一道看完答案你会觉得很沙雕的「动态规划算法题」

Bertha 。 2022-03-10 01:52 223阅读 0赞

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这道算法题其实并不难，如果你把文章从头到尾看完的话基本上能看懂，但如果你看到最后的话大概率会说一句：**这是什么沙雕题目？！**

题目来源于 **LeetCode** 第 877 号问题：石子游戏。

为了更好理解，我改编了一下题目，描述是这样的：

### 题目描述 ###

喜羊羊和灰太狼用几堆石子在做游戏。偶数堆石子**排成一行**，每堆都有正整数颗石子 `piles[i]` 。

游戏以谁手中的石子最多来决出胜负。石子的总数是奇数，所以没有平局。

喜羊羊和灰太狼轮流进行，喜羊羊先开始。 每回合，玩家从行的开始或结束处取走整堆石头。 这种情况一直持续到没有更多的石子堆为止，此时手中石子最多的玩家获胜。

假设喜羊羊和灰太狼都发挥出最佳水平，当喜羊羊赢得比赛时返回 `true` ，当灰太狼赢得比赛时返回 `false` 。

### 题目分析 ###

举两个例子来帮助理解题意。

#### 例子一： ####

输入：\[ 5，3，4，5 \]

输出：true

**解释**：

喜羊羊先开始，只能拿前 5 颗或后 5 颗石子 。

假设他取了前 5 颗，这一行就变成了 \[ 3 ，4，5 \] 。

如果灰太狼拿走前 3 颗，那么剩下的是 \[ 4，5 \]，喜羊羊拿走后 5 颗赢得 10 分。

如果灰太狼拿走后 5 颗，那么剩下的是 \[ 3，4 \]，喜羊羊拿走后 4 颗赢得 9 分。

这表明，取前 5 颗石子对喜羊羊来说是一个胜利的举动，所以我们返回 true 。

#### 例子二：    ####

输入：\[ 5，10000，2，3 \]

输出：true

**解释**：

喜羊羊先开始，只能拿前 5 颗或后 3 颗石子 。

假设他取了后 3 颗，这一行就变成了 \[ 5，10000，2 \]。

灰太狼肯定会在剩下的这一行中取走前 5 颗，这一行就变成了 \[ 10000，2 \]。

然后喜羊羊取走前 10000 颗，总共赢得 10003 分，灰太狼赢得 7 分。

这表明，取后 3 颗石子对喜羊羊来说是一个胜利的举动，所以我们返回 true 。

**这个例子表明，并不是需要每次都挑选最大的那堆石头**。

### 题目回答 ###

涉及到最优解的问题，那么肯定要去尝试一下使用 **动态规划** 来解决了。

先看一下力扣的正规题解：

让我们改变游戏规则，使得每当灰太狼得分时，都会从喜羊羊的分数中扣除。

令 `dp(i, j)` 为喜羊羊可以获得的最大分数，其中剩下的堆中的石子数是 `piles[i], piles[i+1], ..., piles[j]`。这在比分游戏中很自然：我们想知道游戏中每个位置的值。

我们可以根据 `dp(i + 1，j)` 和 `dp(i，j-1)` 来制定 `dp(i，j)` 的递归，我们可以使用动态编程以不重复这个递归中的工作。（该方法可以输出正确的答案，因为状态形成一个DAG（有向无环图）。）

当剩下的堆的石子数是 `piles[i], piles[i+1], ..., piles[j]` 时，轮到的玩家最多有 2 种行为。

可以通过比较 `j-i`和 `N modulo 2` 来找出轮到的人。

如果玩家是喜羊羊，那么它将取走 `piles[i]` 或 `piles[j]` 颗石子，增加它的分数。之后，总分为 `piles[i] + dp(i+1, j)` 或 `piles[j] + dp(i, j-1)`；我们想要其中的最大可能得分。

如果玩家是灰太狼，那么它将取走 `piles[i]` 或 `piles[j]` 颗石子，减少喜羊羊这一数量的分数。之后，总分为 `-piles[i] + dp(i+1, j)` 或 `-piles[j] + dp(i, j-1)`；我们想要其中的最小可能得分。

代码如下：

![640?wx\_fmt=jpeg][640_wx_fmt_jpeg 1] 图 1

上面的代码并不算复杂，当然，如果你看不懂也没关系，不影响解决问题，请看下面的数学分析。

### 数学分析 ###

因为石头的数量是奇数，因此只有两种结果，输或者赢。

喜羊羊先开始拿石头，随便拿！然后比较石头数量：

1.  如果石头数量多于对手，赢了；
2.  如果石头数量少于对手，自己拿石头的顺序和对手拿石头的顺序对调，还是赢。

所以代码如下：

class Solution {
        
        public boolean stoneGame(int[] piles) {
        
            return true;
        }
    }

看完之后，你的心情是怎么样的？

此题的 LeetCode 的评论区里一片吐槽：**这是什么沙雕题目！**

可能搞过 ACM 等竞赛的人都会微微一笑：不会几万个套路怎么好意思说自己是 acmer 。我们这些普通人为之惊奇的题目，到他们这里就是彻底被玩坏了，各种稀奇古怪的秒解。

### End ###

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**今日问题：**

你还见过哪些可以用数学思维解决的算法题目，可以分享分享。或者你觉得这类题目的意义是什么，考察的是什么。

**打卡格式：**

打卡 X 天，答：xxx 。

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**欢迎关注这个会做动画的程序员?**

如果文章有帮助，点个“好看”吧！

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