【离散数学中的数据结构与算法】七排列与组合三

骑猪看日落 2022-03-06 05:46 196阅读 0赞

>  *  前两篇文章学习了不可重复选取的排列与可重复选取的可重排列。本篇文章开始学习组合的相关定理。

> ### 文章目录 ###
> 
>  *   *  1 组合
>      *   *  1.1 组合的计算公式
>      *  2 总结

## 1 组合 ##

跟排列一样。组合也分为**不重复选取**的**组合**，与**可重复选取**的**可重组合**。本节内容主要学习不可重复选取的**组合**

从 n 个**不同元素**中取 r 个**不重复的元素**组成一个子集， 而不考虑其元素的顺 序 ， 称 为 **n 取 r 的 组 合** （ r -combination） ， 该子集称作 r -子集（r-subset） 。 n 取 r 组合的全体构成的集合用 **C(n, r)** 表示， 其元素个数用\*C(n, r)\*表示。（为了便于书面理解，以后都用C(n, r)表示元素个数）

1.  例一

设集合 A=\{a, b, c, d\}， 则 A 上的所有4取3的组合是：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9seXktMDIxNy5ibG9nLmNzZG4ubmV0_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

### 1.1 组合的计算公式 ###

一般的有：

*  C(n, r) \* r! = P(n, r)

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9seXktMDIxNy5ibG9nLmNzZG4ubmV0_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

当n >= r时， C(n, r)=C(n, n-r)

1.  例二

一个社团共有10名成员，从中选出3人组成指导委员会，则共有C(10, 3)=120种方法。（注意与之前的排列进行比较，这里直选三人，不确定这三人的职位，所以这三人不用再排列）

1.  简单的格格问题：

从(0, 0)点出发沿 x 轴或 y 轴的正方向每步走一个单位，最终走到 (m, n) 点， 有多少条路径？

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9seXktMDIxNy5ibG9nLmNzZG4ubmV0_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]  
总共有8次向上走，10次向右走，一共走18步。只要在这18步中选择8步作为向上走（或者选择10步作为向右走即可，并且选择的步数不用有顺序）。所以答案为C（10+8 ， 8） 或者C（10+8， 10）

1.  例三：

回到曾经学习排列的时候遇见过的问题：由a, b, b, e, e, h, i, s, s, t, t, t可以组成多少个长度为12的字符串？

当时学习排列的时候我们已经学会使用排列的知识去计算，现在我们学习了组合的公式，我们还可以使用组合的公式进行计算。如下分析：

*  首先先将三个t选择三个位置存放：  
    ![在这里插入图片描述][20190317224446167.png_pic_center]  
    这就是C（12,3）种方法
 *  然后再剩余的9个位置选两个位置存放s：  
    ![在这里插入图片描述][20190317224540336.png_pic_center]  
    这就是C（9,2）种方法
 *  剩余的7个位置选两个位置存放e：  
    ![在这里插入图片描述][20190317224718719.png_pic_center]  
    C(7, 2) 种可能
 *  剩余的5个位置选两个位置存放b：  
    ![在这里插入图片描述][2019031722481574.png_pic_center]  
    C(5, 2) 种可能
 *  然后最后剩余三个字符：a,h,i ，剩余三个空白位置：  
    ![在这里插入图片描述][20190317224911132.png_pic_center]  
    对剩余三个位置进行全排列：3！种可能。

所以最终有：`C(12, 3) * C(9, 2) * C(7, 2) * C(5, 2) * 3!=9979200` 种可能 这与之前我们学习排列的时候计算的结果是一样的。

## 2 总结 ##

*  学会不可重复选取的**组合**的计算公式

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