算法时间复杂度求解法

偏执的太偏执、 2022-02-22 15:54 212阅读 0赞

算法的时间复杂度，是刚开始接触算法和数据结构时的概念，在真正使用的时候有时候常常忘记它的推导公式。最近准备校招，把二叉树、排序、查找等这些经典的算法复习了一遍，这次把这些都整理成博客以便以后查看，复习计划接近尾声，这两天老是不在状态，学习图的时候有点晕乎乎，今天反过头来把时间复杂度的求解法整理一下，还是颇有收获，以前很多地方自己存在着理解误差。希望对大家也有所帮助，有不对的地方还请多指教。

> 在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，基座T（n）=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进算法时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

一般用大写O()来表示算法的时间复杂度写法，通常叫做大O记法。

一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

O(1)：常数阶

O(n)：线性阶

O(n2)：平方阶

**大O推导法：**

1.  用常数1取代运行时间中的所有加法常数
2.  在修改后的运行函数中，只保留最高阶项
3.  如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数

**常数阶：**

int sum = 0 ; n = 100;        /*执行一次*/
    sum = (1+n)*n/2;             /*执行一次*/
    printf("%d",sum);            /*执行一次*/

这个算法的运行次数f(n) = 3,根据推导大O阶的方法，第一步是将3改为1，在保留最高阶项是，它没有最高阶项，因此这个算法的时间复杂度为O(1);

另外，

![复制代码][Image 1]

int sum = 0 ; n = 100;        /*执行一次*/
    sum = (1+n)*n/2;             /*执行第1次*/
    sum = (1+n)*n/2;             /*执行第2次*/
    sum = (1+n)*n/2;             /*执行第3次*/
    sum = (1+n)*n/2;             /*执行第4次*/
    sum = (1+n)*n/2;             /*执行第5次*/
    sum = (1+n)*n/2;             /*执行第6次*/
    sum = (1+n)*n/2;             /*执行第7次*/
    sum = (1+n)*n/2;             /*执行第8次*/
    sum = (1+n)*n/2;             /*执行第9次*/
    sum = (1+n)*n/2;             /*执行第10次*/
    printf("%d",sum);            /*执行一次*/

![复制代码][Image 1]

上面的两段代码中，其实无论n有多少个，本质是是3次和12次的执行差异。这种与问题的大小无关，执行时间恒定的算法，成为具有O(1)的时间复杂度，又叫做常数阶。

注意：不管这个常数是多少，3或12，都不能写成O(3)、O(12)，而都要写成O(1)

此外，对于分支结构而言，无论真假执行的次数都是恒定不变的，不会随着n的变大而发生变化，所以单纯的分支结构（不在循环结构中），其时间复杂度也是O(1)。

**线性阶：**

线性阶的循环结构会复杂一些，要确定某个算法的阶次，需要确定特定语句或某个语句集运行的次数。因此要分析算法的复杂度，关键是要分析循环结构的运行情况。

int i;
 for(i = 0 ; i < n ; i++){
 /*时间复杂度为O(1)的程序*/ 
 }

**对数阶：**

int count = 1;
 while(count < n){
 count = count * 2;
 /*时间复杂度为O(1)的程序*/ 
 }

因为每次count\*2后，距离结束循环更近了。也就是说有多少个2 相乘后大于n，退出循环。

数学公式：2x = n    -->     x = log2n

因此这个循环的时间复杂度为O(logn)

**平方阶：**

int i;
 for(i = 0 ; i < n ; i++){
 for(j = 0 ; j < n ; j++){
 /*时间复杂度为O(1)的程序*/ 
 } 
 }

上面的程序中，对于对于内层循环，它的时间复杂度为O(n)，但是它是包含在外层循环中，再循环n次，因此这段代码的时间复杂度为O(n2)。

int i;
 for(i = 0 ; i < n ; i++){
 for(j = 0 ; j < m ; j++){
 /*时间复杂度为O(1)的程序*/ 
 } 
 }

但是，如果内层循环改成了m次，时间复杂度就为O(n\*m)

再来看一段程序：

int i;
 for(i = 0 ; i < n ; i++){
 for(j = i ; j < n ; j++){
 /*时间复杂度为O(1)的程序*/ 
 } 
 }

注意：上面的内层循环j = i ;而不是0

因为i = 0时，内层循环执行了n次，当i=1时，执行了n-1次……当i=n-1时，执行了1次，所以总的执行次数为：

n+(n-1)+(n-1)+...+1 = n(n+1)/2  =  n2/2 \+ n/2

根据大O推导方法，保留最高阶项，n2/2 ，然后去掉这个项相乘的常数，1/2

因此，这段代码的时间复杂度为O(n2)

下面，分析调用函数时的时间复杂度计算方法：

首先，看一段代码：

![复制代码][Image 1]

int i,j;

void function(int count)\{  
print(count);  
\}

for(i = 0 ; i < n ; i++)\{ 
function (i) 
\}

![复制代码][Image 1]

函数的时间复杂度是O(1)，因此整体的时间复杂度为O(n)。

假如function是这样的：

void function(int count){
 int j;
 for(j = count ; j < n ;j++){
 /*时间复杂度为O(1)的程序*/
 }
 }

和第一个的不同之处在于把嵌套内循环放到了函数中，因此最终的时间复杂度为O(n2)

再来看一个比价复杂的语句:

![复制代码][Image 1]

n++; /*执行次数为1*/
 function(n); /*执行次数为n*/
 int i,j;
 for(i = 0 ; i < n ; i++){ /*执行次数为nXn*/
 function(i); 
 }
 for(i = 0 ; i < n ; i++){ /*执行次数为n(n+1)/2*/
 for(j = i ; j < n ; j++){
 /*时间复杂度为O(1)的程序*/ 
 } 
 }

![复制代码][Image 1]

它的执行次数f(n) = 1 + n + n2 \+ n(n+1)/2 \+ 3/2n2\+3/2 n+1,

根据推导大O阶的方法，最终它的时间复杂度为：O(n2)

**常见的时间复杂度：**

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <td>执行次数函数</td> 
 <td>阶</td> 
 <td>术语描述</td> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>12</td> 
 <td>O(1)</td> 
 <td>常数阶</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>2n+3</td> 
 <td>O(n)</td> 
 <td>线性阶</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>3n2+2n+1</td> 
 <td>O(n2)</td> 
 <td>平方阶</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>5log2n+20</td> 
 <td>O(log2n)</td> 
 <td>对数阶</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>2n+3nlog2n+19</td> 
 <td>O(nlogn)</td> 
 <td>nlog2n阶</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>6n3+2n2+3n+4</td> 
 <td>O(n3)</td> 
 <td>立方阶</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>2n</td> 
 <td>O(2n)</td> 
 <td>指数阶</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

时间复杂度所耗费的时间是：

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n2) < O(n3) <O(2n) < O(n!) <O(nn)

[Image 1]: