组合数学 (习题): HDU 2152

桃扇骨 2022-02-03 22:43 231阅读 0赞

### HDU 2152 ###

*  题目
 *  输入输出
 *   *  输入
     *  输出
 *  思路
 *  代码 (C 语言)
 *  总结

# 题目 #

转眼到了收获的季节，由于有TT的专业指导，Lele获得了大丰收。特别是水果，Lele一共种了N种水果，有苹果，梨子，香蕉，西瓜……不但味道好吃，样子更是好看。

于是，很多人们慕名而来，找Lele买水果。

甚至连大名鼎鼎的HDU ACM总教头 lcy 也来了。lcy抛出一打百元大钞，“我要买由M个水果组成的水果拼盘，不过我有个小小的要求，对于每种水果，个数上我有限制，既不能少于某个特定值，也不能大于某个特定值。而且我不要两份一样的拼盘。你随意搭配，你能组出多少种不同的方案，我就买多少份！”

现在就请你帮帮Lele，帮他算一算到底能够卖出多少份水果拼盘给lcy了。

注意，水果是以个为基本单位，不能够再分。对于两种方案，如果各种水果的数目都相同，则认为这两种方案是相同的。

最终Lele拿了这笔钱，又可以继续他的学业了～

# 输入输出 #

## 输入 ##

本题目包含多组测试，请处理到文件结束(EOF)。  
每组测试第一行包括两个正整数N和M(含义见题目描述，0<N,M<=100)  
接下来有N行水果的信息，每行两个整数A,B(0<=A<=B<=100)，表示至少要买该水果A个，至多只能买该水果B个。

## 输出 ##

对于每组测试，在一行里输出总共能够卖的方案数。  
题目数据保证这个答案小于10^9

# 思路 #

母函数的应用  
对于每种水果  f r u i t i fruit\_i fruiti 的上下界设为  a i , b i a\_i, b\_i ai,bi 并设  c i = b i − a i + 1 c\_i = b\_i-a\_i+1 ci=bi−ai\+1  
则母函数可以写为  
 ∏ i = 1 n ( x a i + x a i + 1 + . . . + a b i ) \\prod\_\{i=1\}^n(x^\{a\_i\}+x^\{a\_i+1\}+...+a^\{b\_i\}) ∏i=1n(xai\+xai\+1\+...\+abi)  
化简 (等比数列求和) 为  
 ∏ i = 1 n ( x a i 1 − x c i 1 − x ) \\prod\_\{i=1\}^n(x^\{a\_i\}\\frac\{1-x^\{c\_i\}\}\{1-x\}) ∏i=1n(xai1−x1−xci)  
进一步化简为  
 x ∑ i = 1 n a i × ∏ i = 1 n ( 1 − x c i ) × ∑ i = 1 n ( C n − 1 + i i x i ) x^\{\\sum\_\{i=1\}^n a^i\}\\times \\prod\_\{i=1\}^n (1-x^\{c\_i\}) \\times \\sum\_\{i=1\}^n(C\_\{n-1+i\}^ix^i) x∑i=1nai×∏i=1n(1−xci)×∑i=1n(Cn−1\+iixi)  
问题要求上式中  x m x^m xm 的系数  
上式可以分为三部分, 左边部分直接累加得到, 即  
设  t o t a l = ∑ i = 1 n a i total=\\sum\_\{i=1\}^na^i total=∑i=1nai  
那么原问题等价于求  
 f ( x ) = ∏ i = 1 n ( 1 − x c i ) × ∑ i = 1 n ( C n − 1 + i i x i ) f(x)= \\prod\_\{i=1\}^n (1-x^\{c\_i\}) \\times \\sum\_\{i=1\}^n(C\_\{n-1+i\}^ix^i) f(x)=∏i=1n(1−xci)×∑i=1n(Cn−1\+iixi) 中  
 x m − t o t a l x^\{m-total\} xm−total的系数  
对于累乘项  ∏ i = 1 n ( 1 − x c i ) \\prod\_\{i=1\}^n (1-x^\{c\_i\}) ∏i=1n(1−xci), 直接暴力展开 (因为  m − t o t a l ≤ 100 m-total \\le 100 m−total≤100, 所以 最多循环  m × 100 m\\times100 m×100 次, 可以接受)  
对于累加项  ∑ i = 1 n ( C n − 1 + i i x i ) \\sum\_\{i=1\}^n(C\_\{n-1+i\}^ix^i) ∑i=1n(Cn−1\+iixi), 由于问题没有要求取模, 所以没法用阶乘来算 (因为最高需要 200 的阶乘), 所以我使用杨辉三角来建表计算.

# 代码 (C 语言) #

#include <stdio.h>
    #include <string.h>
    long long coeff[101];
    long long temp[101];
    long long c[100][100];
    int m, n;
    long long mom(int i) { 
    	return c[n+i-1][i];
    }
    int main() { 
    	// 杨辉三角建表
    	for (int i = 0; i <= 100; i++) { 
    		c[i][0] = c[i][i] = 1;
    		if (i < 2) continue;
    		for (int j = 1; j < i; j++) c[i][j] = c[i-1][j-1] + c[i-1][j];
    	}
    	while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) { 
    		int total = 0;
    		memset(coeff, 0, sizeof(coeff));
    		coeff[0] = 1;
    		for (int i = 0; i < n; i++) { 
    			int from, to;
    			scanf("%d%d", &from, &to);
    			total += from;	
    			int count = to - from + 1;
    			// 暴力展开累乘项中每一个项的系数
    			for (int k = 0; k <= 100; k++) temp[k] = coeff[k];
    			for (int k = 0; k + count <= 100; k++) temp[k+count] += -1 * coeff[k];
    			for (int k = 0; k <= 100; k++) coeff[k] = temp[k];
    		}
    		int need = m - total;
    		long long ans = 0;
    		for (int j = 0; j <= need; j++) { 
    			ans += coeff[j] * mom(need-j);
    		}
    		printf("%lld\n", ans);
    	}
    }

# 总结 #

一个月前的我可能看见母函数就一脸懵逼, 现在总算是会一点了QAQ