mbox\{ for \}n\\ge 1][C_n _ _2n_choose n_ - _2n_choose n-1_ _quad_mbox_ for _n_ge 1]

h(n)= h(0)\*h(n-1) + h(1)\*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)

hai可以这样推导出来：

所以，在做题的时候，我们应该用上面的公式Cn=Ck\*Cn-k (k=1,2\`\`n)来判断是否使用于katalan数来解决问题，合适就列出前几项来判断推到出答案

总结了一下，最典型的四类应用：（实质上却都一样，无非是递归等式的应用，就看你能不能分解问题写出递归式了）

*1.括号化问题。*

矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

*2.出栈次序问题。*

一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

*3.将多边行划分为三角形问题。*

将一个凸N+2多边形区域分成三角形区域的方法数?

类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她

从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

4.*给顶节点组成二叉树的问题。*

给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？

（能构成h（N）个）

Catalan数的解法

Catalan数的组合公式为 Cn=C(2n,n) / (n+1);

此数的递归公式为 h(n ) = h(n-1)\*(4\*n-2) / (n+1)

卡特兰数真是一个神奇的数字，很多组合问题的数量都和它有关系，例如：

Cn= n对括号正确匹配组成的字符串数，例如 3对括号能够组成：

((())) ()(()) ()()() (())() (()())

Cn= n+1个数相乘，所有的括号方案数。例如， 4个数相乘的括号方案为：

((ab)c)d (a(bc))d (ab)(cd) a((bc)d) a(b(cd))

Cn= 拥有 n+1 个叶子节点的二叉树的数量。例如 4个叶子节点的所有二叉树形态：

![卡特兰数 - lz\_666888 - lz\_666888的博客][- lz_666888 - lz_666888]

*  Cn=n\*n的方格地图中，从一个角到另外一个角，不跨越对角线的路径数，例如， 4×4方格地图中的路径有：

![卡特兰数 - lz\_666888 - lz\_666888的博客][- lz_666888 - lz_666888 1]

*  Cn= n+2条边的多边形，能被分割成三角形的方案数，例如 6边型的分割方案有：

![卡特兰数 - lz\_666888 - lz\_666888的博客][- lz_666888 - lz_666888 2]

*  Cn= 圆桌周围有 2n个人，他们两两握手，但没有交叉的方案数。

下面是一些大公司的笔试题

先来一道阿里巴巴的笔试题目：说16个人按顺序去买烧饼，其中8个人每人身上只有一张5块钱，另外8个人每人身上只有一张10块钱。烧饼5块一个，开始时烧饼店老板身上没有钱。16个顾客互相不通气，每人只买一个。问这16个人共有多少种排列方法能避免找不开钱的情况出现。

C8=1430，所以总数=1430\*8！\*8！

2012腾讯实习招聘笔试题

在图书馆一共6个人在排队，3个还《面试宝典》一书，3个在借《面试宝典》一书，图书馆此时没有了面试宝典了，求他们排队的总数？

C3=5；所以总数为5\*3！\*3！=180.

[C_n _ _frac_1_n_1_2n _choose n_ _ _frac_2n_n_1_n]: /images/20220318/69d18e9b329a4101bb3d5e209e95660b.png
[C_n _ _2n_choose n_ - _2n_choose n-1_ _quad_mbox_ for _n_ge 1]: /images/20220318/2a860973aa5241489315b31bd416b871.png
[- lz_666888 - lz_666888]: /images/20220318/db817fe23ea649839d5e6f9e2bb6c793.png
[- lz_666888 - lz_666888 1]: /images/20220318/00cc0175110b4c54a2e9c60535a79c4f.png
[- lz_666888 - lz_666888 2]: /images/20220318/327c6372645c40a5b3b2789060746279.png