【面试】求数组子序列的最大和

深藏阁楼爱情的钟 2022-01-21 00:17 187阅读 0赞

# **一、问题描述** #

输入一个整形数组，数组里*可以有正数或负数*。数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。求所有子数组的和的最大值。*要求时间复杂度为O(n)。*

例如输入的数组为1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，和最大的子数组为3, 10, -4, 7, 2，因此输出为该子数组的和18。

第一次遇到这道题是参加x迅的笔试。题目中给出了两种解法，让填空。

# **二、简单解** #

拿到这道题，如果不考虑性能和复杂度，最简单的方法就是穷举。穷举出所有的子数组，并求出他们的和，返回最大值。不过，复杂度为O(n3)，不符合题目的*要求（复杂度On）*

int max_sum(int *arr, int len){
    	int max, sum;
    
    	for(int i = 0; i < len; i++) {
    		for(int j = i; j < len; j++) {
    			sum = 0;
    			for(int k = i; k <= j; k++) {
    				sum = sum + arr[k];
    				if(sum > max) {
    					max = sum;
    				}
    			}
    		}
    	}
    
    	if(max == 0) {
    		return max(arr, len);
    	}
    	return max;
    }

# **三、复杂度为N2的解** #

观察上面的代码，我们使用了3个for循环。其中最内侧的for循环主要是控制每个字序列的长度，由于我们在计算的过程中，已经保存了当前最大字序列和，字序列的长度N对我们来说意义不大，因此完全可以撤消最内侧的循环。只按每个字序列起始位置来计算最大和。这样得到一个复杂度为N2的解。

int max_sum2(int *arr, int len){
    	int sum, max = 0;
    
    	for(int i = 0; i < len; i++) {
    		sum = 0;
    		for(int j = i; j < len; j++) {
    			sum = sum + arr[j];
    			if(max < sum) {
    				max = sum;
    			}
    		}
    	}
    
    	if(max == 0) {
    		return max(arr, len);
    	}
    	
    	return max;
    }

# **四、更低复杂度的探索** #

至此，我们已经得到一个复杂度为N2的解法。那么有没有更低复杂度的算法呢？在N2的算法中，我们遍历了从0到len-1开始的字序列，求出每种情况下得到的最大字序列和。那么我们有没有可能去掉这个循环呢？考虑使用[***动态规划***][Link 1]的思想，记max\_sum\[i\]为从0到i的子序列的最大和，那么可以得到递推式：

if max_sum[i] > 0  
    then  
           if arr[i+1] > 0  
           then max_sum[i+1] = max_sum[i] + arr[i+1];  
    else  
           max_sum[i+1] = max(0, arr[i+1])

利用这种思路得到一个线性时间的解答：

int max_sum3(int *arr, int len) {
    	int sum, max;
    
    	max = sum = 0;
    	for(int i = 0; i < len; i++) {
    		sum += arr[i];
    		if(sum < 0) {
    			sum = 0;
    		}
    
    		if(sum > max){
    			max = sum;
    		}
    	}
    
    	if(max == 0) {
    		return max(arr, len);
    	}
    	return max;
    }

至此，我们得到一个时间复杂度On，空间复杂度O1的解。

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***2013/6/17 2:18***

[Link 1]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92