贪心算法（2）：会场安排问题（涂色问题）

素颜马尾好姑娘i 2022-02-05 10:29 342阅读 0赞

## 题目 ##

假设要在足够多的会场里安排一批活动，并希望使用尽可能少的会场。设计一个有效的贪心算法进行安排（这个问题实际上是著名的图着色问题。若将每一个活动作为图的一个顶点，不相容活动间用边相连。使相邻顶点着有不同颜色的最小着色数，相应于要找的最小会场数）。

## 样例 ##

输入  
5

1 23

12 28

25 35

27 80

36 50  
输出  
3

## 题解 ##

**1、 问题的贪心选择性质**

证明：首先将会场安排问题数学化，设有n个活动的集合 e= \{ 1 ，2 ，…，n \}，每个活动 i 都有一个要求使用该会场的起始时问si 和一个结束时问fi 。即k是所需最少会场的个数。设活动已排序，( a1 , a2 , … ,ak )是所需要的k个已安排了活动的会场。①当k = 1时，也就是所有的活动在一个会场里相容，a1 是满足贪心选择性质的最优解；②当k>= 2时，取b1=a1,bk=ak (即bk是安排了m个活动的一个会场，(n-m)个活动都安排在b1 到bk-1个会场里)。就是（n-m）个活动安排需要（k -1）个会场。则(b1,b2 ,…,bk-1 )是（n - m）个活动可行解。另一方面，由\{( a1 ,a2,…,ak)-ak\}=(b1,b2,…,bk-1)知，(b1,b2,…,bk-1)也是满足贪心选择性质的最优解，所以，会场安排问题具有贪心选择性质。

**2、 问题的最优子结构性质**

证明：( a1,a2, …,ak )是n个活动的集合e= \{1，2 ，…，n \}所需会场的最优解。设a1中安排了m个相容的活动，那么也就是说（n-m）个活动完全安排需要k-1个会场。假设（n - m）个活动安排只需要k-2个会场或则更少的会场。也就是说n个活动安排只需要k-1个会场或者更少的会场就可以安排完，则前后出现矛盾。一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。

**3.结题思路**  
先排结束时间早的,只有这样才能使后面的活动有最大可能和它相容从而排到一间活动室。因此，遍历按结束时间从早到晚排列活动序列，先给第一个一个活动室并加入活动室序列，然后后面的活动依次检查这与这些个活动室里的活动是否相容，相容则更新活动室的最晚关闭时间（最后一个活动的结束时间。）知道遍历结束。

## c++代码 ##

#include <cstdio>
    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    using namespace std;
    typedef struct activity
    { 
        int start;
        int finish;
    }A;
    
    bool cmpare(A a1,A a2)
    { 
        return a1.finish<a2.finish;
    }
    int main()
    { 
    
        int n ;
        cin>>n;
        int s[100];  
        A a[100];
        for(int i = 0;i < n;i++)
        { 
            cin>>a[i].start;
            cin>>a[i].finish;
        }
        sort(a,a+n,cmpare);
        s[1] = a[0].finish;
        int j = 1;
    
        for(int i = 1;i < n;i++)
        { 
            int flag = 0;
            for(int q = 1;q <= j;q++)
                if(a[i].start >= s[q])
                { 
                    flag = 1;
                    s[q] = a[i].finish;
                    break;
                }
            if(!flag)
            { 
                j++;
                s[j] = a[i].finish;
            }
    
        }
        cout<<j;
    
    }