霍恩规则的正确性验证

系统管理员 2022-02-16 09:21 176阅读 0赞

## 霍恩规则计算求值多项式 ##

P(x) =  ∑ k − 0 n \\sum\_\{k-0\}^n ∑k−0n a k a\_k ak x k x^k xk  
霍恩规则：P(x) =  a 0 a\_0 a0 \+ x( a 1 a\_1 a1 \+ x( a 1 a\_1 a1 \+ x( a 2 a\_2 a2\+ … +x( a n − 1 a\_n-1 an−1 \+ x\* a n a\_n an))))

## 伪代码： ##

y = 0
    for i = n downto 0
    	y = a[i] + x*y

## 利用循环不定式检验正确性 ##

1.  每次迭代开始时有以下表达式成立：  
    y =  ∑ k − 0 n − ( i + 1 ) \\sum\_\{k-0\}^\{n-(i+1)\} ∑k−0n−(i\+1) a k + i + 1 a\_\{k+i+1\} ak\+i\+1 x k x^k xk
2.  循环结束后：  
    y =  a i a\_i ai \+ x \* y  
    y =  a i a\_i ai \+ x \*  ∑ k − 0 n − ( i + 1 ) \\sum\_\{k-0\}^\{n-(i+1)\} ∑k−0n−(i\+1) a k + i + 1 a\_\{k+i+1\} ak\+i\+1 x k x^k xk  
    y =  a i a\_i ai \+  ∑ k − 0 n − ( i + 1 ) \\sum\_\{k-0\}^\{n-(i+1)\} ∑k−0n−(i\+1) a k + i + 1 a\_\{k+i+1\} ak\+i\+1 x k + 1 x^\{k+1\} xk\+1  
    y =  ∑ k − 0 n − i \\sum\_\{k-0\}^\{n-i\} ∑k−0n−i a k + i a\_\{k+i\} ak\+i x k x^k xk （式1）  
    i = i - 1（以上表达式i未更新：i\_old）  
    i = i\_old + 1  
    代入式1：  
    y =  ∑ k − 0 n − ( i + 1 ) \\sum\_\{k-0\}^\{n-(i+1)\} ∑k−0n−(i\+1) a k + i + 1 a\_\{k+i+1\} ak\+i\+1 x k x^k xk
3.  即完成一次循环后，等式仍然成立
4.  利用以上等式验证，i=0进入循环后，获取终止时的表达式：  
    y =  ∑ k − 0 n \\sum\_\{k-0\}^n ∑k−0n a k a\_k ak x k x^k xk
5.  综上所述：霍恩规则正确

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