【理解】似然函数

深碍√TFBOYSˉ_ 2022-02-22 11:34 272阅读 0赞

**似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数，表示模型参数中的似然性**，概率，用于在已知一些参数的情况下，预测接下来在观测上所得到的结果；似然性，则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物之性质的参数进行估值。

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> 举个例子来说明：抛硬币大家一定都很熟悉  
> （ θ \\theta θ代表正面朝上的概率，H代表正面朝上，T代表正面朝下）

1、在概率问题中：我们是模型参数 θ \\theta θ已知(这里假设 θ = 0.5 \\theta=0.5 θ=0.5)，来预测抛硬币的结果(抛两次硬币均正面朝上)。  
 结 果 为 ： P ( H H ∣ θ ) = θ 2 = 0. 5 2 结果为：P(HH|\\theta)=\\theta^2=0.5^2 结果为：P(HH∣θ)=θ2=0.52

2、在似然问题中：我们是 θ \\theta θ未知，已知抛硬币的结果(抛两次硬币均正面朝上)。  
 结 果 为 ： L ( θ ∣ H H ) = P ( H H ∣ θ ) = θ 2 结果为：L(\\theta|HH)=P(HH|\\theta)=\\theta^2 结果为：L(θ∣HH)=P(HH∣θ)=θ2

我们可以发现，单看概率问题是有结论的；但单看似然问题，最终得到了似然函数又有什么作用呢？一般而言，似然问题都是为了解决**最大似然问题**的，也就是在当前观测结果下，估计参数最有可能的值。

通过 L = θ 2 L=\\theta^2 L=θ2发现，当 θ = 1 \\theta=1 θ=1时，L可以取到最大值。也就是说如果只看到抛两次硬币结果都是正面朝上，最有可能的估计就是硬币极不均匀，甚至两面都是正面。只有当实验次数大量时，才能逐渐让 θ \\theta θ趋近于0.5

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为了大家更好地区分似然函数和概率函数，再多说几句。

假设一个函数为 a b a^b ab，如果令 b = 2 b=2 b=2，这样就得到了一个二次函数 a 2 a^2 a2；如果令 a = 2 a=2 a=2，这样就得到了一个指数函数 2 b 2^b 2b。可以看到二次函数和指数函数都源自一个函数，但在不同条件下拥有了不同的名称。这也被称作**逆反函数**。看到这里是不是就发现了似然函数也是概率函数的逆反，原函数都是 P ( x ∣ θ ) P(x|\\theta) P(x∣θ)，当 θ \\theta θ已知时，它是概率函数；当 x x x已知时，它是似然函数。

参考材料：[维基百科][Link 1]、[知乎][Link 2]

[Link 1]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%BC%E7%84%B6%E5%87%BD%E6%95%B0
[Link 2]: https://www.zhihu.com/question/54082000