异或的性质及运用

Dear 丶 2022-01-06 16:29 273阅读 0赞

异或是一种基于二进制的位运算，用符号XOR或者 ^ 表示，其运算法则是对运算符两侧数的每一个二进制位，同值取0，异值取1。它与布尔运算的区别在于，当运算符两侧均为1时，布尔运算的结果为1，异或运算的结果为0。

简单理解就是不进位加法，如1+1=0，,0+0=0,1+0=1。

性质

**1、交换律**

**2、结合律（即(a^b)^c == a^(b^c)）**

**3、对于任何数x，都有x^x=0，x^0=x**

**4、自反性 A XOR B XOR B = A xor  0 = A**

异或运算最常见于多项式除法，不过它最重要的性质还是自反性：A XOR B XOR B = A，即对给定的数A，用同样的运算因子（B）作两次异或运算后仍得到A本身。这是一个神奇的性质，利用这个性质，可以获得许多有趣的应用。 例如，所有的程序教科书都会向初学者指出，要交换两个变量的值，必须要引入一个中间变量。但如果使用异或，就可以节约一个变量的存储空间： 设有A,B两个变量，存储的值分别为a，b，则以下三行表达式将互换他们的值 表达式 （值） ：

A=A XOR B (a XOR b)

B=B XOR A (b XOR a XOR b = a)

A=A XOR B (a XOR b XOR a = b)

类似地，该运算还可以应用在加密，数据传输，校验等等许多领域。

运用距离：

1-1000放在含有1001个元素的数组中，只有唯一的一个元素值重复，其它均只出现  
一次。每个数组元素只能访问一次，设计一个算法，将它找出来；不用辅助存储空  
间，能否设计一个算法实现？

解法一、显然已经有人提出了一个比较精彩的解法，将所有数加起来，减去1+2+...+1000的和。  
这个算法已经足够完美了，相信出题者的标准答案也就是这个算法，唯一的问题是，如果数列过大，则可能会导致溢出。  
解法二、异或就没有这个问题，并且性能更好。  
将所有的数全部异或，得到的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或，得到的结果就是重复数。  
  
但是这个算法虽然很简单，但证明起来并不是一件容易的事情。这与异或运算的几个特性有关系。  
首先是异或运算满足交换律、结合律。  
所以，1^2^...^n^...^n^...^1000，无论这两个n出现在什么位置，都可以转换成为1^2^...^1000^(n^n)的形式。  
  
其次，对于任何数x，都有x^x=0，x^0=x。  
所以 **1^2^...^n^...^n^...^1000 = 1^2^...^1000^(n^n)= 1^2^...^1000^0 = 1^2^...^1000（即序列中除了n的所有数的异或）。**  
  
令，1^2^...^1000（序列中不包含n）的结果为T  
则1^2^...^1000（序列中包含n）的结果就是T^n。  
T^(T^n)=n。  
所以，将所有的数全部异或，得到的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或，得到的结果就是重复数。  
  
当然有人会说，1+2+...+1000的结果有高斯定律可以快速计算，但实际上1^2^...^1000的结果也是有规律的，算法比高斯定律还该简单的多。

google面试题的变形：一个数组存放若干整数，一个数出现奇数次，其余数均出现偶数次，找出这个出现奇数次的数？

解法有很多，但是最好的和上面一样，就是把所有数异或，最后结构就是要找的，原理同上！！

转载自 [http://longzxr.i.sohu.com/blog/view/190676432.htm][http_longzxr.i.sohu.com_blog_view_190676432.htm]

奇数个异或是本身，偶数个是0；0^a=a；异或有交换律

转载于:https://www.cnblogs.com/tongongV/p/10740908.html

[http_longzxr.i.sohu.com_blog_view_190676432.htm]: http://longzxr.i.sohu.com/blog/view/190676432.htm